2023-2024学年湖南省五市十校教研教改共同体、三湘名校教育联盟高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年湖南省五市十校教研教改共同体、三湘名校教育联盟高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设z1＝2+i，z2＝3+4i，则|zA．15 B．55 C．5 2．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，用斜二测画法画出它的直观图，则它的直观图的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．163．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论正确的是（）A．A与B相等 B．A与B互斥 C．A与B的样本点个数不相等 D．A与B相互独立4．（5分）已知θ为第三象限角，向量a→=（sinθ，1），b→=（cosθ，2），且a→与bA．55 B．255 C．−5．（5分）设m、n为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m不垂直于α，n⊂α，则m必不垂直于n C．若m∥α，α∥β，则m∥β D．若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β6．（5分）端午节是每年的五月初五，是我国汉族人民的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子，赛龙舟，熏艾叶，挂菖蒲等．某学校组织学生进行包粽子比赛，包法有很多种，最常见的是三角粽和四角粽．已知小明只会这两种包法，每次包三角粽的概率为34，每次包四角粽的概率为1A．5164 B．4164 C．27647．（5分）设△ABC的外心为O，且2AO→=AB→A．14BC→ B．34BC→8．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c﹣2acosB，则12sinA．[22，+∞) B．(22，+∞) C．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。（多选）9．（6分）已知z＝3﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，下列说法正确的是（）A．z＝3﹣2i的实部为3，虚部为﹣2i B．p＝﹣6 C．q＝13 D．若复数z1满足|z1+z|＝1，则|z1|的最大值为1+（多选）10．（6分）已知函数f(x)=sin2x−3A．f（x）的单调递增区间是[−πB．y＝f（x）的图象可由函数y＝2sin2x的图象向右平移2π3个单位，再向上平移3个单位得到C．y＝f（x）的图象关于直线x=11π12D．当x∈[−π12，π2（多选）11．（6分）在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA＝l，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为12π，则下列说法正确的是（）A．当r＝3时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为37B．当l＝6时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为213C．当l＝6时，圆锥SO的外接球表面积为81π2D．当l＝6时，棱长为833的正四面体在圆锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的80%分位数为．13．（5分）如图，“六芒星”是由两个边长为3cm的正三角形组成，中心重合于点O，且三组对边分别平行，现将三角形DEF往垂直于平面ABC的方向移动2cm，则此时空间几何体ABCDEF的外接球的表面积为cm2．14．（5分）设函数f（x）＝（x﹣a）ln（x+b），若f（x）≥0，且ab＞0，则1ab+b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．（1）估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）销售部从年龄在[30，40），[60，70）内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率．16．（15分）如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，AD＝AB＝2，DC＝2AB，M为AD的中点，N为DC上靠近D的四等分点，直线MC与BN交于点P．（1）求∠CPN的余弦值；（2）若CP→=λCM17．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m→=（a，2b+c），n→=（cosC，cosA），且m→⊥n（1）求角A的大小；（2）若AD为角A的角平分线，a＝7，△ABC的周长为15，求AD的长．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，E为线段PD上的动点．（1）若E为PD的中点，求三棱锥D﹣AEC的体积；（2）若ED→=2PE→，问AB上是否存在点M，使得PM∥平面（3）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．19．（17分）已知函数f(x)=alnx−x+1x−1，（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（c）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．

2023-2024学年湖南省五市十校教研教改共同体、三湘名校教育联盟高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）设z1＝2+i，z2＝3+4i，则|zA．15 B．55 C．5 【考点】复数的模．【答案】B【分析】根据已知复数，计算模，求解即可．【解答】解：由|z1|=5可得|z故选：B．2．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，用斜二测画法画出它的直观图，则它的直观图的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．16【考点】平面图形的直观图．【答案】A【分析】利用平面图形的直观图与原图的面积关系求解．【解答】解：因为正方形ABCD的边长为2，所以正方形ABCD的面积为4，又因为直观图面积与原图面积之比为24所以它的直观图的面积为4×2故选：A．3．（5分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论正确的是（）A．A与B相等 B．A与B互斥 C．A与B的样本点个数不相等 D．A与B相互独立【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式．【答案】D【分析】根据题意，由事件相等、互斥和相互独立的定义依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，依次分析选项：对于A，事件A与事件B不是相同事件，A错误；对于B，事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，A与B的样本点个数相等，都是2个，故C错误；对于D，P（A）=12，P（B）抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：正正，正反，反正，反反，∴P（AB）=1∵P（AB）＝P（A）P（B），∴A与B相互独立，故D正确．故选：D．4．（5分）已知θ为第三象限角，向量a→=（sinθ，1），b→=（cosθ，2），且a→与bA．55 B．255 C．−【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】C【分析】先利用共线向量的坐标关系求出cosθ＝2sinθ，再利用同角三角函数间的基本关系，以及θ为第三象限角求解即可．【解答】解：∵向量a→=（sinθ，1），b→∴b→+2a→=（cos∵a→与b→+∴4sinθ﹣（cosθ+2sinθ）×1＝0，即cosθ＝2sinθ，又∵sin2θ+cos2θ＝1，∴sin2θ+4sin2θ＝1，解得sin2θ=1∵θ为第三象限角，∴sinθ＜0，∴sinθ=−5故选：C．5．（5分）设m、n为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m不垂直于α，n⊂α，则m必不垂直于n C．若m∥α，α∥β，则m∥β D．若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】D【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．【解答】解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可以成任意角，∴A选项错误；若m不垂直于α，n⊂α，则m可能垂直于n，例如n垂直m在α内的射影时，根据三垂线定理可得m⊥n，∴B选项错误；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，∴C选项错误；若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则根据异面直线的概念及面面垂直的判定定理可得α∥β，∴D选项正确．故选：D．6．（5分）端午节是每年的五月初五，是我国汉族人民的传统节日，这一天必不可少的活动逐渐演变为吃粽子，赛龙舟，熏艾叶，挂菖蒲等．某学校组织学生进行包粽子比赛，包法有很多种，最常见的是三角粽和四角粽．已知小明只会这两种包法，每次包三角粽的概率为34，每次包四角粽的概率为1A．5164 B．4164 C．2764【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】A【分析】找出恰好是3分的方法的情况，进行相加求解即可．【解答】解：恰好是3分的方法有三种：第一种：每次包一个三角粽，包三次，则概率为34第二种：先包一个三角粽再包一个四角粽，则概率为34第三种：先包一个四角粽再包一个三角粽，则概率为14所以恰好获得3分的概率为2764故答案为：A．7．（5分）设△ABC的外心为O，且2AO→=AB→A．14BC→ B．34BC→【考点】平面向量的投影向量．【答案】C【分析】由条件可得△AOC为等边三角形，再由投影向量的求法计算即可．【解答】解：由2AO→=AB→+AC→，可知所以|AC→|=|所以向量CA→在向量BC→方向上的投影向量为故选：C．8．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c﹣2acosB，则12sinA．[22，+∞) B．(22，+∞) C．【考点】解三角形．【答案】D【分析】根据正弦定理与三角恒等变换公式化简a＝c﹣2acosB，推导出B＝2A，然后根据△ABC是锐角三角形算出A∈（π6，π4），根据sinC＝sin3A化简，得到12sin2A【解答】解：由a＝c﹣2acosB，得sinA＝sinC﹣2sinAcosB，结合sinC＝sin（π﹣C）＝sin（A+B），可得sinA＝sin（A+B）﹣2sinAcosB＝（sinAcosB+cosAsinB）﹣2sinAcosB，整理得sinA＝sinBcosA﹣cosBsinA，即sinA＝sin（B﹣A），结合A、B∈（0，π），可得B＝2A，所以C＝π﹣A﹣B＝π﹣3A，由△ABC是锐角三角形，得B=2A∈(0，π2)C=π−3A∈(0，π2)，解得因为sinC＝sin（π﹣3A）＝sin3A＝3sinA﹣4sin3A，所以12sin由A∈（π6，π4），得sinA∈（12，2当1sinA=4sinA时，即sinA结合sinA∈（12，22），可知等号不成立，随着sinA的增大，因此，112+4×12＜1sinA即12sin2A故选：D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。（多选）9．（6分）已知z＝3﹣2i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，下列说法正确的是（）A．z＝3﹣2i的实部为3，虚部为﹣2i B．p＝﹣6 C．q＝13 D．若复数z1满足|z1+z|＝1，则|z1|的最大值为1+【考点】实系数多项式虚根成对定理；复数的模．【答案】BCD【分析】根据实部和虚部的定义可判断A，根据虚根成对定理以及韦达定理可判断BC，根据复数的几何意义可判断D．【解答】解：对于A，复数z＝3﹣2i的实部为3，虚部为﹣2，选项A错误；对于BC，复数z＝3﹣2i是方程x2+px+q＝0的一个根，则方程x2+px+q＝0的另一个复数根是3+2i，由韦达定理可知，−ba=−p=(3−2i)+(3+2i)=6解得p=−6q=13，故选项B正确，选项C对于D，设z1＝x+yi，x，y∈R，若复数z满足|z则在复平面内点Z1（x，y）在圆C上，则|z1|的几何意义为原点O（0，0）到圆C上点的距离，又OC=13则|z1|的最大值为1+13，选项D故选：BCD．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=sin2x−3A．f（x）的单调递增区间是[−πB．y＝f（x）的图象可由函数y＝2sin2x的图象向右平移2π3个单位，再向上平移3个单位得到C．y＝f（x）的图象关于直线x=11π12D．当x∈[−π12，π2【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换得f(x)=2sin(2x−π3)+3，对于A，由正弦函数的单调递增区间即可求解；对于B，由三角函数的图象变换即可求解；对于C【解答】解：由题意，f(x)=2(1对于A，由−π2+2kπ≤2x−π3得x∈[−π12+kπ，5π12所以f（x）的单调递增区间为[−π12+kπ，5π12+kπ]，对于B，函数y＝2sin2x向右平移2π3y=2sin2(x−2π3)+3=2sin(2x−对于C，由2x−π3=π2+kπ，k∈Z，得当k＝1时，x=11π12，所以f（x）图象关于x=11π对于D，由x∈[−π12，所以sin(2x−π3)∈[−1，1]，所以f（x）∈故选：ACD．（多选）11．（6分）在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA＝l，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为12π，则下列说法正确的是（）A．当r＝3时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为37B．当l＝6时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为213C．当l＝6时，圆锥SO的外接球表面积为81π2D．当l＝6时，棱长为833的正四面体在圆锥【考点】圆锥的结构特征．【答案】BC【分析】依题意可得rl＝12，对于A，利用余弦定理求出cos∠ASB，即可判断∠ASB为钝角，从而求出截面面积最大值，对于B、C、D，首先求出圆锥的高，将圆锥的侧面展开，化曲为直，利用余弦定理计算最小值，即可判断B，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积，从而判断C，再求出圆锥的内切球的半径与正四面体的外接球的半径，即可判断D；【解答】解：依题意可知πrl＝12π，所以rl＝12，对于A选项，r＝3，l＝4，所以cos∠ASB=4所以∠ASB为钝角，所以过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为12×4×4=8，对于BCD选项，当l＝6时，r＝2，圆锥的高为h=l以下分析BCD选项：侧面展开图的弧长为2πr＝4π，所以圆心角∠ASC=4π所以AC=AS2设圆锥SO的外接球的球心为O1，半径为r1，所以22+(4所以外接球的表面积为4πr12棱长为833的正四面体A1﹣B1C1D正方体的棱长为833×所以棱长为833的正四面体A1﹣B1C1D1的外接球半径为设△SAB内切圆的半径为r3，则12解得r3所以r3＜r2，所以棱长为433的正四面体在圆锥SO内不可以任意转动，故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的80%分位数为．【考点】百分位数．【答案】22．【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．【解答】解：样本数据从小到大排列：11，13，14，16，17，20，22，24，因为8×80%＝6.4，所以第80百分位数为第7个数，即为22．故答案为：22．13．（5分）如图，“六芒星”是由两个边长为3cm的正三角形组成，中心重合于点O，且三组对边分别平行，现将三角形DEF往垂直于平面ABC的方向移动2cm，则此时空间几何体ABCDEF的外接球的表面积为cm2．【考点】球的表面积．【答案】16π．【分析】根据分割补形法可得空间几何体ABCDEF的外接球即为补形后的底面边长为3，高为2的正六棱柱的外接球，从而可得该球的直径即为长，宽分别为23【解答】解：根据题意可得：空间几何体ABCDEF的外接球即为补形后的底面边长为3，高为2的正六棱柱的外接球，∴该球的直径即为长，宽分别为23∴该球的直径2R=(23)∴此时空间几何体ABCDEF的外接球的表面积为4πR2＝16π．故答案为：16π．14．（5分）设函数f（x）＝（x﹣a）ln（x+b），若f（x）≥0，且ab＞0，则1ab+b【考点】运用基本不等式求最值．【答案】22+【分析】由f（x）≥0结合对数的运算性质可得a+b＝1，则1ab【解答】解：由题意可知：f（x）的定义域为（﹣b，+∞），令x﹣a＝0，解得x＝a；令ln（x+b）＝0，解得x＝1﹣b；则当x∈（﹣b，1﹣b）时，ln（x+b）＜0，故x﹣a≤0，所以1﹣b﹣a≤0；当x∈（1﹣b，+∞）时，ln（x+b）＞0，故x﹣a≥0，所以1﹣b﹣a≥0，故1﹣b﹣a＝0，即a+b＝1，当ab＞0时，则1ab+b当且仅当a＝2−2，b=故答案为：22+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．（1）估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）销售部从年龄在[30，40），[60，70）内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）平均数为44.5，众数为45；（2）815【分析】（1）根据频率分布直方图易知众数，由平均数计算公式可得结果；（2）由抽样比可确定每层中的抽样人数，再由古典概率计算公式可得结果．【解答】解：（1）由平均数计算公式，可估计平均数为0.15×25+0.2×35+0.3×45+0.25×55+0.1×65＝44.5，根据频率分布直方图，估计众数为40+502（2）由已知可得抽取的6人中，年龄在30，40）内的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4，年龄在60，70）内的有2人，分别记为B1，B2，则从这6人中随机抽取2人的样本点为：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2共15个，记事件A＝“这2人取自不同年龄区间”，其包含样本点有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2共8个，故这2人取自不同年龄区间的概率为P(A)=816．（15分）如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，AD＝AB＝2，DC＝2AB，M为AD的中点，N为DC上靠近D的四等分点，直线MC与BN交于点P．（1）求∠CPN的余弦值；（2）若CP→=λCM【考点】平面向量的加减混合运算．【答案】（1）−28585【分析】（1）以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标表示能求出结果；（2）利用共线向量的坐标表示解方程组，能求出结果．【解答】解：（1）以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，建立平面直角坐标系，依题意可知，M（0，1），C（4，0），N（1，0），B（2，2），则MC→=（4，﹣1），∴cos∠CPN=MC（2）由已知得CM→=（﹣4，1），CP→=（﹣4λ，λ），由N，P，B三点共线可知，存在m∈（0，1）满足CP→=（1﹣m）CN→由向量的坐标运算可知（﹣4λ，λ）＝（﹣2m，2m）+（3m﹣3，0）＝（m﹣3，2m），∴−4λ=m−3λ=2m，解得λ=17．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m→=（a，2b+c），n→=（cosC，cosA），且m→⊥n（1）求角A的大小；（2）若AD为角A的角平分线，a＝7，△ABC的周长为15，求AD的长．【考点】解三角形．【答案】（1）π3；（2）15【分析】（1）利用三角变换即可求解；（2）先用余弦定理求bc，再结合面积公式求解即可．【解答】解：（1）由m→⊥n→可得，acosC+（2b+c）cosA＝0，由正弦定理可得sinAcosC+2sinBcosA+sinCcos即sin（A+C）+2sinBcosA＝0，∵sin（A+C）＝sinB，B∈（0，π），∴sinB≠0，∴cosA=−1A∈（0，π），∴A=2π（2）a+b+c＝15，a＝7，∴b+c＝8，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即49＝（b+c）2﹣bc，解得bc＝15，若AD为角A的角平分线，则S△ABC=12bcsinA=12•b•AD•sin∠CAD+12•即12×15×32=18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，E为线段PD上的动点．（1）若E为PD的中点，求三棱锥D﹣AEC的体积；（2）若ED→=2PE→，问AB上是否存在点M，使得PM∥平面（3）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；棱锥的体积．【答案】（1）23；（2）当M为AB的中点时，PM∥平面AEC；理由见解答；（3）2【分析】（1）根据三棱锥的体积公式即可求解；（2）当M为AB的中点时，满足PM∥平面AEC，连接MD∩AC＝F，则易证PM∥EF，从而根据线面平行的判定定理，即可证明