2027届新高考数学热点突破复习两条直线的位置关系

2027届新高考数学热点突破复习两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件平行________________________________________________________垂直____________________相交____________________1.两条直线的位置关系直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1=0，l4：A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：k1=k2且b1≠b2A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)k1·k2=-1A1A2+B1B2=0k1≠k2A1B2-A2B1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②结论：|P1P2|=________________________.③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|=__________.

(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=____________.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0间的距离d=________.

自主诊断××√√

√

√√

4.已知直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0相交，则这两条直线的交点坐标为

，过交点并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为

.

4x-3y+9=01.三种常见的直线系(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C1=0(C≠C1)；(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C1=0；(3)过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).微点提醒微点提醒返回2.谨防四个易误点(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.探究核心题型例1

(1)(2026·商丘模拟)已知直线l1：(2a+1)x+ay+1=0，l2：(a+2)x+ay+2=0，则“a=1”是“l1∥l2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√题型一两条直线的平行与垂直解析若直线l1，l2平行，则(2a+1)a=(a+2)a，所以a=0或a=1.将a=1代入直线l1，l2的方程，得l1：3x+y+1=0，l2：3x+y+2=0，易知l1∥l2；将a=0代入直线l1，l2的方程，得l1：x+1=0，l2：2x+2=0，即x+1=0，直线l1，l2重合，故a=0舍去.综上所述，“a=1”是“l1∥l2”的充要条件.(2)已知直线l1：ax-(a-1)y+6=0，直线l2：x+2y+4=0，若l1⊥l2，则a=

.

2判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况.(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.思维升华跟踪训练1

(多选)已知直线l1：x+ay-a=0和直线l2：ax-(2a-3)y-1=0，下列说法正确的是A.当a=-1时，l1的一个方向向量为(1，1)B.若l1∥l2，则a=1C.若l1⊥l2，则a=0或a=2D.当a>0时，l1始终不经过第三象限√√√

题型二两直线的交点与距离问题√

√

利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|，到直线y=b的距离d=|y0-b|.(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.思维升华

√

√例3

(1)(多选)以下四个命题为真命题的是A.直线l：mx-y+3m+1=0过定点(-3，1)B.点(5，0)关于直线y=2x的对称点的坐标为(3，-4)C.直线x+2y-3=0关于A(1，0)对称的直线方程为x+2y+1=0D.直线l：x+y+2=0关于直线x+2y-3=0对称的直线方程为x+7y-28=0题型三对称问题√√√

√

对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.思维升华跟踪训练3

已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1，-2).求：(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标；

跟踪训练3

已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1，-2).求：(2)直线m：3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程；

跟踪训练3

已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1，-2).求：(3)直线l关于点A的对称直线l'的方程.

返回课时精练对一对答案12345678910111213141516题号12345678答案CACBCDCB题号9101112131415答案ABCACDABDx-2y-2=0C题号16答案BC

√1234567891011121314答案知识过关15162.已知直线l1：ax+y+a=0与l2：(a-4)x-5y-4=0，则“a=5”是“l1⊥l2”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件1234567891011121314√答案解析由l1⊥l2，得a(a-4)-5=0，解得a=5或a=-1，所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.1516

√

1234567891011121314答案15164.已知直线l：ax+(2a-1)y+a-3=0，当a变化时，直线l总是经过定点，则定点坐标为A.(5，3) B.(5，-3)C.(-5，3) D.(-3，5)√

1234567891011121314答案15165.设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是A.平行 B.重合C.垂直 D.无法确定√

1234567891011121314答案15166.已知A(4，5)，直线l：y=kx+m，当k变化时，点A到直线l的距离的最大值为5，则m等于A.3或7 B.3或8C.2或7 D.2或8√

1234567891011121314答案1516

1234567891011121314答案√15161234567891011121314答案1516

1234567891011121314答案1516

1234567891011121314答案√15161234567891011121314答案

1516

1234567891011121314答案1516√√√1234567891011121314答案1516

1234567891011121314答案1516

1234567891011121314答案1516√√√1234567891011121314答案

15161234567891011121314答案

15161234567891011121314答案

1516√√√

1234567891011121314答案15161234567891011121314答案1516

1234567891011121314答案三、填空题12.若直线l1：mx+2y+3-m=0与直线l2：2x+my+1=0平行，则l1与l2之间的距离为

.1516

13.一条光线从点P(0，1)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为

.

x-2y-2=01234567891011121314答案151614.过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P(P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值为

.1234567891011121314答案

1516

1234567891011121314答案1516

1234567891011121314答案能力