2023-2024学年湖南省儋州市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年湖南省儋州市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，集合B＝{x||x|≥1}，则（）A．B⊆A B．∁UA＝{x|x＞2} C．A∩B＝{x|1≤x＜2} D．A∪B＝R2．（5分）设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B．+i C．1 D．﹣1﹣2i3．（5分）已知向量，，则“”是“m＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号．甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（）A．16000种 B．14400种 C．2880种 D．2400种5．（5分）如图为2015年6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的折线图，以下结论不正确的是（）指数数值与等级水平表：指数0～5051～100101～150151～200201～300＞300等级一级优二级良三级轻度污染四级中度污染五级重度污染六级严重污染A．6月份空气质量为优的天数为8天 B．6月份连续2天出现中度污染的概率为 C．6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的众数为160 D．北京6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好6．（5分）如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为（）A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.067．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．π B．π C．π D．π8．（5分）已知a，b，c∈（1，+∞），，，，则下列大小关系正确的是（）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得3分，多选或错选不得分）（多选）9．（6分）2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：售价x99.51010.511销售量y1110865根据表中数据得到y关于x的回归直线方程ŷ＝﹣3.2x+，则下列说法正确的有（）A．＝40 B．回归直线过点（10，8） C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8 D．点（10.5，6）处的随机误差为0.4（多选）10．（6分）下列结论正确的是（）A．若随机变量Y的方差D（Y）＝2，则D（3Y+2）＝8 B．若随机变量η服从正态分布N（5，σ2），且P（η＜2）＝0.1，则P（2＜η＜8）＝0.8 C．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则 D．若随机变量X服从二项分布，则X的分布列可表示为，k＝0，1，2，3，4（多选）11．（6分）设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的一个动点，则下列结论正确的是（）A．点P到F的距离比到x轴的距离大2 B．点P到直线y＝x﹣3的最小距离为 C．以PF为直径的圆与x轴相切 D．记点P在C的准线上的射影为H，则△PFH不可能是正三角形三、填空题（每小题5分，共计20分）12．（5分）数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝2an﹣1+1，则{an}的通项公式是an＝．13．（5分）若（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中x3的系数为﹣80，则展开式中所有项的二项式系数之和为．（以数字作答）14．（5分）作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求）．则一共可以传递种信息．（用数字作答）三、解答题（解答题，共78分，需写出必要的解题过程或文字说明）15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝．（1）求Sn；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．16．（15分）设函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y＝3x+2，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间及极值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面AA1B1B，A1A＝A1B，∠A1AB＝60°，O为AB的中点，M为A1C1的中点．（1）求证：OM∥平面BB1C1C；（2）求二面角C1﹣BA1﹣C的正弦值．18．（17分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线BD与AE交于点G．求的取值范围．19．（17分）为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展．该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组在该技术研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据如表所示：研发投入x3681014172232收益y4352607174818998（1）已知可用一元线性回归模型模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程；（附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，，，结果保留两位小数）（2）该企业主要生产I、II类产品，现随机抽取I类产品2件、II类产品1件进行质量检验，已知I类、II类产品独立检验为合格品的概率分别为，，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率．

2023-2024学年湖南省儋州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣2＜0}，集合B＝{x||x|≥1}，则（）A．B⊆A B．∁UA＝{x|x＞2} C．A∩B＝{x|1≤x＜2} D．A∪B＝R【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算．【答案】D【分析】可求出集合A，B，然后进行交集、补集和并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|x≥1或x≤﹣1}，∴∁UA＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|1≤x＜2或x≤﹣1}，A∪B＝R．故选：D．2．（5分）设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z为（）A．﹣i B．+i C．1 D．﹣1﹣2i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】A【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i，则复数z＝﹣i．故选：A．3．（5分）已知向量，，则“”是“m＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据向量垂直的坐标表示求出当时的m值即可得解．【解答】解：由题当时，，解得m＝﹣2或m＝1，故“”是“m＝1”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号．甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（）A．16000种 B．14400种 C．2880种 D．2400种【考点】排列组合的综合应用．【答案】B【分析】利用捆绑法结合排列的知识求解即可．【解答】解：先将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人捆绑，再和其他4个文化符号排列，共有种．故选：B．5．（5分）如图为2015年6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的折线图，以下结论不正确的是（）指数数值与等级水平表：指数0～5051～100101～150151～200201～300＞300等级一级优二级良三级轻度污染四级中度污染五级重度污染六级严重污染A．6月份空气质量为优的天数为8天 B．6月份连续2天出现中度污染的概率为 C．6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的众数为160 D．北京6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好【考点】折线统计图．【答案】C【分析】对于A.6月份空气质量为优的日子为：6月7日，8日，11日，12日，13日，18日，19日，30日，即可判断出真假；对于B.6月份连续2天d的日子为29个，连续2天中度污染的日子2个：为第28和29天，第24和25天，即可得出概率；对于C.6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的众数为42，即可判断出真假；对于D．北京6月4至7日这4天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，即可判断出真假．【解答】解：A.6月份空气质量为优的日子为：6月7日，8日，11日，12日，13日，18日，19日，30日，天数为8天，因此正确；B.6月份连续2天d的日子为29个，连续2天中度污染的日子2个：为第28和29天，第24和25天，所以概率为，正确；C.6月份北京空气质量指数AQI﹣PM2.5历史数据的众数为42，因此错误；D．北京6月4至7日这4天的图象逐渐下降，空气质量逐渐变好，正确．故选：C．6．（5分）如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为（）A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.06【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【答案】B【分析】由条件利用相互独立事件的概率乘法公式，事件与它的对立事件的概率之间的关系，求得结果．【解答】解析：A、B、C三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P＝1﹣（1﹣0.9）×（1﹣0.8）（1﹣0.7）＝1﹣0.1×0.2×0.3＝0.994．故选：B．7．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．π B．π C．π D．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【答案】B【分析】求出PA＝1，PC＝，PB＝2，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：∵AB＝，BC＝，AC＝2，∴PA＝1，PC＝，PB＝2以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为＝2，∴球直径为2，半径R＝，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3＝π×（）3＝π故选：B．8．（5分）已知a，b，c∈（1，+∞），，，，则下列大小关系正确的是（）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【答案】B【分析】等价变形已知条件，alna＝8ln10，blnb＝7ln11，clnc＝6ln12，构造两个函数f（x）＝xlnx，g（x）＝（18﹣x）lnx，利用求导判断单调性即可求解．【解答】解：设f（x）＝xlnx（x＞1），g（x）＝（18﹣x）lnx（x≥10），因为，，所以alna＝8ln10，blnb＝7ln11，clnc＝6ln12，即f（a）＝g（10），f（b）＝g（11），f（c）＝g（12），，，g′（x）在[10，+∞）上单调递减，g'（x）＜g'（10）＜0，所以g（x）在[10，+∞）上单调递减，所以g（10）＞g（11）＞g（12），即f（a）＞f（b）＞f（c），f′（x）＝lnx+1，当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以a＞b＞c．故选：B．二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，部分选对得3分，多选或错选不得分）（多选）9．（6分）2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：售价x99.51010.511销售量y1110865根据表中数据得到y关于x的回归直线方程ŷ＝﹣3.2x+，则下列说法正确的有（）A．＝40 B．回归直线过点（10，8） C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8 D．点（10.5，6）处的随机误差为0.4【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】ABC【分析】根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，即可依次求解．【解答】解：由表中数据可得，，，故回归直线过点（10，8），故B正确，∵y关于x的回归直线方程ŷ＝﹣3.2x+，∴，解得，故A正确，，当x＝8.5时，，故C正确，当x＝10.5时，，6﹣6.4＝﹣0.4，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（6分）下列结论正确的是（）A．若随机变量Y的方差D（Y）＝2，则D（3Y+2）＝8 B．若随机变量η服从正态分布N（5，σ2），且P（η＜2）＝0.1，则P（2＜η＜8）＝0.8 C．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则 D．若随机变量X服从二项分布，则X的分布列可表示为，k＝0，1，2，3，4【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量及其分布列．【答案】BC【分析】由方差的性质即可判断A；由正态分布的特征即可判断B；由超几何分布求出期望可判断C；由二项分布的概率分布列可判断D．【解答】解：对于A，因为D（Y）＝2，D（3Y+2）＝9D（Y）＝18，故A错误；对于B，因为η～N（5，σ2），且P（η＜2）＝0.1，则P（2＜η＜8）＝1﹣2P（η＜2）＝0.8，故B正确；对于C，由题X的取值可能为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以＝，故C正确；对于D，因为X～，则X的分布列可表示为，k＝0，1，2，3，4，故D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）设抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的一个动点，则下列结论正确的是（）A．点P到F的距离比到x轴的距离大2 B．点P到直线y＝x﹣3的最小距离为 C．以PF为直径的圆与x轴相切 D．记点P在C的准线上的射影为H，则△PFH不可能是正三角形【考点】抛物线的焦点与准线．【答案】BC【分析】由抛物线C：x2＝4y，可得焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，设P（x0，y0）．A．利用抛物线的定义可得|PF|﹣y0＝y0+1﹣y0＝1，即可判断出正误；B．y0＝，利用点到直线的距离公式可得点P到直线y＝x﹣3的距离，进而判断出正误；C．设PF的中点为M，可得yM＝|PF|，即可判断出正误；D．H（x0，﹣1），令|PH|＝|FH|，可得y0+1＝，＝4y0，解得y0，即可判断出正误．【解答】解：由抛物线C：x2＝4y，可得焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，设P（x0，y0）．A．|PF|﹣y0＝y0+1﹣y0＝1＜2，因此A不正确；B．y0＝，则点P到直线y＝x﹣3的距离为d＝＝≥＝，当x0＝2时取等号，可得点P到直线y＝x﹣3的最小距离为，因此B正确；C．设PF的中点为M，则yM＝＝|PF|，于是以PF为直径的圆与x轴相切，因此C正确；D．H（x0，﹣1），令|PH|＝|FH|，则y0+1＝，＝4y0，解得y0＝3，此时△PFH是正三角形，因此D不正确．故选：BC．三、填空题（每小题5分，共计20分）12．（5分）数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝2an﹣1+1，则{an}的通项公式是an＝2n﹣1．【考点】等比数列的性质．【答案】见试题解答内容【分析】对题设中所给的等式变形，可确定{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求得{an}的通项公式．【解答】解：∵n≥2时，an＝2an﹣1+1，∴an+1＝2（an﹣1+1），∵a1＝1，∴a1+1＝2∴{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列∴an+1＝2n，∴an＝2n﹣1故答案为：2n﹣113．（5分）若（1﹣2x）n（n∈N*）的展开式中x3的系数为﹣80，则展开式中所有项的二项式系数之和为32．（以数字作答）【考点】二项式系数与二项式系数的和．【答案】32．【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．【解答】解：根据（1﹣2x）n的展开式，（r＝0，1，2，3，…，n）当r＝3时，，解得n＝5；故所有项的二项式系数之和为25＝32．故答案为：32．14．（5分）作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息．同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息．现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求）．则一共可以传递6种信息．（用数字作答）【考点】排列组合的综合应用．【答案】6．【分析】根据题意，分3步依次分析三行方格的可能情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步分析：①，在第一行中，有且只有1个紫色小方格，有3种情况，②，在第二行的三个方格，要求每一列上都有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况，③，在第三行，只有1种情况，则有3×2×1＝6种情况，即可以传递6种信息，故答案为：6．三、解答题（解答题，共78分，需写出必要的解题过程或文字说明）15．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝．（1）求Sn；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】错位相减法．【答案】（1）：（2）；【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用分组法和乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，an＝①．当n＝1时，解得a1＝2，当n≥2时，②，①﹣②得：，整理得，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；所以，故，（2）由于，设，pn＝1，所以①，②，①﹣②得：，整理得，pn＝1+1+…+1＝n，所以．16．（15分）设函数f（x）＝x3﹣3ax+b（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y＝3x+2，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间及极值．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】（1）；（2）函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）和（，+∞），函数f（x）的单调减区间为（﹣，）；f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a，b的方程组，即可解得a，b；（2）求出函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，即可得到极值．【解答】解：（1）曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y＝3x+2，所以f′（2）＝3，f（2）＝8，又f′（x）＝3x2﹣3a则，解得；（2）f′（x）＝3x2﹣3a（a＞0）．由f′（x）＝0，解得，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点，f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）和（，+∞），函数f（x）的单调减区间为（﹣，）．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面AA1B1B，A1A＝A1B，∠A1AB＝60°，O为AB的中点，M为A1C1的中点．（1）求证：OM∥平面BB1C1C；（2）求二面角C1﹣BA1﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解答．（2）．【分析】（1）连接CO，A1O，由题意得CO⊥平面ABB1A1，A1O⊥AB，以O为原点，OA为x轴，OA1为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明OM∥平面BB1C1C．（2）求出平面A1BC1的法向量和平面A1BC的法向量，利用向量法能求出二面角C1﹣BA1﹣C的正弦值．【解答】解：（1）证明：连接CO，A1O，由题意得CO⊥平面ABB1A1，A1O⊥AB，以O为原点，OA为x轴，OA1为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A1（0，，0），B1（﹣2，，0），C（0，0，），M（﹣，，），B（﹣1，0，0），＝（﹣），＝（﹣1，，0），＝（1，0，），设平面BB1C1C的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，1，﹣1），∵＝﹣＝0，OM⊄平面BB1C1C，∴OM∥平面BB1C1C．（2）C1（﹣1，），＝（1，，0），＝（1，0，），＝（0，），设平面A1BC1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设平面A1BC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，得＝（，﹣1，﹣1），设二面角C1﹣BA1﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴sinθ＝＝．∴二面角C1﹣BA1﹣C的正弦值为．18．（17分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直