2027届新高考数学热点突破复习直线与圆锥曲线的位置关系

2027届新高考数学热点突破复习直线与圆锥曲线的位置关系课标要求1.能根据给定直线，圆锥曲线的方程，判断直线与圆锥曲线的位置关系.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.目录/CONTENTS考点直线与圆锥曲线的位置关系01提能点一弦长问题02提能点二中点弦问题03课时跟踪训练0401PART考点直线与圆锥曲线的位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x），得到关于x（或y）

的一元二次方程，则直线与圆锥曲线：（1）相交⇔Δ

0；（2）相切⇔Δ

0；（3）相离⇔Δ

0.特别地，与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点；

与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.＞

＝

＜

A.2个B.

至少一个C.1个D.0个A

2（答案不唯一，（1，

规律方法1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆

锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方法就是数

形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率

与双曲线渐近线的斜率的大小得到.2.直线与圆锥曲线只有一个公共点：若直线与椭圆（圆）必相切；若直

线与双曲线（抛物线）有两种可能情况（相切或相交）.练1

（1）（2026·甘肃兰州期末）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2

＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（

C

）CA.1条B.2条C.3条D.4条

（2）若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的

取值范围为（

C

）C

02PART提能点一弦长问题圆锥曲线的弦长公式

（1）（2026·浙江杭州模拟）过点（1，0）作直线与y2＝4x交于

A，B两点，若｜AB｜＝4，则直线AB的倾斜角为（

）A.30°B.60°C.90°D.120°√

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

规律方法求解弦长的常用方法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x

（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2，（y1－

y2）2，代入两点间的距离公式求解.

（1）求C的方程；

03PART提能点二中点弦问题

√

A.

（1，1）B.

（－1，2）C.

（1，3）D.

（－1，－4）√

＝±3x.观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点A，B分别在双曲线的

两支上，∴－3＜kAB＜3.设A（x1，y1），B（x2，y2），则

4×63×（－193）＞0，且x1x2＜0，∴直线AB与双曲线的两支分别相交，

∴D满足题意.故选D.

变式3已知抛物线x2＝2y上两点A，B关于点M（2，t）对称，则直线AB

的斜率为

⁠.

2规律方法解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路（1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元

得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解；（2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，

y1），B（x2，y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得

两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大

大减少计算量.但是，使用点差法的前提是直线与圆锥曲线相交，注意检验.04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：91分）

[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

A.

相离B.

相切C.

相交D.

无法确定

1234567891011121314√

A.0B.1C.2D.4

√12345678910111213143.

（2026·辽宁丹东模拟）直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦

点，且与C交于A，B两点，若使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则p

＝（

）C.1D.2

√1234567891011121314

√1234567891011121314

1234567891011121314

A.

－2B.

－1C.1D.2√1234567891011121314

12345678910111213146.

〔多选〕已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过

A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线

AB的斜率为k3，则（

）A.

C的准线方程为y＝－1B.

k1，k3，k2成等差数列C.

若P在C的准线上，则k1k2＝－1√√√1234567891011121314

12345678910111213147.

（2026·辽宁沈阳模拟）过点P（2，2）作抛物线y2＝2x的切线l，切

线l在y轴上的截距为

⁠.

11234567891011121314

1234567891011121314

2x＋2y－3＝01234567891011121314

1234567891011121314（2）已知双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2，斜率为－

1，且与双曲线C交于A，B两点，求｜AB｜的值.

1234567891011121314

1234567891011121314

A.

b＜a＋1C.

b＞a＋1√1234567891011121314

123456789101112131412.

（2026·河南洛阳模拟）经过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交C

于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若｜AF｜，｜AP｜，｜

BF｜成等差数列，则｜AB｜＝（

）√1234567891011121314

1234567891011121314

123456789101112131413.

抛物线C：y2＝6x与直线l交于A，B两点，且AB的中点为（m，－

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