2025-2026学年下学期广东惠州泰雅实验高中高一数学2026年6月月考试卷（含答案）

2025—2026学年惠州市泰雅实验高中高一下学期第二次月考试题数学本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数z1=4−3i，A.1 B.3C.5 D.32.下列命题中，正确的是A.零向量没有方向B.单位向量的模都相等C.平行向量一定相等D.向量的模可以是负数3.已知a，b，c是空间中的三条直线，则下列说法中错误的是A.若a∥b,bB.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面C.若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面4.下列说法中正确的是A.一个多面体至少有4个面B.矩形旋转一周一定形成一个圆柱C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台5.如图，这是一个正方体的平面展开图，对该正方体，给出下面四组直线，其中垂直的组数是(1)CG与EF(2)BF与EG(3)BH与EF(4)EG与DFA.1 B.2 C.3 D.46.某同学将一个直角三角形硬纸板ABC绕斜边BC所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体。测量出AA'=2，上、下旋转面的面积比是2:1，则BC=A.32 B.C.332 7.如图，在∆ABC中，已知BD→=12DC→，AE→=2EC→A.1 B.6C.37 D.8.在锐角∆ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c。已知a=2，B=A.(3+3,6+23C.(3+3,6+33二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知平面向量a=(1,2)，bA.向量m=(4,8)与aB.a与b互相垂直C.a，b可以作为平面内的一组基底D.向量b在a上的投影向量为(5,12)10.已知圆台的上底面半径r=2，下底面半径RA.圆台的母线长为6B.圆台的高为4C.圆台内切球的半径为2D.圆台的侧面积为7211.如图，已知正方体ABCD−A.直线AC与BDB.三棱锥C−ABC.异面直线BD1与BD.平面A1BC1三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.计算：4i2

02613.已知一梯形OABC的斜二测直观图是下图的等腰梯形O'A'B'C'，B14.我国古代数学家祖暅提出祖暅原理：幂势既同，则积不容异，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等。现将一个棱长为4的正方体内部挖掉一个圆锥，其中圆锥底面为正方体一个面的内切圆，顶点为该面相对面的中心。现有一个几何体与所得几何体夹在同一对平行平面之间，且满足祖暅原理的等截面条件，则该几何体的体积为

.四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知向量a=(−2,3)，b（1）当t=1时，求2a−3b和（2）求|−2a16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，BC=1（1）求证：CM∥平面PAB（2）若AB⊥BD，求证：平面PAB⊥17.（本小题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosA=45，b（1）求a及sinC的值；(2)∠A18.（本小题满分17分）如图，在长方体ABCD−A1B1（1）证明：A1D⊥（2）当E为AB的中点时，求点E到平面ACD（3）当二面角D1−EC−D19.（本小题满分17分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2c+（1）若B=（2）若a=1，求b(3)若△ABC为锐角三角形，且该三角形的面积为9，边c的长度是否可以为17参考答案及解析高一数学一、选择题1.C|z2.B选项A：零向量方向任意，故A错误；选项B：单位向量的模为1，都相等，故B正确；选项C：平行向量的方向相同或相反，但模长不一定相等，故平行向量不一定相等，故C错误；选项D：向量的模非负，故D错误.故选B.3.D对于A，由平行的传递性知A正确；对于B，如图①，在正方体ABCD−当AD⊥AB，AB⊥AA1时，AD与AA1相交；当AD⊥AB，AB⊥BC时，AD∥BC；当AD⊥AB，AB⊥可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确；对于D，如图①，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB与BC相交，C1D1与BC异面，此时AB与C1D1平行；AB与BC相交，AA1与BC异面，此时AB与AA1相交；AB与BC相交，D4.A多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故A正确；矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转体不是圆柱，故B错误；正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面投影落在底面正多边形的中心，故C错误；用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故D错误.故选A.5.C如图所示，将展开图重新组合成正方体.对直线CG与EF，因为CG∥BF，BF⊥EF，所以CG⊥EF；对直线BF与EG，因为BF⊥平面EFGH，EG⊂平面EFGH，所以BF⊥EG；对直线BH与EF，因为EF∥GH，所以∠BHG（或补角）为异面直线BH与EF所成的角，显然∠BHG≠π2，因此BH与EF不垂直；对直线EG与DF6.B设AA'与BC的交点为O，OB=x，OC=y，则OA由∠BAC是直角，得AB+1=(x+y)²，得xy=1①，由上、下旋转面的面积比是2：1，得AB=2AC，即x2+1=2y2+1，所以x²=4y²+3②，①②两式联立，整理得x⁴−3x²7.D因为BD→=12DC→，AE→=2EC→，所以AD→=AB→+138.A由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC，得b=asinBsinA，c=asinCsinA，又a=2，B=π3，C=π二、选择题9.ABC对选项A，m=(4,8)=4(1,2)=4a满足数乘关系，两向量平行，故A正确；对选项B：a·b=1×2+2×(−1)=2−2=010.AB有内切球的圆台满足性质：母线长l=R+r=6，圆台高h=l11.ACD对选项A，因为AC⊂平面ABCD，BD1∩平面ABCD=B，B∉AC，D1∉平面ABCD，所以直线AC与BD1为异面直线，故A正确；对选项B，因为V三棱锥C−ABD1=V三棱锥D1−ABC，又由正方体的性质可得△ABC为等腰直角三角形，所以△ABC的面积为2，D1到平面ABC的距离为2，故三棱锥D1−ABC的体积为43，故B错误；对选项C，因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1C1∥BC，所以∠D1BC(或补角)为异面直线BD1与B1C1三、填空题12.−4+3i4i13.42由题意O'C'=1sin45°=2，且B'C'=1，O'A'=3，则OC14.64−16π3由题意，正方体棱长a=4，故此正方体的体积为43=64，因为圆锥底面是正方形的内切圆，故半径r=42=2，圆锥的高四、解答题15.解：（1）当t=1时，由a=(−2,3)，得2aa·|a|=(−2故cos⟨a，（2）|−2=|(t当t=−4时，|−2a+16.解：（1）因为AD∥BC，所以BC∥AM，且所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥又AB⊂平面PAB，CM⊄平面所以CM∥平面PAB（2）由已知平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥所以PA⊥平面ABCDBD⊂平面ABCD，从而PA又BD⊥AB，AB∩AP=A，所以BD⊥平面PAB又BD⊂平面PBD所以平面PAB⊥平面PBD17.解：（1）由余弦定理得a=9+25−2×3×5×4所以a=由cosA=45及=3由正弦定理asinA==5×（2）因为AD为∆ABC所以S∆得12所以AD=bc将cosA2=18.解：（1）在长方体ABCD−A1B1C1又A1D⊂∴AE又AD=∴四边形AA∴A又AE∩AD1=A，∴A1D⊥平面（2）设点E到平面ACD1的距离为在∆ACD1中，AC故S∆AD而S∆ACE=又VD∴1∴h∴点E到平面ACD1的距离为13（3）过D作DH⊥CE于H，连D1由DD1⊥平面ABCD，得D可得CE⊥平面DD1∴∠DHD1为二面角D设BE=x，x∈[0,2]由S∆DEC=∴tan解得x=1此时AE=1，得AEAB=即当二面角D1−EC−D的正切值为219.解：（1）由b2c+所以b=2由正弦定理得sinB=2sinAcosA=因为B∈(0,π)，2故2A所以B=2A或当B+2A=π时，因为所以a=c，这与故B=2A，即λ=2（2）由b2c+因为a≠c，所以当a=1时，b2=1+所以b2−1