2023-2024学年江苏省宿迁市高二(下)期中数学试卷

2023-2024学年江苏省宿迁市高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有（）A．22种 B．350种 C．32种 D．20种2．（5分）已知向量a→=（﹣1，3，2），b→=（2，﹣6，z），若a→A．﹣4 B．4 C．14 D．3．（5分）某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（）A．6种 B．8种 C．9种 D．10种4．（5分）在四面体OABC中记OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12a→+C．12a→5．（5分）已知向量a→=(2，4，−4)，b→=(1，2，2)A．(19，2C．(29，6．（5分）下列命题正确的是（）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→B．若表示向量a→，b→的有向线段所在的直线为异面直线，则向量a→，C．若a→，b→共线，则表示向量aD．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→=xOA→+yOB→+zOC→（其中x、y、z∈7．（5分）（x2﹣x﹣2）6＝a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2＝（）A．0 B．32 C．﹣32 D．648．（5分）阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为m→=（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，过点P（x0，y0，z0）且方向向量为n→=（u，v，w）（umw≠0）的直线l的方程为x−x0u=y−y0v=z−z0w．根据上述材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x﹣yA．32 B．13 C．23二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符（多选）9．（6分）下列结论正确的是（）A．3×4×5=AB．C5C．若C10x=CD．C（多选）10．（6分）（多选）下列说法中正确的有（）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有43种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有43种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有34种可能结果（多选）11．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AC，AA1，AB的中点，则下列结论正确的是（）A．EF与AC1所成的角为90° B．点F到直线BC1的距离为62C．CB1与平面DEF所成角为60° D．点B1到平面DEF的距离为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（用数字作答）．13．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，求BD1→14．（5分）直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都为2，∠BAD=π3，点P在四边形BDD1B1及其内部运动，且满足|PA|+|PC|＝4，则点P到平面AD1B1的距离的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。15．（13分）已知A（1，﹣2，1），向量a→=（﹣3，4，12），若向量AB→与a→的方向相同，且|（1）求点B的坐标；（2）若点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，当MA→•MB→取最小值时，求点16．（15分）在（x+12⋅（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；（Ⅲ）求展开式中含x﹣2的项的系数．17．（15分）0～9共10个数字．（1）可组成多少个无重复数字的四位数；（2）可组成多少个无重复数字的五位偶数；（3）可组成多少个无重复数字的大于或等于30000的五位数；（4）在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝4，若异面直线PA与CD所成角等于60°．（1）求棱PB的长；（2）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．19．（17分）在(1+x+x2)n=Dn0+Dn（1）求D3（2）将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”．对此，我们并不陌生，如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式，几何中常用的等积法也是“算两次”的典范．根据二项式定理，将等式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如考察左右两边展开式中xn的系数可得C2nn=(

2023-2024学年江苏省宿迁市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有（）A．22种 B．350种 C．32种 D．20种【考点】计数原理的应用．【答案】A【分析】根据题意，按选出科目的不同分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，任选一本阅读，包括3种情况：①一本语文有10种取法，②一本数学有5种取法，③一本英语有7种取法，则不同的选法有10+5+7＝22种；故选：A．2．（5分）已知向量a→=（﹣1，3，2），b→=（2，﹣6，z），若a→A．﹣4 B．4 C．14 D．【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．【答案】A【分析】直接利用向量的共线求出z的值．【解答】解：向量a→=（﹣1，3，2），b→故−12故z＝﹣4．故选：A．3．（5分）某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（）A．6种 B．8种 C．9种 D．10种【考点】计数原理的应用；排列组合的综合应用．【答案】C【分析】利用分步计数原理，分别求解由A到B，由B到C的最短路径的走法，即可得到结果．【解答】解：由A到B最短路径的走法：1×3＝3，由B到C的最短路径的走法，1×3＝3，所以由A到C的最短路径中，经过B的走法有3×3＝9．故选：C．4．（5分）在四面体OABC中记OA→=a→，OB→=b→，OC→=cA．12a→+C．12a→【考点】空间向量的数乘及线性运算．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【解答】解：∵OA→=a→，OB→=b→，OC→∴MN→=ON→−故选：B．5．（5分）已知向量a→=(2，4，−4)，b→=(1，2，2)A．(19，2C．(29，【考点】空间向量的投影向量与投影．【答案】D【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接求解即可．【解答】解：向量a→在向量ba→故选：D．6．（5分）下列命题正确的是（）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→B．若表示向量a→，b→的有向线段所在的直线为异面直线，则向量a→，C．若a→，b→共线，则表示向量aD．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→=xOA→+yOB→+zOC→（其中x、y、z∈【考点】平面向量的相等与共线；空间向量的共线与共面．【答案】A【分析】根据已知条件，结合向量共面定理，以及向量共线的性质，即可求解．【解答】解：若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→+CD空间中任意两个向量都共面，故B错误；a→则表示向量a→与b→的有向线段所在直线平行或重合，故若OP→=xOA→+yOB→+zOC→（其中x、y、则P、A、B、C四点共面，故D错误．故选：A．7．（5分）（x2﹣x﹣2）6＝a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a12+a10+a8+a6+a4+a2＝（）A．0 B．32 C．﹣32 D．64【考点】二项式定理．【答案】C【分析】直接利用赋值法的应用求出结果．【解答】解：令x＝0，解得a0＝64，令x＝1，故a0+a1+...+a12＝64，①，令x＝﹣1，故a0﹣a1+a2﹣...+a12＝0，②，①+②得：a0所以a12+a10+...+a2＝﹣32．故选：C．8．（5分）阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为m→=（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，过点P（x0，y0，z0）且方向向量为n→=（u，v，w）（umw≠0）的直线l的方程为x−x0u=y−y0v=z−z0w．根据上述材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x﹣yA．32 B．13 C．23【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角．【答案】D【分析】根据新定义，分别写出三个平面的法向量，再求得直线l的方向向量，然后利用向量法求线面角，即可得解．【解答】解：因为平面α的方程为2x﹣y+z﹣7＝0，所以平面α的一个法向量为m→同理可得，平面x﹣y+2＝0的一个法向量为a→=（1，﹣1，0），平面2x﹣z+1＝0的一个法向量为设直线l的方向向量为u→=（x，y，z），则取x＝1，则y＝1，z＝2，所以u→设直线l与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜m→，u→所以直线l与平面α所成角的正弦值为12故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符（多选）9．（6分）下列结论正确的是（）A．3×4×5=AB．C5C．若C10x=CD．C【考点】组合及组合数公式；排列及排列数公式．【答案】AD【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解．【解答】解：对于A，3×4×5=A53对于B，C52+C5对于C，C10x=C102x−2则x＝2x﹣2或x+2x﹣2＝10，解得对于D，C70+故选：AD．（多选）10．（6分）（多选）下列说法中正确的有（）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有43种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有43种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有34种可能结果【考点】计数原理的应用．【答案】BC【分析】利用计算原理，转化求解判断选项的正误即可．【解答】解：对于A、B，4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每人都有3种选择，共有34种报名方法，所以A错误；B正确；对于C、D，4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），每个冠军有4种可能，共有43种可能结果，所以C正确，D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AC，AA1，AB的中点，则下列结论正确的是（）A．EF与AC1所成的角为90° B．点F到直线BC1的距离为62C．CB1与平面DEF所成角为60° D．点B1到平面DEF的距离为3【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角．【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出EF→，AC1→的坐标，计算其数量积，可判断A；根据空间距离的向量求法可判断BD；求出平面【解答】解：由题意可知CA，CB，CC1两两垂直，故以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，0），E（2，0，1），F（1，1，0），对于A，EF→=(−1，1，−1)，则EF→•AC→=（﹣1，1，﹣1）•（﹣2，0，2）＝2﹣2＝0，即EF→⊥A则EF与AC1所成的角为90°，A正确；对于B，BC1→=(0，−2，2)，故点F到直线BC1的距离为|FB→|对于C，B1C→=(0，−2，−2)，设平面DEF的一个法向量为n→=（x，y，则n→⋅DE→=x+z=0设CB1与平面DEF所成角为θ，其范围为大于等于0°小于等于90°，故sinθ=|cos〈B故θ＝30°，C错误；对于D，B1E→=(2，−2，−1)，平面则点B1到平面DEF的距离为d=|B1故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为12（用数字作答）．【考点】部分元素不相邻的排列问题．【答案】12．【分析】不相邻问题借助插空法计算即可得．【解答】解：先排2名女生，有A2故3名男生有A3共有A2故答案为：12．13．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，求BD1→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；空间向量的数量积运算．【答案】1．【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出BD【解答】解：由题意得BD1→则B＝1﹣1+1×1×cos60°+1×1×cos60°＝1，故答案为：1．14．（5分）直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都为2，∠BAD=π3，点P在四边形BDD1B1及其内部运动，且满足|PA|+|PC|＝4，则点P到平面AD1B1的距离的最小值为21【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【答案】217【分析】建立空间直角坐标系，表示|PA|+|PC|＝4，化简得到点P的方程，用空间向量表示点P到平面AD1B1的距离，结合P的轨迹，能求出点P到平面AD1B1的距离的最小值．【解答】解：设AC∩BD＝O，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都为2，∠BAD=π∴BD⊥AC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（3，0，0），C（−3∵点P在四边形BDD1B1及其内部运动，∴P（0，y，z）（﹣1≤y≤1，0≤z≤2），∵|PA|+|PC|＝4，∴(−3整理得y2+z2＝1（﹣1≤y≤1，0≤z≤1），∴点P的轨迹是在yoz平面，以（0，0）为圆心，半径为1的半圆弧，∵D1（0，﹣1，2），B1（0，1，2），∴AD1→=（−3，﹣1，2），AB1→=（−设平面AD1B1的法向量为n→=（x，y，则n→⋅AD1→=−∴点P到平面AD1B1的距离为d=|∵0≤z≤1，∴z＝1时，点P到平面AD1B1的距离的最小值为：dmin=|故答案为：217四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。15．（13分）已知A（1，﹣2，1），向量a→=（﹣3，4，12），若向量AB→与a→的方向相同，且|（1）求点B的坐标；（2）若点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，当MA→•MB→取最小值时，求点【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）设B（x，y，z），根据|AB→|＝2|a→|列方程解出x，y，（2）由O，A，M三点共线可设OM→=λOA→，求出MA→，MB→的坐标，得出MA→•MB→关于λ【解答】解：（1）设B（x，y，z），则AB→=（x﹣1，y+2，∵向量AB→与a→的方向相同，且|AB→∴AB→=2a→．∴x−1=−6∴B（﹣5，6，25）．（2）∵点M在直线OA（O为坐标原点）上运动，∴OM→=λOA→=（λ，﹣2∴MA→=OA→−OM→=（1﹣λ，﹣2+2λ，1﹣λ），∴MA→⋅MB→=（1﹣λ）（﹣5﹣λ）+（﹣2+2λ）（6+2λ）+（1﹣λ）（25﹣λ）＝6λ2﹣14λ+8＝6（λ∴当λ=76时，∴M（76，−7316．（15分）在（x+12⋅（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项；（Ⅲ）求展开式中含x﹣2的项的系数．【考点】二项式系数的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n的值；（Ⅱ）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（Ⅲ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣2，求出r的值，即可求得含x﹣2的项的系数．【解答】解：（Ⅰ）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为Cn0，Cn1•12∴2•Cn1•12=Cn0+Cn2•（Ⅱ）因为n＝8，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即T5=C84•(x（Ⅲ）∵二项展开式的通项公式：Tr+1=C8r•(令4−34r＝﹣2，求得r＝8，可得含x﹣2的项的系数为C817．（15分）0～9共10个数字．（1）可组成多少个无重复数字的四位数；（2）可组成多少个无重复数字的五位偶数；（3）可组成多少个无重复数字的大于或等于30000的五位数；（4）在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几．【考点】数字问题．【答案】（1）4536种；（2）13776种；（3）21168种；（4）15119个．【分析】（1）先选1个数字排在首位，其它任意排求解；（2）分0在末位和0不在末位两种情况，结合排列组合知识求解；（3）首位从3，4，5，6，7，8，9任选一个，其它的任意排求解；（4）求出比50124大的数字个数即可．【解答】解：（1）先选1个数字排在首位，其它任意排，故有A9（2）当0在末位时，有A9当0不在末位时，从2，4，6，8，选一个放在末位，故有A4故五位偶数共有3024+10752＝13776种；（3）大于或等于30000的五位数，首位从3，4，5，6，7，8，9任选一个，其它的任意排，故有A7（4）比50000大的数，故有A5比50000大比50124小的有，前四位为5，0，1，2，最后一位为3，只有50123，故在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第15120﹣1＝15119个．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝4，若异面直线PA与CD所成角等于60°．（1）求棱PB的长；（2）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法．【答案】（1）2．（2）点E为棱PA上靠近A的三等分点，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5．【分析】（1）以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设BP＝b（b＞0），由异面直线PA，CD所成角为60°，得cos60°=|PA→（2）假设棱PA上存在点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为5，设PE→=λPA→，（0≤λ≤1），且E（x′，y′，z′），则（x′，y′，z′﹣2）＝λ（2，0，﹣2），可得E点坐标，求出平面DEB的一个法向量m→，又平面PAB的法向量p→=（0，1，0），则|cos【解答】解：（1）如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系：设BP＝b（b＞0），则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，4，0），D（2，2，0），P（0，0，b），则PA→