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专题二分类讨论思想

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考察．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：(1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；(2)由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；(3)由于图形的不确定性引起的讨论；(4)由于题目含有字母而引起的讨论． 分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级进行．方程中的分类讨论

例1：(2011年湖北十堰)已知关于x的方程mx2－(3m－1)x＋2m－2＝0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．证明：(1)分两种情况讨论：①当m＝0时，方程为

x－2＝0，得x＝2，方程有实数根；②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式：Δ＝[－(3m－1)]2－4m(2m－2)＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2≥0.不论m为何实数，Δ≥0成立，∴方程恒有实数根．综合①、②可知m取任何实数，方程

mx2－(3m－1)x＋2m－2＝0恒有实数根．几何中的分类讨论

例2：(2010年广东佛山)一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列

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