《汽车电工电子技术》课件-6.1.2逻辑代数及应用

汽车电工电子技术

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逻辑代数及应用主讲：韩昌时间：2025.08目

录01项目情境02学习目标03知识构建04任务实施05小结CAR-REPORTPART0101项目情境项目情境逻辑代数是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，它是分析和设计数字电路的基本工具和理论基础。在逻辑代数中，根据与、或、非三种最基本的逻辑运算规则，可以得到一些基本公式和基本定理，它们是化简逻辑函数表达式（以下简称逻辑式）的主要依据。CAR-REPORTPART0202学习目标学习目标素质目标

1.培养逻辑严谨、辩证统一的科学思维。2.树立科技成才、技能报国的人生理想。知识目标能力目标

1.能够熟练进行基本逻辑运算和复合逻辑运算。2.能运用逻辑代数的基本公式和基本定理对逻辑表达式进行等价变换和推导。

1.掌握逻辑函数的表示方法。2.掌握常用的逻辑运算方法。CAR-REPORTPART0303知识构建知识构建——逻辑运算

当0和1表示逻辑状态时，两个二进制数按照某种指定的因果关系进行的运算称为逻辑运算。

逻辑运算与算术运算完全不同，它所使用的数学工具是逻辑代数（又称布尔代数）。

与普通代数一样，逻辑代数由逻辑变量和逻辑运算组成，其中逻辑变量可由A，B，C，…等字母组成。知识构建——逻辑运算

所不同的是，在普通代数中，变量的取值可以是任意的，而在逻辑代数中，逻辑变量只有0和1两个可取的值，因此又称为二值逻辑变量。

这里，0和1并不表示数量的大小，而是用来表示完全对立的两种逻辑状态。例如电平的高低、晶体管的导通与截止、脉冲信号的有无，事物的是非等。所以，逻辑1和逻辑0与自然数的1和0有本质的区别。知识构建——逻辑运算

在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。

众所周知，运算是一种函数关系，它可以用语言描述，亦可用逻辑表达式描述，还可用表格或图形来描述。

由输入逻辑变量所有取值的组合与其对应的输出逻辑函数值构成的表格，称为真值表。

用规定的逻辑符号表示的图形称为逻辑图。知识构建——基本逻辑运算

为了便于理解它们的含义，下面以简单的指示灯控制电路为例分别进行讨论。如图所示为指示灯的三个控制电路，设A，B表示开关的状态，并以1表示开关闭合，0表示开关断开；Y表示指示灯的状态，并以1表示指示灯点亮，0表示指示灯熄灭。

（a）与运算的电路

（b）或运算的电路

（c）非运算的电路知识构建——基本逻辑运算1）与运算

由图可知，只有当两个开关同时闭合时，指示灯才会点亮；只要有一个开关断开，指示灯就会熄灭。由此表明，仅当决定事物发生的所有条件A、B均具备时，事件Y才发生，这种因果关系称为与逻辑。知识构建——基本逻辑运算

与运算的逻辑表达式为

式中，“·”表示与运算，也可以省略。

与运算的运算规则为：输入有0，输出为0；输入全1，输出为1。与逻辑的真值表如表所示。ABY000010100111

1）与运算知识构建——基本逻辑运算由图可知，只要有一个开关闭合或两个开关同时闭合，指示灯就会点亮；只有当开关都断开时，指示灯才熄灭。由此表明，仅当决定事物发生的所有条件A、B中，只要有一个或一个以上条件具备时，事件Y就会发生，这种因果关系称为或逻辑。2）或运算知识构建——基本逻辑运算2）或运算

或运算的逻辑表达式为

式中，“+”表示或运算。

或运算的运算规则为：输入有1，输出为1；输入全0，输出为0。或逻辑的真值表如表所示。

ABY000011101111知识构建——基本逻辑运算3）非运算

由图可知，当开关闭合时，指示灯熄灭；当开关断开时，指示灯点亮。

由此表明，条件具备时事件不发生；条件不具备时事件才发生，这种因果关系称为非逻辑。知识构建——基本逻辑运算3）非运算

非运算的逻辑表达式为

式中，字母A上方的断线“-”表示非运算。

非运算的运算规则为：输入为1，输出为0；输入为0，输出为1。非逻辑的真值表如表所示。

AY0110知识构建——基本逻辑运算与、或、非逻辑还可以用图形符号表示，如图所示。与逻辑的图形符号

或逻辑的图形符号

非逻辑的图形符号

知识构建——复合逻辑运算1）与非运算ABY001011101110与非运算是由与运算和非运算组合而成，与非逻辑表达式为与非逻辑的真值表如表所示，其图形符号如图所示。

知识构建——复合逻辑运算2）或非运算ABY001010100110或非运算是由或运算和非运算组合而成，或非逻辑表达式为

或非逻辑的真值表如表所示，其图形符号如图所示。

知识构建——复合逻辑运算3）异或运算ABY000011101110

异或逻辑是这样一种逻辑关系：当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异或逻辑表达式为

异或逻辑的真值表如表所示，其图形符号如图所示。

知识构建——复合逻辑运算4）同或运算ABY001010100111

同或逻辑与异或逻辑相反，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。同或逻辑表达式为

同或逻辑的真值表如表所示，其图形符号如图所示。

知识构建——逻辑代数的基本公式和基本定理逻辑代数的基本公式名称公式0-1律互补律重叠律交换律结合律分配律

反演律（摩根定律）还原律根据上述定律推导出的常用公式逻辑代数的基本定理有代入定理、反演定理、对偶定理等，具体如下：（1）代入定理：对于任意一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端的同一个逻辑变量后，等式依然成立。利用代入定理可以方便地扩展公式。例如，在反演律

中用BC取代等式中的B，则新的等式仍成立，即得

知识构建——逻辑代数的基本公式和基本定理逻辑代数的基本定理有代入定理、反演定理、对偶定理等，具体如下：知识构建——逻辑代数的基本公式和基本定理（2）反演定理：对于任意一个逻辑函数F，若将其中所有的“+”换成“·”，“·”换成“+”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是

。利用反演定理可以方便地求得已知逻辑式的反逻辑式。

逻辑代数的基本定理有代入定理、反演定理、对偶定理等，具体如下：（3）对偶定理：对于任意一个逻辑函数F，若将其中的“+”换成“·”，“·”换成“+”，0换成1，1换成0，所得的新逻辑函数就是F的对偶式，记作F'。如果两个逻辑函数的表达式相等，那么它们的对偶式也一定相等。知识构建——逻辑代数的基本公式和基本定理知识构建——逻辑函数的化简

逻辑函数的最简形式标准为：逻辑表达式中相加的乘积项不能再减少，即逻辑表达式中的“+”号最少；乘积项中相乘的因子不能再减少，即乘积项中的“

·

”号最少。

因此，化简逻辑函数的目标就是要消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以得到逻辑函数的最简形式。

逻辑函数常用的化简方法有公式化简法卡诺图化简法知识构建——逻辑函数的化简1.常用的公式化简法（1）并项法：运用公式

将两项合并为一项，消去一个变量。例如，

。（2）吸收法：运用公式

消去多余的项，其中，A，B可以

是任意一个复杂的逻辑式。例如，

。

知识构建——逻辑函数的化简（3）消去法：运用公式

消去多余的因子。例如（4）配项法：运用公式

或

增加必要的乘积项，再用以上方法化简。

知识构建——逻辑函数的化简

卡诺图是逻辑函数的一种图形表示方法，它是将逻辑函数最小项表达式中的各最小项用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列起来所得到的图形。

因此，可以从图形上直观地找出相邻最小项，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量，这便是利用卡诺图化简逻辑函数的基本思路。2.卡诺图化简法CAR-REPORTPART0404任务实施