2023-2024学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷

2023-2024学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|1＜x＜4}，则A⋂B＝（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，1） C．（1，3） D．（1，4）2．（5分）已知a∈R，则“a＞0”是“a＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（5分）函数的定义域为（）A． B． C． D．4．（5分）函数f（2x+1）＝x2﹣3x+1，则f（3）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．（5分）R上的函数y＝f（x）满足以下条件：①f（﹣x）＝f（x），②对任意x1，x2∈（﹣∞，0]，当x1＞x2时都有f（x1）＞f（x2），则f（2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（π）＞f（2）＞f（﹣3） B．f（π）＞f（﹣3）＞f（2） C．f（π）＜f（2）＜f（﹣3） D．f（π）＜f（﹣3）＜f（2）6．（5分）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝aebt（cm3），经过4min后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（）A．8min B．12min C．16min D．18min7．（5分）设，若，则t的最小值为（）A．32 B．16 C．8 D．48．（5分）已知函数，若n＞m，且f（n）＝f（m），设t＝n﹣m，则t的最小值为（）A．1 B．. C．. D．.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列说法中正确的有（）A．lge＝1 B．lg（lg10）＝0 C．若a＝log32，则 D．若，则a+a﹣1＝4（多选）10．（5分）若“∃x∈R，mx2+mx+1≤0”为假命题，则m的值可能为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．4（多选）11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2+x，则下列说法正确的是（）A．f（﹣2）＝﹣6 B．f（x）在定义域R上为增函数 C．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝﹣x2﹣x D．不等式f（x﹣1）＜6的解集为（﹣∞，3）（多选）12．（5分）对于函数y＝f（x），若f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的不动点；若f[f（x1）]＝x1，则称x1是f（x）的稳定点，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝x2的不动点为0和1 B．﹣1为函数f（x）＝x2的稳定点 C．存在f（x），有稳定点，无不动点 D．存在f（x），其稳定点均为不动点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知函数f（x）＝（m+2）xm为幂函数，则实数m＝．14．（5分）函数f（x）＝|x﹣2|的单调递增区间为15．（5分）已知m＞0，n＞0，m+2n＝1，则的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为区间[﹣1，3]，且图象关于点（1，2）中心对称．当1＜x≤3时，，则满足f（x﹣1）+f（x）≥4的x的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求值：；（2）求值：18．（12分）已知不等式ax2﹣x﹣6＜0的解集为{x|b＜x＜3}．（1）求a，b的值；（2）当m＜0时，解关于x的不等式mx2﹣（m﹣b）x+2a＞0．19．（12分）已知函数．（1）试判断函数f（x）在区间[1，2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（2）若存在x∈[1，2]，使f（x）＜2+m成立，求实数m的范围．20．（12分）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设．据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，浮动价格＝（单位：元）．而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到（30﹣0.2x）万套．注：利润＝（售价﹣供货价格）×销售量（不计其他成本）（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？（2）每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值．21．（12分）已知正实数a，b满足a2+2b2＝4．（1）求a2+2b的最大值；（2）求的最小值．22．（12分）已知函数f（x）为偶函数，且x∈[﹣2，0]时，．（1）求x∈（0，2]时，f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝ax+2﹣a（a≠0），对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）＝f（x1）成立，求实数a的取值范围．

2023-2024学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|1＜x＜4}，则A⋂B＝（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，1） C．（1，3） D．（1，4）【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】利用集合的交集运算求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|1＜x＜4}，∴A⋂B＝{x|1＜x＜3}．故选：C．2．（5分）已知a∈R，则“a＞0”是“a＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：当a＞0时，可能a＝0.5，不能推出a＞1；反之，若a＞1，则必定可以得到a＞0．综上所述，“a＞0”是“a＞1”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）函数的定义域为（）A． B． C． D．【考点】函数的定义域及其求法．【答案】C【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，解得且x≠1，因此函数f（x）的定义域为．故选：C．4．（5分）函数f（2x+1）＝x2﹣3x+1，则f（3）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】函数的值．【答案】A【分析】由解析式代入计算函数值即可．【解答】解：设2x+1＝3，得x＝1，则f（3）＝1﹣3+1＝﹣1．故选：A．5．（5分）R上的函数y＝f（x）满足以下条件：①f（﹣x）＝f（x），②对任意x1，x2∈（﹣∞，0]，当x1＞x2时都有f（x1）＞f（x2），则f（2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（π）＞f（2）＞f（﹣3） B．f（π）＞f（﹣3）＞f（2） C．f（π）＜f（2）＜f（﹣3） D．f（π）＜f（﹣3）＜f（2）【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】D【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可．【解答】解：∵f（x）的定义域是R，f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数，又对任意x1，x2∈（﹣∞，0]，当x1＞x2时都有f（x1）＞f（x2），则f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减，故f（π）＜f（﹣3）＝f（3）＜f（2）．故选：D．6．（5分）一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝aebt（cm3），经过4min后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（）A．8min B．12min C．16min D．18min【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】B【分析】由题意得ae4b＝a，解得b＝﹣，即y＝ae﹣，令y＝，即ae﹣＝，求解即可得出答案．【解答】解：由题意得ae4b＝a，解得b＝﹣，∴y＝ae﹣，令y＝，即ae﹣＝，∴e﹣＝，即﹣t＝ln＝﹣3ln2，解得t＝12min．故选：B．7．（5分）设，若，则t的最小值为（）A．32 B．16 C．8 D．4【考点】基本不等式及其应用．【答案】B【分析】由题意得，＝＝（）（m+）×4＝4（2++），然后利用基本不等式可求．【解答】解：若，则＝＝（）（m+）×4＝4（2++）≥4（2+2）＝16，当且仅当m＝﹣m，即m＝时取等号．故选：B．8．（5分）已知函数，若n＞m，且f（n）＝f（m），设t＝n﹣m，则t的最小值为（）A．1 B．. C．. D．.【考点】分段函数的应用．【答案】A【分析】作出函数f（x）的图象，由图可知m≤1，n＞1，且m＝，所以t＝﹣，再结合0＜n2﹣1≤3求出n的取值范围，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示：∵f（n）＝f（m），且n＞m，∴m≤1，且n＞1，∴2m+1＝n2﹣1，即m＝，由图可得，解得1＜n≤2，∴t＝n﹣m＝n﹣＝﹣＝﹣+，∵1＜n≤2，∴当n＝2时，t取得最小值1．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列说法中正确的有（）A．lge＝1 B．lg（lg10）＝0 C．若a＝log32，则 D．若，则a+a﹣1＝4【考点】对数的运算性质．【答案】BCD【分析】利用对数的运算法则，逐个判断即可．【解答】解：对于A：因为lg10＝1，而lge≠lg10，所以lge≠1，故A错误；对于B：因为lg10＝1，所以lg（lg10）＝lg1＝0，故B正确；对于C：因为a＝log32，所以a＝＝，故C正确；对于D：因为，所以，即a+a﹣1＝4，故D正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）若“∃x∈R，mx2+mx+1≤0”为假命题，则m的值可能为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．4【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．【答案】AC【分析】根据已知条件，推得∀x∈R，mx2+mx+1＞0，再分m＝0，m≠0两种情况讨论，即可求解．【解答】解：“∃x∈R，mx2+mx+1≤0”为假命题，则∀x∈R，mx2+mx+1＞0，当m＝0时，1＞0，符合题意，当m≠0时，，解得0＜m＜4，故m的值可能为0，1．故选：AC．（多选）11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2+x，则下列说法正确的是（）A．f（﹣2）＝﹣6 B．f（x）在定义域R上为增函数 C．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝﹣x2﹣x D．不等式f（x﹣1）＜6的解集为（﹣∞，3）【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】ABD【分析】由已知可求f（2），然后结合奇函数定义检验选项A，结合奇函数定义求出函数解析式，作出函数图象即可判断B，C，结合函数的单调性检验选项D．【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x2+x，所以f（0）＝0，f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣6，A正确；当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝x2﹣x＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣x2+x，大致图象如图所示，在定义域R上单调递增，B正确，C错误；因为f（x﹣1）＜6＝f（2），故x﹣1＜2，即x＜3，D正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）对于函数y＝f（x），若f（x0）＝x0，则称x0是f（x）的不动点；若f[f（x1）]＝x1，则称x1是f（x）的稳定点，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）＝x2的不动点为0和1 B．﹣1为函数f（x）＝x2的稳定点 C．存在f（x），有稳定点，无不动点 D．存在f（x），其稳定点均为不动点【考点】函数与方程的综合运用．【答案】ACD【分析】由不动点定义可判定A；由稳定点定义可判定B；取函数可判定C；取函数f（x）＝1可判定D．【解答】解：对于A，设函数f（x）＝x2的不动点为x0，则有，解得x0＝0或x0＝1，故A正确；对于B，对函数f（x）＝x2，f[f（﹣1）]＝f（1）＝1≠﹣1，故﹣1不是函数f（x）＝x2的稳定点，故B错误；对于C，设函数，定义域为{x|x≠0}，假设存在不动点x0，则，得1无解，故无不动点，假设存在稳定点x1，则，，所以对∀x∈{x|x≠0}，均有f[f（x）]＝x，故无不动点，有稳定点，故C正确；对于D，取函数f（x）＝1，假设存在不动点x0，稳定点x1，则f（x0）＝1，f[f（x1）]＝1，由题意得x0＝x1＝1，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知函数f（x）＝（m+2）xm为幂函数，则实数m＝﹣1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【答案】﹣1．【分析】利用幂函数的定义求解．【解答】解：由幂函数的定义可得，m+2＝1，∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）函数f（x）＝|x﹣2|的单调递增区间为[2，+∞）【考点】函数的单调性及单调区间．【答案】见试题解答内容【分析】作出函数f（x）＝|x﹣2|的图象，由图可得函数的单调增区间．【解答】解：作出函数f（x）＝|x﹣2|的图象如图，由图可知，函数的单调增区间为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．15．（5分）已知m＞0，n＞0，m+2n＝1，则的最小值为8+4．【考点】基本不等式及其应用．【答案】8+4．【分析】由题意得＝8++，利用基本不等式，即可得出答案．【解答】解：∵m＞0，n＞0，m+2n＝1，∴＝＝＝＝1+＝1+（）（m+2n）＝1+7++≥8+2＝8+4．（当且仅当m＝n时等号成立）．故答案为：8+4．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为区间[﹣1，3]，且图象关于点（1，2）中心对称．当1＜x≤3时，，则满足f（x﹣1）+f（x）≥4的x的取值范围是[，3]．【考点】奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用．【答案】[，3]．【分析】由已知结合对称性及单调性即可求解不等式．【解答】解：因为y＝x，在[1，3]上单调递增，所以当x∈[1，3]时，函数f（x）单调递增，因为f（x）的图像关于点（1，2）对称，故函数f（x）在[﹣1，3]上单调递增且f（2﹣x）+f（x）＝4，即4﹣f（x）＝f（2﹣x），所以f（x﹣1）≥f（2﹣x），所以3≥x﹣1≥2﹣x≥﹣1，解得．故答案为：[，3]．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求值：；（2）求值：【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质．【答案】（1）100；（2）．【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解；（2）利用对数的运算性质求解．【解答】解：（1）原式＝1﹣10++22×33＝1﹣10+1+108＝100；（2）原式＝＝log24+﹣2＝2+＝．18．（12分）已知不等式ax2﹣x﹣6＜0的解集为{x|b＜x＜3}．（1）求a，b的值；（2）当m＜0时，解关于x的不等式mx2﹣（m﹣b）x+2a＞0．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】（1）a＝1，b＝﹣2；（2）{x|＜x＜1}．【分析】（1）由题意得b，3是方程ax2﹣x﹣6＝0的两实根，再由根与系数的关系求解即可；（2）将a＝1，b＝﹣2代入不等式化简，结合m＜0，解一元二次不等式可求解．【解答】解：（1）不等式ax2﹣x﹣6＜0的解集为{x|b＜x＜3}，所以b，3是方程ax2﹣x﹣6＝0的两实根，则，解得a＝1，b＝﹣2．（2）由（1）得，不等式mx2﹣（m﹣b）x+2a＞0等价于不等式mx2﹣（m+2）x+2＞0，即（mx﹣2）（x﹣1）＞0，因为m＜0，所以不等式可化为（x﹣）（x﹣1）＜0，又，解得＜x＜1，所以不等式的解集为{x|＜x＜1}．19．（12分）已知函数．（1）试判断函数f（x）在区间[1，2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（2）若存在x∈[1，2]，使f（x）＜2+m成立，求实数m的范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质与判断．【答案】（1）f（x）＝2x2+在区间[1，2]上单调递增，证明详情见解答．（2）（1，+∞）．【分析】（1）根据函数单调性的定义证明，即可得出答案．（2）由（1）可知f（x）在[1，2]上单调递增，若存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2+m成立，只需f（x）min＜2+m成立，即可得出答案．【解答】解：（1）f（x）＝2x2+在区间[1，2]上单调递增，证明：设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）﹣f（x2）＝2（﹣）+（﹣）＝（2x1+2x2）（x1﹣x2）﹣＝（x1﹣x2）（2x1+2x2﹣），因为1≤x1＜x2≤2，所以x1﹣x2＜0，2x1+2x2＞4，＜1，即2x1+2x2﹣＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）＝2x2+在区间[1，2]上单调递增．（2）由（1）可知f（x）在[1，2]上单调递增，所以当x＝1时，f（x）取得最小值，即f（x）min＝f（1）＝3，又存在x∈[1，2]，使得f（x）＜2+m成立，所以只需f（x）min＜2+m成立，所以3＜2+m，解得m＞1，所以实数m的取值范围为（1，+∞）．20．（12分）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设．据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，浮动价格＝（单位：元）．而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到（30﹣0.2x）万套．注：利润＝（售价﹣供货价格）×销售量（不计其他成本）（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？（2）每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值．【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）320；（2）售价为145元，利润最大，最大值为80元．【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案；（2）设单套售价为x元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案．【解答】解：（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，销售量为30﹣0.2×125＝5（万套），供货单价为60+＝61（元），总利润为5×（125﹣61）＝320（万元）；（2）设单套售价为x元，此时销售量为（30﹣0.2x）万套，供货价格为（60+）元，同时30﹣0.2x＞0，所以0＜x＜150，所以单套利润为x﹣60﹣＝﹣[（150﹣x）+]+90≤﹣2+90＝80，当且仅当150﹣x＝，即x＝145时取等号．所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元．21．（12分）已知正实数a，b满足a2+2b2＝4．（1）求a2+2b的最大值；（2）求的最小值．【考点】基本不等式及其应用．