福建省厦门一中2025-2026学年下学期高一6月检测数学试卷（含答案）

厦门一中2025−2026学年第二学期高一年6月适应性训练数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，考生只须将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某校有男生860人，女生640人，现按性别采用按比例的分层抽样的方法从该校学生中抽取75人进行调查，则男生被抽取的人数是A．22 B．32 C．43 D．532．已知i为虚数单位，若z1=2+i，A．z1+zC．z1z23．平面向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则(A．-1 B．1C．−54．已知α，β，γ是三个不同的平面，且α⊥β，则“γ∥A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，一条河两岸平行，河的宽度为200m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|=10km/h，水流速度v2的大小为A．π2<θ<2π3C．2π3<θ<3π6．已知∆ABC中C为直角，分别以CA，CB，AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为V1，V2，V3，若VA．π2 B．C．π6 D．7．记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=A．12 B．C．23 D．8．在三棱锥A−BCD中，AB=CD=A．67 B．C．147 D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：下列结论中正确的是A.从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C.2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平D.1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10.在∆ABC中，BC=4，AC=2A.ABB.若CD是∆ABC的中线，则C.若CD是∆ABC的高，则D.若CD是∆ABC的角平分线，则11.一个封闭的直三棱柱容器ABC−A1B1C1内装有高度为3的水（如图所示，底面处于水平状态）。记水面为α，AC=BCA.水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形B.水面始终都不是正三角形C.当α经过C时，α与平面A1BD.当逆时针旋转90°时，水面的面积为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知z为复数，则|z−3|+|z13.记∆ABC的外心为点O，且AB2+A14.在三棱锥P−ABC中，∆BAC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且CB=22，AB=AC=6四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知|a|=1，（1）若a，b的夹角为45°，求|a（2）若(2a−b)⊥b，a与b16.如图1所示，四边形ABCD为正方形，PC=PD=CD，E为PC的中点。将∆PDC沿直线CD（1）证明：平面PCD⊥平面ABCD（2）求平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值。17.某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50),[50,60),…,[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图。（1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数；（2）已知落在区间[50,60)的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间[60,70)的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数x¯和方差s18.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O（1）求证：OC⊥（2）点M在PD上，且OM∥平面PBC，求PM（3）若PD与平面PBC所成角的正弦值为63，AB=2，求四棱锥的19.如图，已知∆ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2sin2A=b2sin2B，动点D在∆ABC的外接圆上，且点（1）判断∆ABC（2）若BD=2，求四边形ADBC的面积S（3）求ABCD厦门一中2025−2026学年第二学期高一年6月适应性训练数学参考答案1.C 2.C 3.B 4.A 5.D 6.B 7.D 8.B 9.ABC 10.BD 11.ACD12. 5 13. −145.如图，设∠AOB由图可知sinα=820=45，所以sinα=45，所以cosα=35，所以6.以CA所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：V1=1圆锥的体积为：V2=1V3=1所以1V327.根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（R代入已知等式：b2=整理得：sinB·(a2+2c2)=2将sinB代入得：S=12当且仅当a=2c时，取等号，即∆8.如图，将此四面体放入长方体中研究，易知此长方体的棱长为1，2，3取BC的中点O，延长AO，DF交于点E，不难证明F是DE的中点所以点D到平面ABC的距离等于点F到平面ABC的距离的2倍，也就是点P到平面ABC的距离的2倍由等体积法可知，点P到平面ABC的距离h所以D到平面ABC的距离为129.对于A，从折线图能看出世界人口的总量随年份的增加而增加，故A正确；对于B，从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；对于C，从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平，故C正确；对于D，由题中三幅统计图可看得出北美洲人口数量最少，并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选：ABC10.对于A，由余弦定理，得AB=BC对于B，由CD是∆ABC的中线，得CD→=1对于C，由CD是∆ABC的高，得12ACC错误；对于D，由CD是∆ABC的角平分线，得∠ACD=∠得12AC·11.A选项，水的体积V水=3所以当水面经过AB时，水面与棱CC1相交，如图3，当水面经过点C时，水面与面则在此之前水面形状均为三角形，继续旋转直至90°之前，水面形状为等腰梯形，如图5，转至90°时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确；B选项，初始位置，如图1，DE=22，当水面经过A1B1时，如图3，此时VDF=所以在转动过程中，存在DE=C选项，如图4，VC−DEG1则S∆DECD选项，当逆时针旋转90°时，如图6，VDE且由于∆DEC1与∆A1则水面的面积为SDEFG12.设z=a+bi(a,|z−3|表示复平面内，点P(a,b)到A故|z−3|+|z−4i|表示复平面内，点显然当点P在线段AB上时，其取得最小值，最小值为|AB13.因为AB2+AC14.先分别作BC，AC中点E，F，连接AB，PF；再过点F在平面ABC内作AC垂线，与AB相交于点G，AB相交于点H；分别过点F，O作平面PAC、平面ABC垂线，相交于点O，连接AO，如图所示.由题可知，二面角P−AC−B的平面角为∠HFP=120°，点F，G分别为∆PACOF⊥PF，OG⊥FH在∆ABC中，所以tan∠CAE=22由正弦定理可知|BC|sin∠BAC=2|因为OG⊥AG，所以有|OA15.（1）a·b=|（2）若(2a−b)⊥b，则(2所以cosθ=a·b|16.（1）由DE⊥平面PCB，BC⊂平面PCB，则DE⊥BC，由四边形又DE∩CD=D，且DE，CD⊂平面PCD，则BC⊥平面PCD，由BC⊂（2）由（1）知BC⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，则BC⊥而平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊂平面ABCD由PD⊂平面PCD，则AD由PC=PD=CD=所以AP=BP，即∆PAB取AB，CD的中点分别为F，G，连接PF，PG，FG，则PF⊥AB，且而AD⊥AB，则PG⊥AB，又平面其中PF⊂平面PAB，FG⊂平面ABCD，则∠PFG即为平面PAB若PC=PD=CD=AD=BC=2所以PF=7，故所以平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为2717.（1）由题意(0.005+0.01+0.02+0.03+a所以前4组频率之和(0.005+0.01+0.02+0.03)×10=0.65<0.8，前5组频率之和(0.005+0.01+0.02+0.03+0.025)×10=0.9>0.8，所以样本成绩的第80百分位数在区间(80,90)内，且为80+0.8−0.65样本平均数为(0.005×45+0.01×55+0.02×65+0.03×75+0.025×85+0.01×95)×10=74；（2）由题可得落在区间[50,60)的样本个数为0.01×10×100=10，样本平均成绩是x¯1=57落在区间[60,70)的样本个数为0.02×10×100=20，样本平均成绩是x¯2=66所以两组样本成绩合并后的平均数为z¯两组样本成绩合并后的方差为s218.解：（1）连接OP，∵PA=PB，∴又∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥平面ABCD，又OD⊂平面ABCD又OD⊥PC，PO∩PC=P，PO，PC⊂又OC⊂平面POC，∴OD⊥OC，又PO⊥平面ABCD，OCPO∩OD=O，PO，OD⊂平面POD，∴OC⊥平面POD（2）取CD中点为N，连ON，MN，∵ON∥BC，ON⊄平面PBC，BC⊂平面PBC又OM∥平面PBC，OM∩ON=O，OM∴平面OMN∥平面PBC，MN⊂平面OMN，∴MN∵MN∥PC，MN⊄平面PBC，∴MN∥平面PBC，PC，MN⊂平面PCD，平面PCD∴MN∥PC，又N为CD中点，则M为PD（3）由（1）可知OD⊥OC，所以∆DAO为等腰直角三角形，又AB=2，∴OD记点D到面PBC的距离为hD−PBC，∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC∵ABOB=2设PD与平面PBC所成角为θ，∴sinθ整理得h4−3h