2025-2026学年湘教版数学必修第二册全册综合测评练习卷（含答案）

2025-2026学年湘教版数学必修第二册全册综合测评练习卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是()A.1 B.12 C.2 D.2.在△ABC中,已知(b+c-a)(b+c+a)=3bc,且2cosBsinC=sinA,则△ABC的形状为()A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形3.若|z-2|=|z+2|,则复数z对应的点Z在()A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限4.在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面展开图的面积为()A.5π B.6π C.3π D.4π5.已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为()A.32π3 B.4π C.2π D6.在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为S,且a=1,4S=b2+c2-1,则△ABC外接圆的面积为()A.4π B.2π C.π D.π7.已知tanθ是方程x2-6x+1=0的一实根,则cos2(θ+π4)等于(A.34 B.12 C.13 8.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则AC·AE等于(A.3+33 B.92 C.3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列各式中,值为32的是(A.2sin15°cos15° B.1+tan15C.1-2sin215° D.3tan1510.在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若c=3,b=23,∠B=2∠C,则下列结论正确的是()A.sinC=63 B.a=C.a=c D.S△ABC=2211.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AB=PA=6,BC=8,则()A.三棱锥D-BEF的体积为6B.直线PB和直线DF垂直C.平面DEF截三棱锥P-ABC所得的截面面积为12D.点P与点A到平面BDE的距离相等三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知在三棱锥P-ABC中,若PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=BC,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为.

13.甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若2人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若3人击中,则飞机一定被击落.飞机被击落的概率为.

14.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(2025上海,18)如图,P是圆锥的顶点,O是底面圆圆心,AB为底面圆直径,AB=2.(1)若PA与底面所成角大小为π3(2)已知Q是母线AP的中点,点C,D在底面圆周上,AC弧长为π3,且CD∥AB,点T在OC上运动,求证:QT∥平面PBD16.(15分)(2025天津,16)在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.已知asinB=3bcosA,c-2b=1,a=7.(1)求∠A的值;(2)求c的值;(3)求sin(A+2B)的值.17.(15分)某集团公司为了加强企业管理,树立企业形象,考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员工中随机抽取200人进行调查,当不处罚时,有80人迟到,处罚时,得到如下数据:处罚金额x/元50100150200迟到的人数y5040200若用表中数据所得频率代替概率.(1)当处罚金额定为100元时,员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少?(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A,B两类:A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为;B类是其他员工.现按分层抽样的方法从A类与B类员工中抽取4人依次进行深度问卷调查,则前两位均为B类员工的概率是多少?18.(17分)已知向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),函数f(x)=m·n+12(1)若f(x2)=1,x∈(0,π),求tan(x+π(2)若f(α)=-110,α∈(π2,3π4),sinβ=7210,β∈19.(17分)如图,在△AOB中,D是边OB的中点,C是OA上靠近O的三等分点,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b.(1)用a,b表示OM;(2)过点M的直线与边OA,OB分别交于点E,F.设OE=pOA,OF=qOB,求1

参考答案1.A设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.画图可知(图略),当Z位于Z1位置时,|ZZ3|最小.因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.故选A.2.B由题意,得sinA=sin(π-A)=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,则2cosBsinC=sinBcosC+sinCcosB⇔sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0.又-π<B-C<π,所以∠B=∠C.由(b+c-a)(b+c+a)=3bc,可得(b+c)2-a2=3bc,即b2+c2-a2=bc,所以cosA=b2由0<∠A<π,知∠A=π3综上可知,△ABC是等边三角形.故选B.3.B∵|z-2|=|z+2|,∴点Z到(2,0)和(-2,0)的距离相等,即点Z在以(2,0)和(-2,0)为端点的线段的中垂线上.4.A圆锥的侧面展开图是半径为5,弧长为2π的扇形,其面积S=12lr=12×2π×5=5π,5.D∵正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,∴正四棱柱体对角线的长为1+1+2=2.又正四棱柱的顶点在同一球面上,∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球的半径R=1,根据球的体积公式,得此球的体积V=43πR3=46.D由余弦定理得,b2+c2-a2=2bccosA,a=1,所以b2+c2-1=2bccosA.又S=12bcsinA,4S=b2+c2-1,所以4×12bcsinA=2bccosA,即sinA=cosA,tanA=1,又0<∠A<π,所以∠A=π4.由正弦定理,得1sinπ4=2R(R为△ABC外接圆的半径),得R=227.C∵tanθ是方程x2-6x+1=0的一实根,∴tan2θ-6tanθ+1=0,则sin2θco可得sin2θ-6sinθcosθ+cos2θ=0,可得sinθcosθ=16∴sin2θ=2sinθcosθ=13,∴cos2(θ+π4)=8.D由题意∠ABC=120°,BA·BC=2×2×cos120°=-2,AC·AE=(BC−BA)·(BE−BA)=(BC−BA)·(12BC−BA)=129.BCD2sin15°cos15°=sin30°=12;1+tan15°2(1-tan15°)=tan45°+tan15°2(1-tan45°tan15°)=12tan(45°+15°)=10.AB∵∠B=2∠C,∴sinB=sin2C=2sinCcosC,由正弦定理知,bsinB=csinC,可得232sinCcosC=3sinC由余弦定理知,c2=a2+b2-2abcosC,∴9=a2+(23)2-2a×23×即a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.若a=3,则∠A=∠C=π4,此时cosC=22,∴a=1=c3,故B正确,C错误.经检验a=1,符合题意△ABC的面积S△ABC=12ab·sinC=12×1×23×6311.ACD对于A,由三角形中位线定理可得DE=12PA,且S△BEF=14S△所以三棱锥D-BEF的体积为18VP-ABC=18×13×12×6×8对于B,由已知得BC⊥PB,又EF∥BC,可得EF⊥PB,假设直线PB与直线DF垂直,又DF∩EF=F,可得PB⊥平面DEF,又AB⊥平面DEF,与过平面外一点有且只有一条直线垂直该平面矛盾,故B错误;对于C,如图,取PB中点M,连接DM,FM,可得平面DEF截三棱锥P-ABC所得的截面为矩形MFED,面积为3×4=12,故C正确;对于D,由已知可得PA∥DE,而PA⊄平面DBE,DE⊂平面DBE,所以PA∥平面DBE,故点P与点A到平面BDE的距离相等,故D正确.故选ACD.12.24过点B作BD∥AC,且BD=AC,连接AD,则四边形ADBC为菱形,∴∠PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成角.设PA=AB=AC=BC=a,∴AD=a,BD=a.∵PA⊥平面ABC,∴PB=PD=PA2∴cos∠PBD=PB2+BD2-PD13.0.492设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A,B,C,依题意,A,B,C相互独立,故所求事件概率为P=[P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)]×0.2+[P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)]×0.6+P(ABC)=(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8)×0.2+(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8+0.4×0.5×0.8)×0.6+0.4×0.5×0.814.12257210在△ABD中,由正弦定理,得ABsin∠ADB=BDsin∠BAC,而AB=4,∠所以BD=1225,cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cos45°cos∠BAC+sin45°sin∠BAC=15.(1)解如图,连接PO,由题意知PO垂直底面,∵PA与底面所成角大小为π3∴∠PAO=π3,∠POA=π又OA=12AB=1,∴PA=∴S侧=π·OA·PA=2π.(2)证明如图,作出点C,D,T,连接CD,BD,QT,QC,QO,OD,PD,在△PAB中,∵O,Q分别是AB,AP的中点,∴OQ∥PB,又PB⊂平面PBD,OQ⊄平面PBD,∴OQ∥平面PBD.∵∠AOC=ACOA=π3,且CD∥AB,∴∠OCD=∠AOC=π3,又OC=OD=1,∴△OCD是等边三角形,又CD∥OB,∴四边形OCDB是平行四边形,∴OC∥BD,又OC⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,∴OC∥平面PBD,又OC∩OQ=O,OC⊂平面OCQ,OQ⊂平面OCQ,∴平面OCQ∥平面PBD.∵QT⊂平面OCQ,∴QT∥平面PBD.16.解(1)∵asinB=3bcosA,∴sinAsinB=3sinBcosA.又在△ABC中,sinB>0,∴sinA=3cosA,∴tanA=3.∵∠A∈(0,π),∴∠A=π3(2)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA,又∠A=π3,a=7,∴b2+c2-bc=7.①又c-2b=1,②由①②得b=1,c=3.(3)cosB=a2∴sinB=1-∴sin2B=2sinBcosB=2×2114×5714=5314,cos2B=2cos2B-1=2×∴sin(A+2B)=sin(π3+2B)=sinπ3cos2B+cosπ3sin217.解(1)设“当处罚金额定为100元时,员工迟到”为事件A,则P(A)=40200=15,不处罚时,员工迟到的概率为80200=25(2)由题意知,A类员工和B类员工各有40人,分别从A类员工和B类员工中各抽出两人,设从A类员工抽出的两人分别为A1,A2,从B类员工抽出的两人分别为B1,B2,设“按分层抽样的方法从A类与B类员工中抽取4人依次进行深度问卷调查,首先抽出A1”为事件M,则M={(A1,A2,B1,B2),(A1,A2,B2,B1),(A1,B1,A2,B2),(A1,B1,B2,A2),(A1,B2,A2,B1),(A1,B2,B1,A2)},共6个样本点,同理,首先抽出A2,B1,B2的样本点也各有6个,故样本空间中共有24个样本点,设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N,则N={(B1,B2,A1,A2),(B1,B2,A2,A1),(B2,B1,A1,A2),(B2,B1,A2,A1)},共4个样本点,所以P(N)=424所以抽取4人中前两位均为B类员工的概率是1618.解(1)因为向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),所以f(x)=m·n+12=cos2x-sin2x+12=cos2x+因为f(x2)=1,所以cosx+12=1,即cosx=又因为x∈(0,π),所以x=π3.所以tan(x+π4)=tan(π3+π4)=(2)因为f(α)=-110,所以cos2α+12=-即cos2α=-35因为α∈(π2,3π4),所以2α∈则sin2α=-1-cos因为sinβ=7210,β∈(0,π2),所以cosβ=1-s