2023-2024学年湖南省益阳市高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年湖南省益阳市高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4 B．±4 C．﹣22 D．±222．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1，且S6﹣S2＝10，则a3+a4＝（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种．A．24 B．48 C．96 D．1144．（5分）已知数列{an}是公比不为1的等比数列，且a1＝1，2a3是3a2与a4的等差中项，则an＝（）A．2n﹣1 B．3n﹣1 C．(12)5．（5分）已知函数f(x)=ex，x⩾−1ln(−x)，x＜−1，g（x）＝f（x）﹣x+a，若g（A．[1，1e+1] B．（1，1e+1） C．[−16．（5分）已知f（x）＝2x3﹣6x2+a（a为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，则此函数f（x）在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．﹣87．（5分）若(1−4x)2017=A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．18．（5分）已知函数f（x）＝ax+x2﹣xlna，对任意的x1，x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣2恒成立，则a的取值范围为（）A．[e2，+∞） B．[e，+∞） C．[2，e] D．[e，e2]二、多选题（多选）9．（6分）已知定义域为[﹣3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的图象如图所示，则（）A．函数f（x）在区间（0，3）上单调递增 B．函数f（x）在（﹣2，2）上单调递减 C．函数f（x）在x＝2处取得极小值 D．函数f（x）在x＝3处取得极大值（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S10＜S8＜S9，则下列说法正确的是（）A．a1＞0＞d B．使得Sn＞0成立的最大自然数n＝18 C．|a8+a9|＞|a10+a11| D．{Sn（多选）11．（6分）若(xA．a2+a4+a6+a8+a10＝528 B．a2＝160 C．a1+a2+•••+a10＝32 D．|a1|+|a2|+•••+|a10|＝992三、填空题12．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x﹣2，则a+b＝．13．（5分）已知数列{an}中，a1=35，an+1=an2an+1，n∈N*，则{a14．（5分）已知函数f（x）的定义域为(−π2，π2)，其导函数是f′（x）．有f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于四、解答题15．（15分）已知函数f（x）＝（x+1）ex．（1）求函数f（x）的图象在点（0，1）的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．16．（15分）已知等差数列{an}满足：a2＝5，a4+a7＝24，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求通项公式{an}及前n项和Sn；（Ⅱ）令bn=1an2−1（n∈N*），求数列{bn}的前17．（15分）在含有2件次品的5件产品中，任取2件，求：（1）恰好取到1件正品的概率；（2）至少取到1件次品的概率．18．（15分）已知数列{an}是公差为d的等差数列，an（1）证明：数列{bn}也为等差数列；（2）若a1＝d＝3，数列{cn}是以数列{bn}的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{bncn}的前n项和Tn，证明：Tn≥1．19．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1．（1）若f（x）存在极值，求a的取值范围；（2）若a≤1，x∈（0，+∞），证明：f（x）＞x﹣sinx．

2023-2024学年湖南省益阳市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4 B．±4 C．﹣22 D．±22【考点】等比数列的性质．【答案】C【分析】根据等比数列的性质得到xz的乘积等于y的平方等于（﹣1）×（﹣2），开方即可求出y的值，然后利用zx的积与y的值求出xyz即可．【解答】解：∵xz＝（﹣1）×（﹣2）＝2，y2＝2，∴y=−2∴xyz＝﹣22．故选：C．2．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1，且S6﹣S2＝10，则a3+a4＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等差数列的前n项和．【答案】B【分析】先根据求和公式和等差数列的性质可得a5+a4＝5，即可求出a3+a4．【解答】解：由d＝1，且S6﹣S2＝10，∴S6﹣S2＝a6+a5+a4+a3＝2（a5+a4）＝10，∴a5+a4＝5，∴a3+a4＝（a5+a4）﹣2d＝5﹣2＝3，故选：B．3．（5分）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种．A．24 B．48 C．96 D．114【考点】排列组合的综合应用．【答案】D【分析】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，2，1）两种，计算出每一种的，再排除A、B住同一房间，问题得以解决．【解答】解：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3，1，1）和（2，2，1）两种，当为（3，1，1）时，有C53A33＝60种，A、B住同一房间有C31A33＝18种，故有60﹣18＝42种，当为（2，2，1）时，有C52C32A22•A33＝90种，A、B住同一房间有C3根据分类计数原理共有42+72＝114种，故选：D．4．（5分）已知数列{an}是公比不为1的等比数列，且a1＝1，2a3是3a2与a4的等差中项，则an＝（）A．2n﹣1 B．3n﹣1 C．(12)【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【答案】B【分析】先设出等比数列的公比，然后根据已知条件建立方程，求出公比，进而可以求解．【解答】解：设数列{an}的公比为q，则由已知可得4a3＝3a2+a4，即4a1q2=3a1q+所以q3﹣4q2+3q＝0，整理可得：q2﹣4q+3＝0，解得q＝1或3，又q不为1，所以q＝3，所以an＝a1⋅3n−1=故选：B．5．（5分）已知函数f(x)=ex，x⩾−1ln(−x)，x＜−1，g（x）＝f（x）﹣x+a，若g（A．[1，1e+1] B．（1，1e+1） C．[−1【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】D【分析】令g（x）＝f（x）﹣x+a＝0，即f（x）＝x﹣a，则函数g（x）的零点个数即为函数f（x）与函数y＝x﹣a交点的个数，作出函数f（x）与函数y＝x﹣a的图象，根据题意结合图形列出不等式组，解之即可得出答案．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x+a＝0，即f（x）＝x﹣a，则函数g（x）的零点个数即为函数f（x）与函数y＝x﹣a交点的个数，作出函数f（x）与函数y＝x﹣a的图象，如图所示，当直线y＝x﹣a与曲线y＝ex相切时，又当x≥﹣1时，y＝ex，则y′＝ex，则ex＝1，则x＝0，即且点为（0，1），此时a＝﹣1，因为g（x）存在3个零点，即函数f（x）与函数y＝x﹣a的图象有3个交点，所以a＜−1−1−a＞0−1−a≤1所以a的取值范围是[−1故选：D．6．（5分）已知f（x）＝2x3﹣6x2+a（a为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，则此函数f（x）在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．﹣8【考点】函数的最值．【答案】A【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝6x2﹣12x＝6x（x﹣2），由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，此时函数递增，由f′（x）＜0得0＜x＜2，此时函数递减，∵x∈[﹣2，2]，∴函数在[﹣2，0]上递增，则[0，2]上递减，则函数的最大值为f（0）＝a＝3，则f（x）＝2x3﹣6x2+3，∵f（2）＝2×23﹣6×22+3＝﹣5，f（﹣2）＝2×（﹣2）3﹣6×（﹣2）2+3＝﹣37，∴当x＝﹣2时，函数取得最小值为﹣37，故选：A．7．（5分）若(1−4x)2017=A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】二项式定理．【答案】A【分析】利用赋值法，令x＝0和x=1【解答】解：(1−4x)当x＝0时，a0＝1；当x=12时，因此a1故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝ax+x2﹣xlna，对任意的x1，x2∈[0，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣2恒成立，则a的取值范围为（）A．[e2，+∞） B．[e，+∞） C．[2，e] D．[e，e2]【考点】不等式恒成立的问题．【答案】A【分析】对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣2，而|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．【解答】解：函数f（x）＝ax+x2﹣xlna，x∈[0，1]，则f′（x）＝axlna+2x﹣lna＝（ax﹣1）lna+2x．当0＜a＜1时，显然|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣2不可能成立．当a＞1时，x∈[0，1]时，ax≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣2，解得a≥e2，故答案为：[e2，+∞）．故选：A．二、多选题（多选）9．（6分）已知定义域为[﹣3，5]的函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）的图象如图所示，则（）A．函数f（x）在区间（0，3）上单调递增 B．函数f（x）在（﹣2，2）上单调递减 C．函数f（x）在x＝2处取得极小值 D．函数f（x）在x＝3处取得极大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】BC【分析】根据图象得到原函数的单调性及极值点，再逐项判断即可．【解答】解；由图可知，当x∈（﹣3，﹣2）∪（2，4）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣2，2）∪（4，5）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣3，﹣2）、（2，4）上单调递增，在（﹣2，2）、（4，5）上单调递减，所以f（x）在x＝﹣2、x＝4处取得极大值，在x＝2取得极小值，故A错误，B正确，C正确，D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S10＜S8＜S9，则下列说法正确的是（）A．a1＞0＞d B．使得Sn＞0成立的最大自然数n＝18 C．|a8+a9|＞|a10+a11| D．{Sn【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【答案】AD【分析】利用等差数列及S10＜S8＜S9，判断出a1＞0＞d，并可以分析出a9+a10＜0＜a9，再利用数列的相关知识即可判断．【解答】解：对于A，根据题意：S8＜S9S两式相加，解得：a1＞0d＜0对于C，由上可得a1＞a2＞a3＞…＞a9＞0＞a10＞a11＞…所以a8+a9＞0，a10+a11＜0，由S10＜S8，可得到a9+a10＜0＜a9，∴a8+a11＜0，所以a10+a11+a8+a9＜0，所以|a8+a9|＜|a10+a11|，故C错误；由以上可得：S17=17(当时n≤17，Sn＞0；当n≥18时，Sn＜0；要使得Sn＞0成立的最大自然数n＝17，故B错误．当n≤9，或n≥18时，Snan＞0；当9＜由0＞a10＞a11＞…＞a17，S10＞S11＞S12＞…＞S17＞0，所以{Snan}故选：AD．（多选）11．（6分）若(xA．a2+a4+a6+a8+a10＝528 B．a2＝160 C．a1+a2+•••+a10＝32 D．|a1|+|a2|+•••+|a10|＝992【考点】二项式定理．【答案】BD【分析】对于A，利用赋值法求a0，a0+a1+a2+…+a10及a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a9+a10的值，运算即可判断；对于B，根据多项式的乘法法则，结合组合知识求解，对于C，赋值法a0+a1+a2+…+a10，再结合a0可求得结果，对于D，利用（x2+x+2）5展开式所有项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|，再结合a0可求得结果．【解答】解：对于A，令x＝0，a0=25=32令x＝﹣1，则a0两式相加化简得a0+a2+a4+a6+a8+a10＝528，又a0＝32，所以a2+a4+a6+a8+a10＝496，所以A错误；对于B，（x2﹣x+2）5＝（x2﹣x+2）（x2﹣x+2）（x2﹣x+2）（x2﹣x+2）（x2﹣x+2），因为5个相同的因式相乘，要得到含x2的项，可以是5个因式中，一个取x2，其他4个因式取2，或两个因式取﹣x，其他3个因式取2，所以a2=C对于C，令x＝0，a0=25=32因为a0＝32，所以a1+a2+…+a10＝0，所以C错误；对于D，（x2+x+2）5展开式所有项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|，令x＝1，则|a因为a0＝32，所以|a1|+|a2|+…+|a10|＝992，所以D正确．故选：BD．三、填空题12．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x﹣2，则a+b＝0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】0．【分析】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得a，b的值，即可求解．【解答】解：由函数f（x）＝ax3+bx，可得f′（x）＝3ax2+b，可得f′（1）＝3a+b，f（1）＝a+b，因为函数f（x）＝ax3+bx在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x﹣2，可得3a+b=2a+b=2×1−2，解得a＝1，b＝﹣1，所以a+b故答案为：0．13．（5分）已知数列{an}中，a1=35，an+1=an2an+1，n∈N*，则{ana【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】9n5(6n+5)【分析】结合已知递推关系，利用裂项求和即可求解．【解答】解：因为1a所以1an=所以an所以Sn=32（所以Sn故答案为：9n5(6n+5)14．（5分）已知函数f（x）的定义域为(−π2，π2)，其导函数是f′（x）．有f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】(π【分析】构造函数F(x)=f(x)cosx，根据题设条件，求得F′（x）＜0，得到函数F(x)=f(x)cosx在【解答】解：因为函数f（x）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，不妨设F(x)=f(x)cosx，函数定义域为可得F′(x)=f′(x)cosx+f(x)sinx所以函数F（x）在(−π因为cosx＞0，所以关于x的不等式3f(x)＜2f(π6即F(x)＜F(π所以−π2＜x＜解得π6则不等式3f(x)＜2f(π6故答案为：(π四、解答题15．（15分）已知函数f（x）＝（x+1）ex．（1）求函数f（x）的图象在点（0，1）的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】（1）2x﹣y+1＝0；（2）单调递减区间为（﹣∞，﹣2），单调递增区间为（﹣2，+∞）．【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）求得f′（x）＝（x+2）ex，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间．【解答】解：（1）由函数f（x）＝（x+1）ex，可得f′（x）＝（x+2）ex，可得k＝f′（0）＝2，因为切点为（0，1），所以切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即2x﹣y+1＝0．（2）由函数f（x）＝（x+1）ex，其定义域为R，且f′（x）＝（x+2）ex，当x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（﹣∞，﹣2）单调递减；当x＞﹣2时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（﹣2，+∞）单调递增；所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），单调递增区间为（﹣2，+∞）．16．（15分）已知等差数列{an}满足：a2＝5，a4+a7＝24，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求通项公式{an}及前n项和Sn；（Ⅱ）令bn=1an2−1（n∈N*），求数列{bn}的前【考点】数列的求和．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）由题意联立方程组解得首项及公差，即可得出结论；（Ⅱ）利用裂项相消法求和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由题意得a解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．sn＝3n+n(n−1)2×2=n2（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1an∴Tn=14（1−12+1217．（15分）在含有2件次品的5件产品中，任取2件，求：（1）恰好取到1件正品的概率；（2）至少取到1件次品的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】（1）35；（2）7【分析】（1）列举出从5件产品中任取2件的所有样本点，求出有1件正品的样本点个数即可得解；（2）在（1）的信息中，再求出至少有1件次品的样本点个数即可作答．【解答】（1）记3件正品分别为A，B，C，2件次品分别为1，2，则从5件产品中任取2件的所有样本点：AB，AC，A1，A2，BC，B1，B2，C1，C2，12，共有10个，它们等可能，恰好取到1件正品的事件M所含样本点是A1，A2，B1，B2，C1，C2，共6个，所以恰好取到1件正品的概率是P(M)=6（2）至少取到1件次品的事件N所含样本点是A1，A2，B1，B2，C1，C2，12，共7个，所以至少取到1件次品的概率是P（N）=718．（15分）已知数列{an}是公差为d的等差数列，an（1）证明：数列{bn}也为等差数列；（2）若a1＝d＝3，数列{cn}是以数列{bn}的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{bncn}的前n项和Tn，证明：Tn≥1．【考点】错位相减法．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）通过计算bn+1﹣bn为定值可证明等差数列；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求Tn，根据Tn的结构即可证明不等式．【解答】证明：（1）∵an∴bn＝an﹣2n，∴bn+1﹣bn＝[an+1﹣2（n+1）]﹣（an﹣2n）＝an+1﹣an﹣2，又∵数列{an}是公差为d的等差数列，∴an+1﹣an＝d，∴bn+1﹣bn＝d﹣2，∴数列{bn}是以d﹣2为公差的等差数列；（2）∵a1＝d＝3，∴b1＝a1﹣2＝3﹣2＝1，d﹣2＝3﹣2＝1，∴数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴bn＝1+（n﹣1）×1＝n，∴数列{cn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴cn∴bn∴Tn=1×∴2Tn＝1×22﹣1+⋯+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n②，∴②