苏教版七年级上数学期末压轴题选讲及解析

苏教版七年级上数学期末压轴题选讲及解析引言七年级上学期的数学学习，是同学们从小学阶段的具体数学向初中阶段的抽象数学过渡的关键时期。这半年里，我们接触了有理数的运算、代数式的初步知识、一元一次方程的构建与求解，以及图形的初步认识。期末考试中的压轴题，往往是对这些知识的综合运用能力和数学思维能力的集中考察。它不仅检验同学们对基础知识的掌握程度，更考验大家分析问题、解决问题的灵活性与深度。因此，对压轴题进行有针对性的分析和练习，对于提升数学素养和应试能力都至关重要。本文将选取几道具有代表性的苏教版七年级上数学期末压轴题，进行深入的剖析与讲解，希望能为同学们提供一些有益的启示。一、动态几何与一元一次方程的结合这类问题通常涉及图形的运动变化，要求同学们能够在动态过程中找到不变的数量关系，并用方程的思想加以解决，对空间想象能力和逻辑推理能力有较高要求。题目呈现例1：已知线段AB，点C为线段AB上一点，AC=6cm，BC=4cm。点M、N分别从点A、C同时出发，沿线段AB方向运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s。设运动时间为t秒（t≥0）。（1）当t为何值时，点M与点N重合？（2）在点M、N运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，求出线段MN的长度关于t的表达式；若不变，求出其长度。（3）若点P是线段AB延长线上一点，在点M、N运动的同时，点P也从点B出发沿BA方向以3cm/s的速度运动。请问：在运动过程中，PM-PN的值是否会发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由。思路与解析（1）当t为何值时，点M与点N重合？首先，我们需要明确点M和点N的初始位置以及运动方向和速度。点M从A出发，速度为1cm/s，所以t秒后，AM=1*t=tcm。点N从C出发，速度为2cm/s，所以t秒后，CN=2*t=2tcm。因为点C在AB上，AC=6cm，所以点N的初始位置在距离A点6cm处。那么，t秒后，点N距离A点的距离AN=AC+CN=6+2tcm。点M与点N重合，意味着它们距离A点的距离相等，即AM=AN。所以我们可以列出方程：t=6+2t解这个方程：t-2t=6-t=6t=-6哎，这里出现了t=-6。但我们知道时间t是大于等于0的，这个结果意味着什么呢？这说明，在我们设定的运动方向下（都沿AB方向，通常默认为从A到B为正方向），点M追不上点N，因为点N的速度比点M快，并且点N在点M的前方（C在A、B之间，AC=6cm）。所以，点M与点N不会重合。因此，本题的答案是不存在这样的t值使点M与点N重合。（2）在点M、N运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，求出线段MN的长度关于t的表达式；若不变，求出其长度。由（1）的分析可知，t秒后，点M距离A点AM=tcm，点N距离A点AN=6+2tcm。因为点N的速度更快且起始位置在点M前方，所以在整个运动过程中，点N始终在点M的前方。因此，线段MN的长度就等于AN-AM。MN=AN-AM=(6+2t)-t=6+tcm。可以看出，MN的长度随着t的增大而增大，因此线段MN的长度是变化的，其表达式为MN=(t+6)cm。（3）若点P是线段AB延长线上一点，在点M、N运动的同时，点P也从点B出发沿BA方向以3cm/s的速度运动。请问：在运动过程中，PM-PN的值是否会发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由。这一问引入了第三个动点P，情况变得复杂一些。我们需要先明确点P的运动情况，并建立起PM和PN与t的关系。首先，我们需要知道线段AB的总长度。由题可知AC=6cm，BC=4cm，所以AB=AC+BC=6+4=10cm。点P从点B出发，沿BA方向（即从B向A的方向，与M、N的运动方向一致）运动，速度为3cm/s。所以t秒后，点P运动的路程BP=3tcm。因为P是从B出发向A运动，所以此时点P距离A点的距离AP=AB-BP=10-3tcm。这里需要注意，AP的表达式成立的前提是点P还在线段AB上或者AB的延长线上（但方向是BA，所以P最多运动到A点，若t继续增大，P会超过A点，AP的表达式会变为3t-10，但我们先按一般情况分析，后续可验证）。现在，我们需要表示出PM和PN。点M距离A点tcm，点P距离A点AP=(10-3t)cm。那么，PM的长度是多少呢？这取决于点M和点P的位置关系。同样，点N距离A点AN=(6+2t)cm，点P距离A点AP=(10-3t)cm。PN的长度也取决于点N和点P的位置关系。我们需要分析在运动过程中，M、N、P三点相对于A点的位置关系。点M的位置：AM=t(t≥0)点N的位置：AN=6+2t(t≥0)点P的位置：AP=10-3t(t≥0)当t=0时，AP=10cm（在B点），AM=0（在A点），AN=6cm（在C点）。随着t的增加：M向右移动，AM增大。N向右移动，AN增大。P向左移动（BA方向），AP减小。当t=10/3秒时，AP=0，即P到达A点。当t>10/3秒时，P将运动到A点左侧，此时AP=3t-10(cm)，方向为A点左侧。我们需要分情况讨论PM-PN的值吗？或者是否存在一个统一的表达式？PM是点P到点M的距离，即|AP-AM|。PN是点P到点N的距离，即|AP-AN|。因此，PM-PN=|AP-AM|-|AP-AN|。我们来计算AP-AM=(10-3t)-t=10-4t。AP-AN=(10-3t)-(6+2t)=10-3t-6-2t=4-5t。所以PM=|10-4t|，PN=|4-5t|。PM-PN=|10-4t|-|4-5t|。这个绝对值表达式如何化简呢？我们需要找到绝对值内表达式的零点，划分区间进行讨论。10-4t=0→t=10/4=2.54-5t=0→t=4/5=0.8所以t的取值可以分为几个区间：1.t<0.82.0.8≤t<2.53.t≥2.5同时，我们还要考虑点P的运动范围，当t=10/3≈3.333秒时，P到达A点。当t>10/3时，AP=3t-10，此时AP-AM=(3t-10)-t=2t-10，AP-AN=(3t-10)-(6+2t)=t-16。所以我们可能还需要考虑t≥10/3的情况。情况一：0≤t<0.8(即t<4/5)此时，10-4t>0(因为t<2.5)，4-5t>0(因为t<0.8)。所以PM=10-4t，PN=4-5t。PM-PN=(10-4t)-(4-5t)=10-4t-4+5t=t+6。此时PM-PN的值随t变化。情况二：0.8≤t<2.5(即4/5≤t<10/4)此时，10-4t>0(t<2.5)，4-5t≤0(t≥0.8)。所以PM=10-4t，PN=5t-4。PM-PN=(10-4t)-(5t-4)=10-4t-5t+4=14-9t。此时PM-PN的值也随t变化。情况三：2.5≤t<10/3(即10/4≤t<10/3)此时，10-4t≤0(t≥2.5)，4-5t<0(t>0.8)。所以PM=4t-10，PN=5t-4。PM-PN=(4t-10)-(5t-4)=4t-10-5t+4=-t-6。此时PM-PN的值仍随t变化。情况四：t≥10/3此时，点P已运动到A点左侧，AP=3t-10。点M：AM=t。因为t≥10/3≈3.333，所以点M在A点右侧tcm处。点P在A点左侧(3t-10)cm处。所以PM=AM+AP=t+(3t-10)=4t-10。点N：AN=6+2t。点N在A点右侧(6+2t)cm处。点P在A点左侧(3t-10)cm处。所以PN=AN+AP=(6+2t)+(3t-10)=5t-4。PM-PN=(4t-10)-(5t-4)=-t-6。与情况三后半段一致，仍随t变化。从以上四种情况的分析可以看出，在不同的时间段内，PM-PN的表达式是不同的，其值随着t的变化而变化。例如，当t=0时（初始时刻），PM-PN=0+6=6；当t=1时（属于情况二），PM-PN=14-9*1=5；当t=3时（属于情况三），PM-PN=-3-6=-9。因此，PM-PN的值是发生变化的。结论：在运动过程中，PM-PN的值会发生变化。二、图形操作与规律探究这类问题通常要求同学们根据给定的图形变换规则，进行操作并观察、归纳、猜想其蕴含的规律，有时还需要对规律进行验证或应用。它能有效考察同学们的空间观念和抽象概括能力。题目呈现例2：我们知道，将一个平面图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（1）如图1，是一个边长为4的正方形纸片。将其沿一条边的垂直平分线对折，得到一个长方形；再将这个长方形沿一条边的垂直平分线对折，得到一个更小的长方形；如此进行下去，第n次对折后得到的图形的面积是多少？（2）如图2，将一个边长为1的等边三角形纸片（即正三角形），第一次沿一条中位线剪开，得到一个小的等边三角形和一个梯形；第二次将这个小的等边三角形又沿一条中位线剪开，得到一个更小的等边三角形和一个更小的梯形；如此进行下去。①请分别求出第一次、第二次、第三次剪开后所得最小等边三角形的边长和面积。②第n次剪开后所得最小等边三角形的边长和面积分别是多少？（用含n的代数式表示）思路与解析（1）正方形纸片对折问题原始正方形边长为4，其面积S₀=边长×边长=4×4=16。第一次对折：沿一条边的垂直平分线对折，得到一个长方形。这个长方形的长为4，宽为4÷2=2。其面积S₁=4×2=8。我们也可以理解为，对折一次，面积变为原来的一半，即S₁=S₀÷2=16÷2=8。第二次对折：将得到的长方形再沿一条边的垂直平分线对折。此时长方形的长为4，宽为2。若沿长的垂直平分线对折（即沿原来正方形另一条边的垂直平分线），则得到的小长方形长为2，宽为2，是一个正方形，面积S₂=2×2=4。同样，这也相当于将上一次的面积再除以2，即S₂=S₁÷2=8÷2=4。第三次对折：将边长为2的正方形沿垂直平分线对折，面积S₃=4÷2=2。依此类推，每对折一次，图形的面积都是前一次面积的一半。所以，第1次对折后面积S₁=16×(1/2)¹=8第2次对折后面积S₂=16×(1/2)²=4第3次对折后面积S₃=16×(1/2)³=2...第n次对折后面积Sₙ=16×(1/2)ⁿ=2⁴/2ⁿ=2^(4-n)。因此，第n次对折后得到的图形的面积是2^(4-n)（或表示为16/(2ⁿ)）。（2）等边三角形纸片剪开问题①第一次剪开：原始等边三角形边长为1。沿一条中位线剪开。根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。所以，剪开后得到的小等边三角形的边长为原三角形边长的一半，即1×(1/2)=1/2。原等边三角形的面积S₀=(√3/4)×(边长)²=(√3/4)×1²=√3/4。所得最小等边三角形（第一次剪开后只有一个小的）的面积S₁=(√3/4)×(1/2)²=(√3/4)×(1/4)=√3/16。或者，因为相似三角形面积比等于相似比的平方，小三角形与原三角形相似比为1/2，所以面积比为1/4，故S₁=S₀×(1/4)=(√3/4)×(1/4)=√3/16。②第二次剪开：将第一次得到的小等边三角形（边长为1/2）再沿一条中位线剪开。同理，得到的更小等边三角形的边长为(1/2)×(1/2)=(1/2)²=1/4。其面积S₂=S₁×(1/4)=(√3/16)×(1/4)=√3/64