2023-2024学年吉林省吉林市松花江中学高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年吉林省吉林市松花江中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|x﹣1＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则（∁UA）∪B＝（）A．{x|1≤x≤3} B．{x|﹣2≤x＜1} C．{x|x≥﹣1} D．{x|x≤3}2．（5分）若（2x+13xA．10 B．8 C．6 D．43．（5分）下列命题中，真命题的个数是（）①y=x2+6②∃x∈N，x2≤x；③若x∈A∪B，则x∈A∩B；④集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素的充要条件是k=1A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）若“∃x∈[1，2]，使2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，22] B．[22，92] C．（﹣∞，3] D．[95．（5分）已知离散型随机变量X服从二项分布X～B（n，p），且E（X）＝4，D（X）＝q，则1pA．2 B．52 C．946．（5分）“0＜x＜2”是不等式ax2﹣（2a+1）x+a+1＜0对任意a∈[﹣1，1]恒成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），则函数g(x)=f(2x)+1−lgxA．{x|0＜x＜4} B．{x|﹣4＜x＜10} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|0＜x＜1}8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且在区间[1，2]上是减函数，令a＝ln2，b=(14)−12，c=log122，则f（A．f（b）＜f（c）＜f（a） B．f（a）＜f（c）＜f（b） C．f（c）＜f（b）＜f（a） D．f（c）＜f（a）＜f（b）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。（多选）9．（6分）下列函数中是偶函数，且值域为[0，+∞）的有（）A．f（x）＝ln（|x|+1） B．f（x）＝x﹣1xC．f（x）＝ex+e﹣x D．f（x）＝x4﹣2x2+1（多选）10．（6分）下列说法正确的有（）A．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为“∃x∈R，x2+x+1≤0” B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若幂函数y=(m2−m−1)xD．方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0（多选）11．（6分）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)．现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为8%，乙车床加工的次品率6%，丙车床加工的次品率为5%，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%，40%，30%，设事件A1，A2，A3分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件A．P（A2B）＝0.024 B．P（B|A3）＝0.015 C．P（B）＝0.063 D．P(二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知f(x)=(2−a)x+1(x＜1)ax(x≥1)满足对任意x1≠x2，都有f(x13．（5分）某产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如表：x24568y3040a5070已知y关于x的线性回归方程为y＝6.5x+15.1，则表格中实数a的值为．14．（5分）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是．四、解答题：本题共5题，共77分。15．（13分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}．（1）若集合B＝{x|﹣5＜x＜1}，求此时实数m的值；（2）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．16．（15分）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型．打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用．乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用．乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能．乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力．不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张，某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男40_____56女_____24_____总计__________100（1）补全2×2列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为13，女乒乓球爱好者获胜的概率为14，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.050.0100.0050.001xα3.8416.6357.87910.82817．（18分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求f（﹣1）；（2）求函数f（x）在R上的解析式；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．18．（17分）高邮市某中学开展劳动主题德育活动，某班统计了本班学生1﹣7月份的人均月劳动时间（单位：小时），并建立了人均月劳动时间y（单位：小时）关于月份x的线性回归方程ŷ=b̂x+4月份x1234567人均月劳动时间y89n12m1922由于某些原因导致部分数据丢失，但已知i=17（1）求m，n的值；（2）如果该月人均劳动时间超过13（单位：小时），则该月份“达标”．从表格中的7组数据中随机选5组，设ξ表示“达标”的数据组数，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：在线性回归方程ŷ=b

2023-2024学年吉林省吉林市松花江中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|x﹣1＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则（∁UA）∪B＝（）A．{x|1≤x≤3} B．{x|﹣2≤x＜1} C．{x|x≥﹣1} D．{x|x≤3}【考点】补集及其运算．【答案】C【分析】根据不等式的解法，分别求得A＝{x|x＜1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，结合集合的补集与并集的运算，即可求解．【解答】解：由集合A＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，可得∁UA＝{x|x≥1}，所以（∁UA）∪B＝{x|x≥﹣1}．故选：C．2．（5分）若（2x+13xA．10 B．8 C．6 D．4【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】B【分析】先令x＝1求出n的值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解．【解答】解：令x＝1，则（2+1）n＝3n＝81，所以n＝4，则二项式（2x+13x）4的展开式的通项公式为Tr+1令4−43r=0所以展开式的常数项为C4故选：B．3．（5分）下列命题中，真命题的个数是（）①y=x2+6②∃x∈N，x2≤x；③若x∈A∪B，则x∈A∩B；④集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素的充要条件是k=1A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【答案】A【分析】根据分离常数法，可得y=x2+4+2x2+4，换元，令t=x2+4∈[2，+∞），于是f（t）＝t+2t求出使集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素的k值，即可判断④．【解答】解：①y=x2+6x2+4=f（t）＝t+2t在t∈[2，+∞）上单调递增，∴f（t）min＝f（2）＝3，故命题②当x＝1时，满足x2≤x，故命题②为真命题；③取A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∪B＝{1，2，3}，A∩B＝{2}，1∈A∪B，但1∉A∩B，故命题③为假命题；④若集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素，则k＝0或k≠01−4k=0，解得k＝0或k=∴集合A＝{x|kx2﹣x+1＝0}中只有一个元素的充要条件是k＝0或k=14，故命题故真命题的个数为1．故选：A．4．（5分）若“∃x∈[1，2]，使2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，22] B．[22，92] C．（﹣∞，3] D．[9【考点】存在量词和存在量词命题．【答案】C【分析】若“∃x∈[1，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[1，2]，使得λ＞2x+1x成立”是假命题，根据函数的性质可得实数【解答】解：若“∃x∈[1，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[1，2]，使得λ＞2x+1故∀x∈[1，2]，λ≤2x+1令f（x）＝2x+1x，xf′（x）＝2−1故f（x）在[1，2]递增，f（x）min＝f（1）＝3，∴λ≤3，故选：C．5．（5分）已知离散型随机变量X服从二项分布X～B（n，p），且E（X）＝4，D（X）＝q，则1pA．2 B．52 C．94【考点】n重伯努利试验与二项分布．【答案】C【分析】随机变量X服从二项分布X～B（n，p），故E（X）＝4＝np，D（X）＝q＝np（1﹣p），所以4p+q＝4，结合基本不等式即可得到1p【解答】解：离散型随机变量X服从二项分布X～B（n，p），所以有E（X）＝4＝np，D（X）＝q＝np（1﹣p），所以4p+q＝4，即p+q4=1，（p所以1p+1q=（1p+1q）（p+q故选：C．6．（5分）“0＜x＜2”是不等式ax2﹣（2a+1）x+a+1＜0对任意a∈[﹣1，1]恒成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】利用参数转化法求出不等式恒成立时x的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：设f（a）＝ax2﹣（2a+1）x+a+1＝a（x2﹣2x+1）﹣x+2，若不等式ax2﹣（2a+1）x+a+1＜0对任意a∈[﹣1，1]恒成立，则f(−1)＜0f(1)＜0，即−x2+x＜0x则“0＜x＜2”是不等式ax2﹣（2a+1）x+a+1＜0对任意a∈[﹣1，1]恒成立的必要不充分条件，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），则函数g(x)=f(2x)+1−lgxA．{x|0＜x＜4} B．{x|﹣4＜x＜10} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】函数的定义域及其求法．【答案】D【分析】由f（x）的定义域求得f（2x）的定义域，再由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式，取交集得答案．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣2，2），∴由﹣2＜2x＜2，得﹣1＜x＜1，即f（2x）的定义域为（﹣1，1），又1﹣lgx≥0，∴0＜x≤10，则g（x）的定义域为{x|0＜x＜1}．故选：D．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且在区间[1，2]上是减函数，令a＝ln2，b=(14)−12，c=log122，则f（A．f（b）＜f（c）＜f（a） B．f（a）＜f（c）＜f（b） C．f（c）＜f（b）＜f（a） D．f（c）＜f（a）＜f（b）【考点】奇偶性与单调性的综合．【答案】C【分析】根据题意，分析可得f（x+2）＝f（﹣x），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，进而可得f（x）在区间[0，1]上为增函数，分析a、b、c的值，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝f（﹣x），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由f（x）在区间[1，2]上是减函数，则f（x）在区间[0，1]上为增函数，则f（1）＞0，又由a＝ln2，则0＜a＜1，b=(14)−1c=log122＝﹣1，则f（c）＝f则有f（c）＜f（b）＜f（a）；故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。（多选）9．（6分）下列函数中是偶函数，且值域为[0，+∞）的有（）A．f（x）＝ln（|x|+1） B．f（x）＝x﹣1xC．f（x）＝ex+e﹣x D．f（x）＝x4﹣2x2+1【考点】函数的奇偶性．【答案】AD【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和值域，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝ln（|x|+1），其定义域为R，有f（﹣x）＝ln（|﹣x|+1）＝ln（|x|+1）＝f（x），f（x）是偶函数，又由|x|≥0，则|x|+1≥1，则有ln（|x|+1）≥0，故函数的值域为[0，+∞），符合题意，对于B，f（x）＝x−1x，其定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝﹣x+1x对于C，f（x）＝ex+e﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝ex+e﹣x＝f（x），是偶函数，f（x）＝ex+e﹣x≥2，其值域为[2，+∞），不符合题意，对于D，f（x）＝x4﹣2x2+1，其定义域为R，f（﹣x）＝x4﹣2x2+1＝f（x），是偶函数，又由f（x）＝（x2﹣1）2≥0，函数的值域为[0，+∞），符合题意，故选：AD．（多选）10．（6分）下列说法正确的有（）A．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为“∃x∈R，x2+x+1≤0” B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若幂函数y=(m2−m−1)xD．方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0【考点】全称量词命题的否定；等式与不等式的性质；幂函数的概念；幂函数的单调性与最值．【答案】AD【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可判断A，根据不等式的性质可判断B，根据幂函数的定义和性质可判断C，根据二次函数的性质可判断D．【解答】解：对于A选项，因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为“∃x∈R，x2+x+1≤0”，故A选项正确；对于B选项，若a＞b，c＞d，如a＝1，b＝0，c＝﹣1，d＝﹣2，则ac＜bd，故B选项错误；对于C选项，函数y=(m所以m2﹣m﹣1＝1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1，又因为幂函数y=(m所以m2﹣2m﹣3＜0，解得﹣1＜m＜3，所以m＝2，故C错误；对于D选项，设f（x）＝x2+（a﹣3）x+a，则f（x）有两个零点，且两个一正一负，则f（0）＝a＜0，所以D选项正确．故选：AD．（多选）11．（6分）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)．现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为8%，乙车床加工的次品率6%，丙车床加工的次品率为5%，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%，40%，30%，设事件A1，A2，A3分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件A．P（A2B）＝0.024 B．P（B|A3）＝0.015 C．P（B）＝0.063 D．P(【考点】条件概率．【答案】ACD【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得．【解答】解：对于A，P（A2B）＝P（B|A2）P（A2）＝0.06×0.40＝0.024，故A正确；对于B，因事件B|A3可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，故有P（B|A3）＝5%，故B错误；对于C，P（B）＝P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）＝P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3）＝0.08×0.30+0.06×0.40+0.05×0.30＝0.024+0.024+0.015＝0.063，故C正确；对于D，P(A1|B)=故选：ACD．二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知f(x)=(2−a)x+1(x＜1)ax(x≥1)满足对任意x1≠x2，都有f(x【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【答案】见试题解答内容【分析】先确定函数在R上单调增，再利用单调性的定义，建立不等式，即可求得a的取值范围．【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有f(x∴函数在R上单调增∴2−a＞0∴3故答案为：[3213．（5分）某产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如表：x24568y3040a5070已知y关于x的线性回归方程为y＝6.5x+15.1，则表格中实数a的值为．【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】48．【分析】计算样本中心点，代入回归方程，求解即可．【解答】解：根据表格可知，x=15×（2+4+5+6+8）＝5，y=y关于x的线性回归方程为y＝6.5x+15.1，即190+a5=6.5×5+15.1，解得故答案为：48．14．（5分）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是．【考点】排列组合的综合应用．【答案】见试题解答内容【分析】分①3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车；②3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，分情况讨论即可．【解答】解：由题意，①3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有A5②3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有C3故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是60+60＝120种．故答案为：120．四、解答题：本题共5题，共77分。15．（13分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}．（1）若集合B＝{x|﹣5＜x＜1}，求此时实数m的值；（2）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【考点】充分条件与必要条件．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由集合B可得方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根为﹣5，1，再由根与系数的关系列式求解m值；（2）由p是q的充分条件，知A⊆B，求解一元二次不等式化简A与B，然后对m分类求解得答案．【解答】解：（1）∵B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}＝{x|﹣5＜x＜1}，∴方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根为﹣5，1．由韦达定理知x1+x2＝﹣5+1＝﹣4m，则m＝1．此时满足B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}＝{x|x2+4x﹣5＜0}＝{x|（x+5）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣5＜x＜1}；（2）由p是q的充分条件，知A⊆B，又A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|（x﹣m）（x+5m）＜0}，①m＞0时，﹣5m＜m，B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B，有−5m≤−1m≥4⇒m≥②m＜0时，m＜﹣5m，B＝{x|m＜x＜﹣5m}，由A⊆B，有m≤−1−5m≥4⇒m≤−1③m＝0时，B＝∅，不满足A⊆B．综上所述，实数m的取值范围是m≤﹣1或m≥4．16．（15分）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型．打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用．乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用．乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能．乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力．不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张，某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男40_____56女_____24_____总计__________100（1）补全2×2列联表，并依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为13，女乒乓球爱好者获胜的概率为14，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.050.0100.0050.001xα3.8416.6357.87910.828【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）列联表见解析，能认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；（2）分布列见解析，E(X)=11【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可得解；（2）依题意可得X的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．【解答】解：（1）根据题意可得2×2列联表如下：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男401656女202444总计6040100零假设H0：“乒乓球爱好者”与性别无关，则χ2可得假设不成立，所以认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；（2）由（1）得抽取的3人中3×4040+20=2则X的可能取值为0、1、2、3，所以P(X=0)=23×P(X=2)=(13所以X的分布列为：X0123P1349736136所以E(X)=0×117．（18分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x