2023-2024学年吉林省best合作体高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年吉林省BEST合作体高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（）A．12种 B．24种 C．7种 D．14种2．（5分）已知函数f（x）在x＝x0处可导，若limΔx→0f(x0)−f(xA．22 B．11 C．﹣22 D．﹣113．（5分）在公差为﹣2的等差数列{an}中，a5+a7+a12＝66，则a6+a14＝（）A．44 B．36 C．30 D．284．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+x﹣5在R上单调递增，则a的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．3 D．−5．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n(1+an)2A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．26．（5分）定义新运算f（x）⊗g（x）＝f′（x）g′（x）．已知函数m（x）＝2xcosx，n（x）＝ex，h（x）＝m（x）⊗n（x）+2xexsinx，则下列区间中，h（x）单调递增的为（）A．(−π2，πC．(−2π3，7．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2，a3+7，a4成等差数列，a2+a3＝14，则S6A．28 B．14 C．20 D．108．（5分）已知f（x）＝|lnx|，设0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围是（）A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[22，+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)=13t3−2t2+5t+1，且Ek=12mv2（Ek表示物体的动能，单位：J；A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/s C．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，则（）A．{anbn}可能为等差数列 B．{anbn}不可能为等比数列 C．{SnD．{Tn（多选）11．（6分）已知函数f（x）=x−alnx，x≥1，f(2−x)，x＜1存在n个零点x1，x2，…，xn，n∈NA．n为偶数 B．﹣e≤a＜﹣1 C．x1+x2+⋯+xn＝2 D．x1•x2•⋯•xn＜24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是．13．（5分）若函数f(x)=23x3+a14．（5分）在数列{an}中，a1＝1，an+12+an2=2(an+1)(an+1−1)+1．设数列{1(n+2)an}的前n四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn+1﹣3Sn＝3．（1）证明：{an}为等比数列．（2）若b1=3，bn+1an+1−bn16．（15分）已知函数f（x）＝（a+1）x﹣lnx．（1）当a＝0时，求f（x）在[1，2]上的值域；（2）讨论f（x）的单调性．17．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ax﹣by+a﹣b＝0，求a，b；（2）若∀x∈（0，+∞），f（x）≥0，求a的取值范围．18．（17分）已知函数f（x）＝x2ex．（1）求f（x）的极值．（2）已知x1＜x2＜0，且f（x1）＝f（x2）＝m．①求m的取值范围；②证明：x1+x2＜﹣4．19．（17分）函数f（x）＝[x]称为取整函数，也称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如：[3.2]＝3，[0.6]＝0，[﹣1.6]＝﹣2．对于任意的实数x，定义（x）=[x]，x≤[x]+12[x]+1，x＞[x]+12（1）求a13，a2024的值．（2）设bn＝n+an，从全体正整数中除去所有bn，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列{cn}．①求{cn}的通项公式；②证明：对任意的n∈N*，都有1c

2023-2024学年吉林省BEST合作体高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（）A．12种 B．24种 C．7种 D．14种【考点】排列组合的综合应用．【答案】D【分析】利用分类加法计数原理可得答案．【解答】解：由分类加法计数原理得该人进入商场的不同方式共有4+4+3+3＝14种．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）在x＝x0处可导，若limΔx→0f(x0)−f(xA．22 B．11 C．﹣22 D．﹣11【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【答案】A【分析】利用导数的定义分析求解即可．【解答】解：limΔx→0所以f′（x0）＝22．故选：A．3．（5分）在公差为﹣2的等差数列{an}中，a5+a7+a12＝66，则a6+a14＝（）A．44 B．36 C．30 D．28【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【答案】B【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．【解答】解：在公差为﹣2的等差数列{an}中，a5+a7+a12＝3a1﹣42＝66，所以a1＝36，则a6+a14＝2a1+18d＝2×36﹣36＝36．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+x﹣5在R上单调递增，则a的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．3 D．−【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】C【分析】求导数，f′（x）＝3x2﹣2ax+1，Δ⩽0，可得结果．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣ax2+x﹣5，所以f′（x）＝3x2﹣2ax+1，因为函数f（x）在R上单调递增，所以f′（x）⩾0在R上恒成立，所以Δ＝（﹣2a）2﹣4×3×1⩽0，解得−3所以a的最大值为3．故选：C．5．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n(1+an)2A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【考点】数列递推式．【答案】B【分析】由已知递推关系分别令n＝2，n＝3即可求解．【解答】解：若Sn=n(1+a则2Sn＝n+nan，所以2S1＝1+a1，即a1＝1，2S2＝2+2a2＝6，即a2＝2，2S3＝3+3a3＝2（1+2+a3），即a3＝3．故选：B．6．（5分）定义新运算f（x）⊗g（x）＝f′（x）g′（x）．已知函数m（x）＝2xcosx，n（x）＝ex，h（x）＝m（x）⊗n（x）+2xexsinx，则下列区间中，h（x）单调递增的为（）A．(−π2，πC．(−2π3，【考点】利用导数研究函数的单调性；基本初等函数的导数．【答案】B【分析】求导数，h′（x）＝2ex（xcosx﹣sinx）和t′（x）＝﹣xsinx，可求得h（x）在（﹣π，−π4）和（π4，π）上单调递增，在（−【解答】解：由题意得h（x）＝m（x）×n（x）+2xexsinx＝2cosx•ex+2xexsinx，所以h′（x）＝2ex（cosx﹣sinx）+2ex（sinx+xcosx）+2xexcosx＝2ex（xcosx﹣sinx），令t（x）＝xcosx﹣sinx，则t′（x）＝﹣xsinx，当x∈（﹣π，0）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，当x∈（0，π）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，所以当x∈（﹣π，π）时，t（x）单调递减，且t(−πt(π所以当x∈（﹣π，π4）时，t（x）＞0，则h′（x当x∈（−π4，π4）时，t（x）＜0，则h当x∈（π4，π）时，t（x）＜0，则h′（x所以h（x）在（﹣π，−π4）和（π4，π）上单调递增，在（−结合选项可知，h（x）在区间（−3π4，故选：B．7．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2，a3+7，a4成等差数列，a2+a3＝14，则S6A．28 B．14 C．20 D．10【考点】等差数列与等比数列的综合．【答案】A【分析】由已知结合等差数列的性质，等比数列的通项公式可求出q，然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：等比数列{an}中，a2，a3+7，a4成等差数列，所以2（a3+7）＝a2+a4，即2（a1q2+因为a2+a3＝a1q（1+q）＝14②，①②联立得，q＝3或q＝0（舍），所以S6S3=故选：A．8．（5分）已知f（x）＝|lnx|，设0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围是（）A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[22，+∞) 【考点】函数与方程的综合运用．【答案】B【分析】先画出函数f（x）＝|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab的关系式，再利用函数的单调性的性质即可求出范围．【解答】解：∵f（x）＝|lnx|=−lnx，0＜x＜1∵0＜a＜b且f（a）＝f（b），∴0＜a＜1＜b，﹣lna＝lnb，∴ln（ab）＝0，∴ab＝1．∴a+2b＝a+2a的导数为1可得在0＜a＜1时递减，即有a+2b＞3，∴a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)=13t3−2t2+5t+1，且Ek=12mv2（Ek表示物体的动能，单位：J；A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/s C．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J【考点】根据实际问题选择函数类型；基本初等函数的导数．【答案】AD【分析】求导得y'（t）＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1≥1，即可判断A、B；令t＝1，可得该物体在第1s时的瞬时速度v＝2m/s，再将V＝2、m＝4代入Ek=12mv2，即可判断C，【解答】解：因为y(t)=1所以y'（t）＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1≥1（当t＝2时，等号成立），所以该物体瞬时速度的最小值为1m/s，故A正确，B错误；又因为y'（1）＝1﹣4+5＝2，即该物体在第1s时的瞬时速度v＝2m/s，所以该物体在第1s时的动能Ek=12mv2=1故C错误，D正确．故选：AD．（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，则（）A．{anbn}可能为等差数列 B．{anbn}不可能为等比数列 C．{SnD．{Tn【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；等比数列的性质．【答案】AC【分析】根据题意，举出实例，可得A正确，B错误，分析{Snn}的通项公式，可得C正确，由等比数列的定义分析【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当bn＝1时，anbn＝an，数列{anbn}为等差数列，A正确；对于B，当an＝1时，anbn＝bn，数列{anbn}为等比数列，B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1+n(n−1)d2，则Snn=a1+对于D，对于数列{Tn3n}，易得Tn+13故选：AC．（多选）11．（6分）已知函数f（x）=x−alnx，x≥1，f(2−x)，x＜1存在n个零点x1，x2，…，xn，n∈NA．n为偶数 B．﹣e≤a＜﹣1 C．x1+x2+⋯+xn＝2 D．x1•x2•⋯•xn＜24【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．【答案】AD【分析】先确定函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，对f（x）求导，判断其单调性，再依次对每一选项进行判断．【解答】解：当x＜1时，f（x）＝f（2﹣x），且当x≥1时，f（x）＝x+alnx，则f（x）的图象关于直线x＝1对称．f（1）＝1≠0，不妨设x0＞1满足f（x0）＝0，则2﹣x0＜1，则f（2﹣x0）＝f（2﹣（2﹣x0））＝f（x0）＝0，即f（x）的所有零点成对出现，A正确；当x≥1时，由f（x）＝x+alnx，得f′(x)=1+a若a≥﹣1，则f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f（x）＞f（1）＝1在（1，+∞）上恒成立，f（x）不存在零点；若a＜﹣1，则当x∈（1，﹣a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，由f（x）存在零点，得f（﹣a）＝﹣a+aln（﹣a）≤0，解得a≤﹣e，B错误；若a＝﹣e，则f（x）的所有零点为e，2﹣e，此时x1+x2+⋯+xn＝2，x1•x1•⋯⋯xn＝e（2﹣e）＜0＜28．若a＜﹣e，则f（x）在（1，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，且当x﹣→+∞时，f（x）→+∞，所以存在x1∈（1，﹣a），x2∈（﹣a，+∞），使得f（x1）＝f（x2）＝0，则f（x）的所有零点为x1，x2，2﹣x1，2﹣x2，则x1+x2+⋯+xn＝4，C错误；由x2＞﹣a＞e＞2，得2﹣x2＜0．若2﹣x1＞0，则x1•x2•…xn＝x1•（2﹣x1）•x2•（2﹣x2）＜0＜24，若2﹣x1＜0，则f（2）＞0，即2+aln2＞0，解得−2由f（4）＝4+aln4＝2f（2）＞0，得﹣a＜x2＜4，则−2ln2则x1（2﹣x1）x2（2﹣x2）＜8a（2+a）．令m（a）＝8a（2+a），易知m（a）在(−2ln2，−e)即m（a）＜8×2从而x1•x2•⋯⋯xn＜24，D正确．故选：AD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是120．【考点】排列组合的综合应用．【答案】120．【分析】利用排列数公式计算可得答案．【解答】解：从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数为C63•故答案为：120．13．（5分）若函数f(x)=23x3+a【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】（﹣5，﹣4）．【分析】将原函数存在极值点问题转化为导函数有异号零点问题，分离参数，转化为两函数有交点问题，数形结合求解参数范围，再结合选项判断即可．【解答】解：由函数f(x)=23x3+ax2+8x+1得f因为函数f(x)=2所以f'（x）＝2x2+2ax+8在区间（1，3）上有异号零点，即−a=x+4所以函数y＝﹣a与函数g(x)=x+4又g（1）＝5，g(3)=3+43=133，g（x由图象可知，4＜﹣a＜5，所以﹣5＜a＜﹣4，即a的取值范围是（﹣5，﹣4）．故答案为：（﹣5，﹣4）．14．（5分）在数列{an}中，a1＝1，an+12+an2=2(an+1)(an+1−1)+1．设数列{1(n+2)an}的前n项和T【考点】裂项相消法．【答案】（﹣∞，34【分析】将已知数列的递推式化为an+1﹣an＝1，由等差数列的定义和通项公式可得an＝n，由数列的裂项相消求和，可得Tn，由不等式的性质和不等式成立问题的解法，可得所求取值范围．【解答】解：由a1＝1，an+12+an2=2（可得an+12+an2+1﹣2anan+1+2即为（an﹣an+1+1）2＝0，可得an+1﹣an＝1，则数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，则an＝1+n﹣1＝n，1(n+2)anTn=12（1−13+12=34−12存在n∈N*，使得不等式Tn≥λ，可得λ＜3即实数λ的取值范围为（﹣∞，34故答案为：（﹣∞，34四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn+1﹣3Sn＝3．（1）证明：{an}为等比数列．（2）若b1=3，bn+1an+1−bn【考点】错位相减法．【答案】（1）证明见解答；（2）Tn=3+(2n−1)⋅【分析】（1）由an与Sn的关系，结合等比数列的定义，可得证明；（2）由等差数列和等比数列的通项公式可得bn＝n•3n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【解答】解：（1）证明：由a1＝3，Sn+1﹣3Sn＝3，可得S2＝a1+a2＝3+a2＝3+3S1＝3+9＝12，解得a2＝9，当n≥2时，由Sn+1﹣3Sn＝3，可得Sn﹣3Sn﹣1＝3，两式相减可得an+1＝3an，由a2＝3a1，可得{an}首项和公比均为3的等比数列；（2）由b1可得{bn即有bnan=1+可得bn＝n•3n，数列{bn}的前n项和Tn＝1•31+2•32+3•33+...+n•3n，3Tn＝1•32+2•33+3•34+...+n•3n+1，两式相减可得﹣2Tn＝31+32+33+...+3n﹣n•3n+1=3(1−3n)1−3−则Tn=3+(2n−1)⋅16．（15分）已知函数f（x）＝（a+1）x﹣lnx．（1）当a＝0时，求f（x）在[1，2]上的值域；（2）讨论f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【答案】（1）[1，2﹣ln2]．（2）当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞﹣1时，f（x）在（0，1a+1）上单调递减，在（1【分析】（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx，求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，最值，即可得出答案．（2）求导得f′（x）=(a+1)x−1x，分两种情况：当a+1≤0，当a+1＞0，分析f′（x）的符号，f（【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x﹣lnx，f′（x）＝1−1所以在[1，2]上f′（x）≥0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1，f（x）max＝2﹣ln2，所以函数f（x）在[1，2]上的值域为[1，2﹣ln2]．（2）因为f（x）＝（a+1）x﹣lnx，x＞0，所以f′（x）＝（a+1）−1当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当a+1＞0，即a＞﹣1时，令f′（x）＝0，得x=1所以在（0，1a+1）上f′（x）＜0，f（x在（1a+1，+∞）上f′（x）＞0，f（x综上所述，当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞﹣1时，f（x）在（0，1a+1）上单调递减，在（117．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ax﹣by+a﹣b＝0，求a，b；（2）若∀x∈（0，+∞），f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】（1）a＝b＝1；（2）[0，e]．【分析】（1）利用导数的几何意义可得a，b的方程组，联立可解得a，b的值；（2）将不等式转化为alnx≤x，对x分类讨论，将不等式进行参变量分离，利用最值法即可求解a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝x2﹣axlnx，∴f'（x）＝2x﹣alnx﹣a，若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ax﹣by+a﹣b＝0，则f(1)=1=2a−bbf′(1)=2−a=ab①②联立，可解得a＝b＝1．（2）由f（x）＝x2﹣axlnx≥0，得x﹣alnx≥0，即alnx≤x．当x＝1时，0≤1恒成立，此时a∈R；当x∈（0，1）时，a≥xlnx；当x∈（1，+∞）时，令g(x)=xlnx，则∴g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x∈（0，1）时，xlnx＜0，∴当x∈（1，+∞）时，xlnx≥g(e)=e，∴a≤综上，0≤a≤e，即a的取值范围是[0，e]．18．（17分）已知函数f（x）＝x2ex．（1）求f（x）的极值．（2）已知x1＜x2＜0，且f（x1）＝f（x2）＝m．①求m的取值范围；②证明：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【答案】（1）极小值0，极大值4e（2）①(0，4e2【分析】（1）求出导数，判断单调性根据极值定义求解；（2）根据x1＜x2＜0，f（x1）＝f（x2）＝m，结合函数的单调性和极值求得m的取值范围；利用单调性可知x1＜﹣2＜x2＜0，令t=x1x2＞1，则x1＝tx2【解答】解：（1）由题意f′（x）＝（x2+2x）ex，则当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，所以当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝0，当x＝﹣2时，f（x）取得极大值f(−2)=4（2）①因为当x＜0时，f（x）＞0，且f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递