2023-2024学年吉林省长春实验中学高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年吉林省长春实验中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1．（5分）函数f（x）在R上可导，若f′（2）＝3，则limΔx→0A．12 B．9 C．6 D．32．（5分）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（）A．24 B．36 C．42 D．483．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）ex，过点P（m，0）作曲线y＝f（x）的两条切线，切点分别为A（a，f（a））和B（b，f（b）），若a+b＝0，则实数m＝（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是（）A．1219 B．1519 C．355．（5分）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为P（X＝k）=λkk!e﹣λ（k＝0，1，2，…），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X服从参数为λA．1e4 B．4e4 C．6．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx，则下列结论正确的是（）A．f（x）在x=1e处得到极大值B．f（x）在x=e处得到极大值eC．f（x）在x=1e处得到极小值D．f（x）在x=e处得到极小值7．（5分）随机变量F的概率分布列为P（ξ＝k）=ck2+k，k＝1，2，3，其中c是常数，则A．10 B．117 C．38 D．358．（5分）已知a＝4ln3π，b＝3π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c9．（5分）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）10．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（）A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1 B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1 C．函数y=f(x)eD．函数y=f(x)二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）11．（6分）下列函数求导运算正确的是（）A．(x+3x)′=1+3x2 B．（C．(ex−（多选）12．（6分）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A．没有空盒子的方法共有24种 B．可以有空盒子的方法共有128种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有72种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种13．（6分）经检测一批产品中每件产品的合格率为35，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为XA．X的可能取值为1，2，3，4，5 B．P(X=2)=CC．X＝3的概率最大 D．X服从超几何分布（多选）14．（6分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx，则下列选项中正确的是（）A．f(2)＞f(1B．f（x）既有极大值又有极小值 C．若方程m＝f（|x|）有4个根，则m∈（0，+∞） D．若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1x2﹣（x1+x2）+1＜0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上。15．（5分）曲线f（x）＝（x+1）ex+lnx在（1，a）处的切线与直线bx﹣y+2＝0平行，则b﹣a＝．16．（5分）为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有种．17．（5分）从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E（X）＝．18．（5分）已知a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4logab+logba＝4，则2b+lnab四、解答题：本题共4小题，其中19题12分，20题14分，21题14分，22题16分，共56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。19．（12分）已知（2x+1x）（1）求n的值；（2）求（2x+1x）n的展开式中x（3）求（x−1x）（2x+120．（14分）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．（1）设半圆的半径OA＝r（米），试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S（r）；（2）由于条件限制r∈[30，40]，问当r取何值时，运动场造价最低？（精确到元）21．（14分）甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是13（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若现在是甲以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需要打的局数，求X的概率分布列及数学期望．22．（16分）已知函数f(x)=2lnx+m（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：f(x

2023-2024学年吉林省长春实验中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。1．（5分）函数f（x）在R上可导，若f′（2）＝3，则limΔx→0A．12 B．9 C．6 D．3【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【答案】A【分析】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果．【解答】解：limΔx→0f(2+3Δx)−f(2−Δx)Δx故选：A．2．（5分）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（）A．24 B．36 C．42 D．48【考点】部分元素相邻的排列问题．【答案】B【分析】由排列组合中的捆绑问题得：不同排法的种数为A2【解答】解：先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，再减去数学排第一节的排法即可即不同排法的种数为A2故选：B．3．（5分）已知函数f（x）＝（x+1）ex，过点P（m，0）作曲线y＝f（x）的两条切线，切点分别为A（a，f（a））和B（b，f（b）），若a+b＝0，则实数m＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】B【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义和两点的斜率公式，结合二次方程的韦达定理，可得所求值．【解答】解：由题意知f′（x）＝（x+2）ex，因为PA与曲线y＝f（x）相切，所以(a+2)ea=(a+1)eaa−m，整理得a2同理b2+（1﹣m）b﹣2m﹣1＝0，则a，b是方程x2+（1﹣m）x﹣2m﹣1＝0的两个实数根，所以a+b＝m﹣1＝0，所以m＝1．故选：B．4．（5分）在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是（）A．1219 B．1519 C．35【考点】条件概率．【答案】A【分析】根据题意，求出P（A）和P（AB），再利用条件概率的公式即可得出答案．【解答】解：记事件A为在某次通电后M、N有且只有一个需要更换，事件B为M需要更换，∵每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则P（A）＝0.3×（1﹣0.2）+（1﹣0.3）×0.2＝0.38，P（AB）＝0.3×（1﹣0.2）＝0.24，由条件概率公式可得P(B|A)=P(AB)故选：A．5．（5分）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为P（X＝k）=λkk!e﹣λ（k＝0，1，2，…），其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X服从参数为λA．1e4 B．4e4 C．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】D【分析】根据泊松分布的概率分布列，即可求解．【解答】解：由题可知P（X＝2）＝P（X＝3），即λ22e故P(X=k)=3故两个站台各有1个乘客候车的概率为P=(故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝x2lnx，则下列结论正确的是（）A．f（x）在x=1e处得到极大值B．f（x）在x=e处得到极大值eC．f（x）在x=1e处得到极小值D．f（x）在x=e处得到极小值【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】C【分析】求解函数的导数，求解极值点，结合导函数的符号，求解函数的极值即可．【解答】解：函数f（x）＝x2lnx，x∈（0，+∞），f′（x）＝2xlnx+x，令2xlnx+x＝0，可得x=1当x∈（0，1e）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1e，+∞）时，f′（所以f（x）在x=1e处得到极小值，极小值为：f（1e故选：C．7．（5分）随机变量F的概率分布列为P（ξ＝k）=ck2+k，k＝1，2，3，其中c是常数，则A．10 B．117 C．38 D．35【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】C【分析】根据已知条件，结合分布列的性质，求出c=43，分布求出ξ的分布列和ξ【解答】解：∵P（ξ＝k）=ck2∴P（ξ＝1）=c2，P（ξ＝2）=c6，P（∴c2+c6故ξ的分布列为：ξ123P2219故ξ2的分布列为：ξ2149P2219故E（ξ）=1×2E（ξ2）=1×2∵D（ξ）＝E（ξ2）﹣[E（ξ）]2=23∴D（9ξ﹣3）=9故选：C．8．（5分）已知a＝4ln3π，b＝3π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【考点】利用导数研究函数的单调性；对数值大小的比较．【答案】B【分析】由对数的运算性质可判断a＞b，c＞b，构造函数f(x)=lnxx，利用导数判断f（x）的单调性，从而可比较a，【解答】解：a＝4ln3π＝4πln3＞4π＞3π，c＝4lnπ3＝12lnπ＞12＞3π，即a＞b，c＞b，对于a，c的大小：构造函数f(x)=lnxx，则当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上单调递减，∵π＞3＞e，∴f（π）＜f（3），即lnππ＜ln33，∴3lnπ＜πln3，∴lnπ3＜ln3π，∴4lnπ3＜4ln3π，即综上，b＜c＜a．故选：B．9．（5分）口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】A【分析】当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）＝2，D（ξ）=25，当n＝4时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出E（η）=167，D（η）=2449，从而求出E（ξ）＜E（η），D（【解答】解：当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ＝1）=CP（ξ＝2）=CP（ξ＝3）=C∴E（ξ）=1D（ξ）=1当n＝4时，η可取1，2，3，4，P（η＝1）=CP（η＝2）=CP（η＝3）=CP（η＝4）=1∴E（η）=4D（η）=435（1−167）2+1835（2−167）2+1235（3∴E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）．故选：A．10．（5分）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（）A．函数y＝f（x）•ex的最大值为1 B．函数y＝f（x）•ex的最小值为1 C．函数y=f(x)eD．函数y=f(x)【考点】利用导数研究函数的最值；基本初等函数的导数．【答案】C【分析】根据函数的单调性确定虚线部分为y＝f′（x），再求函数y=f(x)【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y＝f′（x），实线部分为y＝f（x），则A，B显然错误，对于C，D而言，y′=f′(x)ex−f(x)ex(ex)2=故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）11．（6分）下列函数求导运算正确的是（）A．(x+3x)′=1+3x2 B．（C．(ex−【考点】基本初等函数的导数．【答案】CD【分析】根据题意，对选项中的导数运算判断是否正确即可．【解答】解：对于A，（x+3x）′＝1−3对于B，（x2lnx）′＝2xlnx+x2•1x=2xlnx+x，选项对于C，（ex−1x）′＝ex﹣（−12）•x−3对于D，（tanx）′＝（sinxcosx）′=cosx⋅cosx−sinx⋅(−sinx)cos故选：CD．（多选）12．（6分）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A．没有空盒子的方法共有24种 B．可以有空盒子的方法共有128种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有72种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种【考点】简单排列问题．【答案】AD【分析】四个球放四个盒子，全排列可得A正确；每个盒子有4种方法，相乘可得B错误；由分步乘法和简单排列可得C错误，D正确．【解答】解：对于A，没有空盒子的方法为4个球放入4个盒子，共有A44=24对于B，可以有空盒子的方法共有44＝256种，故B错误；对于C，恰有1个盒子不放球，选出一个空盒子，有4种，再将四个球种的一个球与其他另一个球绑定，有C4其余全排，有A3所以共有4×6×6＝144种，故C错误；对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒子，有4种，另外三球三盒子不能对应，共有2种，所以一共有8种，故D正确．故选：AD．13．（6分）经检测一批产品中每件产品的合格率为35，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为XA．X的可能取值为1，2，3，4，5 B．P(X=2)=CC．X＝3的概率最大 D．X服从超几何分布【考点】n重伯努利试验与二项分布；离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】C【分析】由已知可得，X～B(5，35)，X＝0，1，2，3，4，5，即可判断AD【解答】解：由已知可得，X～B(5，35)，X＝0，1，2，3，4，5，故AP（X＝k）=C5k⋅（35）k（25P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=CP(X=5)=C故B错误，C正确．故选：C．（多选）14．（6分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx，则下列选项中正确的是（）A．f(2)＞f(1B．f（x）既有极大值又有极小值 C．若方程m＝f（|x|）有4个根，则m∈（0，+∞） D．若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1x2﹣（x1+x2）+1＜0【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【答案】ACD【分析】对于A：计算f（12），f（2），并比较大小，即可判断A对于B：求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可判断B是否正确；对于C：把f（x）图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到f（|x|）的图象，方程m＝f（|x|）有4个根等价于函数y＝m与函数y＝f（|x|）的图象有4个交点，即可判断选项C正确；对于D：x1x2﹣（x1+x2）+1＝（x1﹣1）（x2﹣1），由图可知：0＜x1＜1＜x2或0＜x2＜1＜x1，即可判断D选项是否正确．【解答】解：对于A：f(12)=ln2−14所以f（12）＜f（2），故A对于B：f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x−1−1当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）只有极小值没有极大值，故B错误；对于C：由B选项的解析知，f（x）的最小值为f（1）＝0，当x→0时，f（x）→+∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，把f（x）图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到f（|x|）的图象，如图所示：方程m＝f（|x|）有4个根等价于函数y＝m与函数y＝f（|x|）的图象有4个交点，则m∈（0，+∞），故C正确；对于D：x1x2﹣（x1+x2）+1＝（x1﹣1）（x2﹣1），若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），由图可知：0＜x1＜1＜x2或0＜x2＜1＜x1，所以（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上。15．（5分）曲线f（x）＝（x+1）ex+lnx在（1，a）处的切线与直线bx﹣y+2＝0平行，则b﹣a＝e+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】e+1．【分析】利用函数f（x）经过的点，求解a，然后求解函数的导数，进而求得函数在x＝1处得导数，再利用两直线平行的条件可求出b的值，即可推出结果．【解答】解：f（x）＝（x+1）ex+lnx经过（1，a），可得a＝2e，f（x）＝（x+1）ex+lnx的导数为f′（x）＝（2x+1）ex+1则在x＝1处的切线的斜率为f′（1）＝3e+1，由于曲线f（x）＝（x+1）ex+lnx在（1，a）处的切线与直线bx﹣y+2＝0平行．而直线bx﹣y+2＝0的斜率为b．即有b＝3e+1，解得b﹣a＝e+1．故答案为：e+1．16．（5分）为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有216种．【考点】排列组合的综合应用．【答案】216．【分析】6名教师的分组为3，1，1，1，或2，2，1，1，结合排列组合知识求解．【解答】解：若这6名教师的分组为3，1，1，1，则不同的安排方法有C4若这6名教师的分组为2，2，1，1，则不同的安排方法有C2故不同的安排方法共有96+120＝216种．故答案为：216．17．（5分）从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E（X）＝8．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】8．【分析】由题意分析离散型随机变量X的所有取值，求出概率分布列计算期望即可．【解答】解：从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张卡片共有10种结果，（1，2），（1，3），（1，5），（1，9），（2，3），（2，5），（2，9），（3，5），（3，9），（5，9），2张卡片上的数字之和分别为：3，4，5，6，7，8，10，11，12，14，P（X＝3）＝P（X＝4）＝P（X＝5）＝P（X＝6）＝P（X＝7）＝P（X＝8）=P(X=10)=P(X=11)=P(X=12)=P(X=14)=1所以E(X)=1故答案为：8．18．（5分）已知a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4logab+logba＝4，则2b+lnab的最小值为1+【考点】利用导数研究函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】由已知结合对数的运算性质先得到a，b的等量关系，代入到所求式子，结合式子的特点构造函数，对其求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解．【解答】解：a，b∈（0，1）∪（1，+∞），4logab+logba＝4logab+1所以logab=1所以a＝b2，则2b+lna令f（x）＝lnx+2x，x＞0且则f′（x）=1当x∈（0，1）∪（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故x＝2时，f（x）取得最小值f（2）＝1+ln2，所以2b+lnab故答案为：1+ln2．四、解答题：本题共4小题，其中19题12分，20题14分，21题14分，22题16分，共56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。19．（12分）已知（2x+1x）（1）求n的值；（2）求（2x+1x）n的展开式中x（3）求（x−1x）（2x+1【考点】二项式系数与二项式系数的和．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用二项式系数的性质求得n的值．（2）利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x2项的系数．（2）利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．【解答】解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得2n＝32，解得n＝5．（2）由题意得（2x+1x）n的展开式的通项公式为Tr+1=C5r•25﹣r解得r＝2，所以展开式中x2项的系数为23×C（3）由（2）知，（2x+1x）n的展开式的通项公式为Tr+1=C5r•25﹣r•x令5−3r2=12，解得r＝3，故（x−1x）（2x+1x）n20．（14分）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．（1）设半圆的半径OA＝r（米），试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S（r）；（2）由于条件限制r∈[30，40]，问当r取何值时，运动场造价最低？（精确到元）【考点】基本不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）跑道的面积等于一个大圆减去一个小圆加上一个大矩形减去一个小矩形，（2）将实际问题的最值转化成数学问题的最值，用函数单调性求最值【解答】解：（1）塑胶跑道面积S＝π[r2﹣（r﹣8）2]+8×10000−πr2=80000r+8πr﹣64π（2）设运动场造价为y则y＝150×（80000r+8πr﹣64π）+30×（10000−80000r−8＝300000+120（80000r+8πr∵r∈[30，40]，函数y是r的减函数∴当r＝40，运动场造价最低为636510元答：塑胶跑道面积S与r的函数关系S（r）=80000r+8πr﹣64π当r＝40，运动场造价最低为636510元21．（14分）甲乙两名同学利用课余时间进行羽毛球比赛，规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是13（1）求比赛结