2023-2024学年江西省赣州市十八县(市)二十四中高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年江西省赣州市十八县（市）二十四中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4≥0}，B＝{x|x＜1}，A∪（∁RB）＝（）A．{x|x≤﹣2，或x≥2} B．{x|x≤﹣2，或x≥1} C．{x|1≤x≤2} D．{x|﹣2≤x≤1}2．（5分）角α的终边与65°的终边关于y轴对称，则α＝（）A．k•180°﹣65°（k∈Z） B．k•360°﹣65°（k∈Z） C．k•180°+115°（k∈Z） D．k•360°+115°（k∈Z）3．（5分）随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（）A．110 B．115 C．120 D．1254．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(−1，3)，向量cA．2 B．3 C．22 D．5．（5分）春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格y（元/盒）与时间t（天）的关系：y=26，t=1，2，3，A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒6．（5分）函数f(x)=2tan(ωx+φ)(0＜ω≤2，0＜φ＜π2)的图像经过点A(0，233)A．(kπ−πB．(kπ−πC．(kπD．(7．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（4﹣x）＝f（4+x）．若f（﹣3）＝﹣3，则f（5）+f（16）＝（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣38．（5分）已知3a＝11，4b＝18，5c＝27，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知向量a→+b→=(−1，3)，A．a→B．a→C．a→−b→D．cosθ=（多选）10．（6分）已知0＜b＜1，a﹣b＞1，则下列不等式成立的是（）A．a＜2b B．a2＞ab C．a2＜2b+1 D．a2+b2＞2ab+1（多选）11．（6分）设f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0，ω∈Z)，已知f（xA．ω＝3 B．f（x）在（0，2π）上有4个最大值点 C．(−7π18，0)是f（D．f（x）在[−π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）计算sin(3π−π413．（5分）一组数据：12，8，6，15，12，10，8，17，20，12的80%分位数是．14．（5分）如图所示，平面四边形ABCD由等腰△ABD与等边△BCD拼接而成，其中∠ABD＝30°，AB＝AD，BC＝6，则CA→⋅AD→=；若BP→=λ四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入1万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如表：第x天1234567销售额y（万元）22.42.633.33.74（1）求销售额y的平均数y和方差s2；（s2保留两位有效数字）（2）若销售额y满足|y−y16．（15分）已知点P(−1，3)在角α的终边上，点Q(−3，−1)在角（1）求f（x）的解析式；（2）求不等式f(x)≥317．（15分）已知e→1，e→2是夹角为120°的两个单位向量，（1）求θ；（2）若(a→+2b→18．（17分）将函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0＜φ＜π2)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移2π（1）求f(−π（2）当x∈[π，3π]时，求f（x）的单调区间和最值．19．（17分）若Ωn＝{a→|a→=（a1，a2，…，ai，…，an），ai∈R，i＝1，2，…，n}，则称Ωn为n维空间向量集，0→={0，0，…，0}为零向量．对于k∈R，任意a→=（a1，a2，…，an），b→=（①数乘运算：ka②加法运算：a→③数量积运算：a→④向量的模：|a→|=对于Ωn中一组向量a→i(i=1，2，⋯，m)，若存在一组不同时为零的实数ki（i＝1，2，⋯，m（1）对于n＝3，判断下列各组向量是否线性相关：①a→②a→（2）已知α→1，（3）证明：对于Ωn中的任意两个元素α→，β→，均有|α→

2023-2024学年江西省赣州市十八县（市）二十四中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4≥0}，B＝{x|x＜1}，A∪（∁RB）＝（）A．{x|x≤﹣2，或x≥2} B．{x|x≤﹣2，或x≥1} C．{x|1≤x≤2} D．{x|﹣2≤x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】B【分析】根据题意，解不等式x2﹣4≥0确定出集合A的元素，然后求出集合B的补集，利用并集的法则算出A∪（∁RB），可得答案．【解答】解：根据题意，可得A＝{x|x2﹣4≥0}＝{x|x≤﹣2，或x≥2}，由B＝{x|x＜1}，得∁RB＝{x|x≥1}，可知A∪（∁RB）＝{x|x≤﹣2，或x≥1}．故选：B．2．（5分）角α的终边与65°的终边关于y轴对称，则α＝（）A．k•180°﹣65°（k∈Z） B．k•360°﹣65°（k∈Z） C．k•180°+115°（k∈Z） D．k•360°+115°（k∈Z）【考点】终边相同的角．【答案】D【分析】根据轴线角的定义，即可求解．【解答】解：角α的终边与65°的终边关于y轴对称，则α＝k•360°+115°（k∈Z）．故选：D．3．（5分）随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（）A．110 B．115 C．120 D．125【考点】分层随机抽样．【答案】C【分析】利用分层抽样的方法，即可求解得到答案．【解答】解：设在老年人中发放的调查问卷份数为x，则由分层抽样方法可得x2400解得x＝120．故选：C．4．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(−1，3)，向量cA．2 B．3 C．22 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】A【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解．【解答】解：已知向量a→设c→又向量c→满足a则x+2y=3−x+3y=2解得x＝1，y＝1，所以c→则|c故选：A．5．（5分）春天，时令水果草莓上市了，某水果店统计了草莓上市以来前两周的销售价格y（元/盒）与时间t（天）的关系：y=26，t=1，2，3，A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】B【分析】设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，由题意可得n=70−13m11，再结合m，【解答】解：设前3天共买了m盒，第4天到第8天共买了n盒，则26m+22n+4×18＝212，整理得n=70−13m因为m，n均为非负整数，所以70﹣13m是11的整数倍，当m＝2时，n＝4，此时m+n＝6，即前8天一共买了6盒．故选：B．6．（5分）函数f(x)=2tan(ωx+φ)(0＜ω≤2，0＜φ＜π2)的图像经过点A(0，233)A．(kπ−πB．(kπ−πC．(kπD．(【考点】正弦函数的单调性．【答案】D【分析】先根据两个点的坐标确定解析式，再求单调增区间即可．【解答】解：图像经过点A(0，233则有2tanφ=233即tanφ=33且tan(ωπ4+φ)=−tan(ωπ4+π6)=−3，∴ωπ4+∵0＜ω≤2，∴k＝1时，得ω＝2，∴f(x)=2tan(2x+π∵kπ−π2＜2x+∴f（x）的单调递增区间是(kπ故选：D．7．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（4﹣x）＝f（4+x）．若f（﹣3）＝﹣3，则f（5）+f（16）＝（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【考点】抽象函数的周期性；函数的奇偶性．【答案】C【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，结合f（4﹣x）＝f（4+x）以及函数的奇偶性，利用特殊值法求出f（5）、f（16）的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，由f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，又由f（4﹣x）＝f（4+x），令x＝﹣1，则有f（5）＝f（4+1）＝f（4﹣1）＝f（3）＝﹣f（﹣3）＝3，再令x＝12，则有f（16）＝f（4+12）＝f（4﹣12）＝f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣f（4+4）＝﹣f（4﹣4）＝﹣f（0）＝0，则f（5）+f（16）＝3+0＝3．故选：C．8．（5分）已知3a＝11，4b＝18，5c＝27，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较；指数函数的图象．【答案】D【分析】先求出a，b，c，再结合作差法，即可求解．【解答】解：a＝log311，b＝log418，c＝log527，b−c=log因为log527所以b﹣c＞0，a−b=log因为log所以log所以a﹣b＞0，所以a＞b＞c．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）已知向量a→+b→=(−1，3)，A．a→B．a→C．a→−b→D．cosθ=【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积运算，即可求解．【解答】解：a→+b则a→=(−2，2)，b→因为a→所以a→⊥ba→−b→在a→cosθ=3+310×故选：ABD．（多选）10．（6分）已知0＜b＜1，a﹣b＞1，则下列不等式成立的是（）A．a＜2b B．a2＞ab C．a2＜2b+1 D．a2+b2＞2ab+1【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】BD【分析】根据题意，由作差法分析AB，由不等式的性质分析CD，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，a﹣2b＝a﹣b﹣b＞1﹣b＞0，所以a＞2b，A错误；对于B，由于0＜b＜1，a﹣b＞1，则a2﹣ab＝a（a﹣b）＞a＞b+1＞1，必有a2＞ab，B正确；对于C，由a﹣b＞1得a＞b+1，两边同时平方，变形可得a2＞b2+2b+1＞2b+1，C错误；对于D，由a﹣b＞1，两边平方，得a2+b2﹣2ab＞1，即a2+b2＞2ab+1，D正确．故选：BD．（多选）11．（6分）设f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0，ω∈Z)，已知f（xA．ω＝3 B．f（x）在（0，2π）上有4个最大值点 C．(−7π18，0)是f（D．f（x）在[−π【考点】正弦函数的单调性．【答案】ACD【分析】根据正弦函数的性质逐项判断即可．【解答】解：∵x∈[0，2π]，ω＞0，∴ωx+π6∈[∴6π≤2πω+π6＜7π，∴3512≤ω＜4112，∵∴f(x)=sin(3x+π6)，由3x+π6=2kπ+π2（k∈Z当k＝0，1，2时，x∈（0，2π），∴f（x）在（0，2π）上有3个最大值点，B选项错误；由3x+π6=kπ，即x=kπ3−π18，∴(−7π18，0)是f（x由2kπ−π2≤3x+∴f（x）的单调递增区间是[2kπ当k＝0时，得到一个单调递增区间[−2π9，∴f（x）在[−π5，故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）计算sin(3π−π4)−cos(5π【考点】运用诱导公式化简求值．【答案】2+1【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：原式=sin(π−π故答案为：2+113．（5分）一组数据：12，8，6，15，12，10，8，17，20，12的80%分位数是16．【考点】百分位数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】16．【分析】根据百分位数的定义求解．【解答】解：将这组数据从小到大排列：6，8，8，10，12，12，12，15，17，20，共10个数据，因为10×80%＝8，所以这组数据的80%分位数是15+172故答案为：16．14．（5分）如图所示，平面四边形ABCD由等腰△ABD与等边△BCD拼接而成，其中∠ABD＝30°，AB＝AD，BC＝6，则CA→⋅AD→=﹣12；若BP→=λBC→【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】﹣12；14【分析】根据题意建立如图所示直角坐标系，得到各点的坐标，从而算出CA→、AD→的坐标，可得CA→•AD→的值；根据BP→=λBC→算出P（3λ﹣3，33λ【解答】解：根据题意，以分别BD、AC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．等边△BCD中，BO＝DO＝3，CO=62−32=33，Rt△AOB所以C(0，33)，D(3，0)，A(0，−3)，CA→=(0，−43)，结合B（﹣3，0），可得BC→=(3，33)，设P（则BP→=λBC→=（3λ，33λ）＝（x+3，y），可得x＝3λ﹣3，y=33λ，即故PA→=(3−3λ，−3可得PA→⋅PD→=（3﹣3λ）（6﹣3λ）+33λ（3+33λ故答案为：﹣12；14四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入1万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如表：第x天1234567销售额y（万元）22.42.633.33.74（1）求销售额y的平均数y和方差s2；（s2保留两位有效数字）（2）若销售额y满足|y−y【考点】用样本估计总体的离散程度参数．【答案】（1）3；0.44；（2）35【分析】（1）根据已知条件，结合平均数、方差公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．【解答】解：（1）y=s2所以销售额y的平均数可为3，方差s2为0.44．（2）在后5天的销售额中，满足|y−y从2.6，3，3.3，3.7，4中任取2个，共有10个不同结果：（3，3.7），（3，4），（3.3，3.7），（3.3，4），（3.7，4），（2.6，3），（2.6，3.3），（2.6，3.7），（2.6，4），（3，3.3），其中，仅含有2.6，3，3.3中一个的有6个不同结果．所以，所求概率为P=616．（15分）已知点P(−1，3)在角α的终边上，点Q(−3，−1)在角（1）求f（x）的解析式；（2）求不等式f(x)≥3【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义．【答案】（1）f（x）=3cos（2x−（2）[kπ−π【分析】（1）由已知结合三角函数的定义可求α，β，代入到已知函数解析式，进行化简即可求解；（2）原不等式可化为cos(2x−π【解答】解：（1）设O为坐标原点，则|OP|＝|OQ|＝2，所以sinα=3因为α是第二象限角，β是第三象限角，所以α=2kα+β=2k1π+2k2π+2π−π6=2（k所以f(x)=3（2）f(x)≥32化为即cos(2x−π所以2kπ−π整理得k=−π所以不等式f(x)≥32的解集为17．（15分）已知e→1，e→2是夹角为120°的两个单位向量，（1）求θ；（2）若(a→+2b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（1）θ=π（2）5．【分析】（1）结合平面向量的数量积运算，以及向量的夹角公式，即可求解；（2）结合向量平行、垂直的性质，即可求解．【解答】解：（1）a→b→a→所以cosθ=a→⋅b→|a（2）因为(a所以，存在非零实数k满足a→+2b因为a→，b→不共线，所以λ解得k=1则(2a→−即−8a由（1）知a→所以−8×3+32(2μ+4)−μ=0所以λ+μ＝﹣4+9＝5．18．（17分）将函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0＜φ＜π2)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移2π（1）求f(−π（2）当x∈[π，3π]时，求f（x）的单调区间和最值．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．【答案】（1）1；（2）大值为1，最小值为﹣2．【分析】（1）根据变换先确定解析式，再求值；（2）利用正弦函数的单调性即可得．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到y＝2sin（ω3x+φ）的图象，再向左平移2π得到g(x)=2sin[ω∵g(x)=2sin(16x+2π3又0＜φ＜π2，∴ω=1∴f(−π（2）∵2kπ−π2≤∴f（x）的