2023-2024学年江西省上饶市高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年江西省上饶市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|﹣8＜x3＜8}，B＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）已知数列{an}是等差数列，若a3+a7＝14，则a1+a5+a9＝（）A．14 B．21 C．28 D．423．（5分）“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）设f（x）为R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（0）+f（4）＝（）A．12 B．﹣12 C．13 D．﹣135．（5分）函数的导数f'（x）＝（）A． B． C． D．6．（5分）已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，] C．[，+∞） D．[）7．（5分）已知a＝0.4，b＝e0.4﹣1，c＝ln1.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a8．（5分）意大利数学家斐波那契（1175年～1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设n是不等式的正整数解，则n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．（多选）9．（6分）已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数f（x）在（2，+∞）上单调递增 B．函数f（x）在（1，3）上单调递减 C．函数f（x）在x＝1处取得极大值 D．函数f（x）有最大值（多选）10．（6分）下列说法正确的是（）A．设已知随机变量X，Y满足Y＝3X﹣1，E（Y）＝5，则E（X）＝2 B．若，则D（X）＝2 C．若X～N（2，σ2），设P（X≥1）＝0.6，则P（X≥3）＝0.4 D．若事件A，B相互独立且0＜P（B）＜1，则（多选）11．（6分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）的单调递增区间是（0，1），（1，+∞） B．f（x）的值域为R C．f（log20232024）+f（log20242023）＝1 D．若，a∈（0，1），b∈（0，+∞），则aeb＝1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据：x13457y1520304045根据上表数据得到y关于x的经验回归方程，则a的值为．13．（5分）若是奇函数，则b＝．14．（5分）数列{an}中，a1＝1，a2＝2．设x＝0是函数（n≥2且n∈N*）的极值点．若[x]表示不超过x的最大整数，则＝．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y+3＝0．（1）求a，b；（2）求f（x）的单调区间和极值．16．（15分）求下列函数的最值．（1）求函数的最小值．（2）已知，求函数y＝x（1﹣3x）的最大值．17．（15分）已知数列{an}的前n项和为，且．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（17分）手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：使用年数234567售价y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10如图是z关于x的折线图：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？（b，a小数点后保留两位有效数字）．（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考数据：＝187.4，＝47.64，＝139，≈4.18，≈13.96，≈1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈﹣0.34．参考公式：回归直线方程y＝bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝＝，a＝﹣b．r＝，，为样本平均值．19．（17分）函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，曲线y＝f（x）上两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））连线斜率记为k，求证：；（3）盒子中有编号为1～100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．

2023-2024学年江西省上饶市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|﹣8＜x3＜8}，B＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【考点】求集合的交集．【答案】C【分析】先解不等式组，化简集合A，再利用交集的运算即可求得A∩B．【解答】解：由﹣8＜x3＜8得，解得，故A＝{x|﹣2＜x＜2}，又因为B＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．（5分）已知数列{an}是等差数列，若a3+a7＝14，则a1+a5+a9＝（）A．14 B．21 C．28 D．42【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式．【答案】B【分析】由等差中项的性质即可求解．【解答】解：因为数列{an}是等差数列，所以a3+a7＝2a5＝14，解得a5＝7，所以a1+a5+a9＝3a5＝21．故选：B．3．（5分）“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】由不等式的基本性持得a＞b且c＞d时必有a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b【解答】解：∵a＞b且c＞d∴a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，故选：A．4．（5分）设f（x）为R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（0）+f（4）＝（）A．12 B．﹣12 C．13 D．﹣13【考点】函数的奇偶性；函数的值．【答案】C【分析】根据题意，先求出f（﹣4）的值，由函数的解析式求出f（0）、f（4）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（﹣4）＝3×（﹣4）﹣1＝﹣13，又由f（x）为R上的奇函数，则f（0）＝0，f（4）＝13，则f（0）+f（4）＝13．故选：C．5．（5分）函数的导数f'（x）＝（）A． B． C． D．【考点】基本初等函数的导数．【答案】A【分析】根据题意，由导数的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其导数f′（x）＝（lnx）′+（cos）′＝．故选：A．6．（5分）已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，） B．（0，] C．[，+∞） D．[）【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【答案】D【分析】由已知结合一次函数及对数函数的单调性及分段函数的性质即可求解．【解答】解：因为在R上为减函数，所以，解得．故选：D．7．（5分）已知a＝0.4，b＝e0.4﹣1，c＝ln1.4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【答案】C【分析】构造f（x）＝ex﹣1﹣x，g（x）＝x﹣ln（1+x），求导，结合函数单调性分析，即可判断．【解答】解：令f（x）＝ex﹣1﹣x，则f'（x）＝ex﹣1，令f'（x）＞0，有x＞0，令f'（x）＜0，有x＜0，故函数f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，故f（0.4）＞f（0）＝0，即e0.4﹣1＞0.4，b＞a，令g（x）＝x﹣ln（1+x），则，令g'（x）＞0，有x＞0，令g'（x）＜0，有﹣1＜x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣1，0）单调递减，故g（0.4）＞g（0）＝0，即0.4＞ln1.4，a＞c，综上：b＞a＞c．故选：C．8．（5分）意大利数学家斐波那契（1175年～1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设n是不等式的正整数解，则n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】由实际问题归纳出数列的通项．【答案】C【分析】将不等式化为，即，再根据斐波那契数列为递增数列，进而可得答案．【解答】解：由得，即，即，∴，∴，令，则数列{an}即为斐波那契数列，∴，则，∵函数是增函数，故数列{an}为递增数列且，∴数列为递增数列，由a1＝a2＝1，得a3＝a1+a2＝2，a4＝a2+a3＝3，a5＝a3+a4＝5，a6＝a4+a5＝8，a7＝a5+a6＝13，a8＝a6+a7＝21，∵，，∴使得成立的n的最小值为8．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．（多选）9．（6分）已知函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数f（x）在（2，+∞）上单调递增 B．函数f（x）在（1，3）上单调递减 C．函数f（x）在x＝1处取得极大值 D．函数f（x）有最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】BC【分析】利用导函数的图象，根据导函数的符号判断函数的单调性，从而判断A，B，根据极值和极值点的概念分别判断C，D．【解答】解：对于A：当2＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以函数f（x）在（2，+∞）上先减后增，故A错误；对于B：当1＜x＜3时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（1，3）上单调递减，故B正确；对于C：因为f（x）在x＝1左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，所以函数f（x）在x＝1处取得极大值，故C正确；对于D：因为f（x）在x＝﹣1左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数f（x）在x＝﹣1处取得极小值，因为f（x）在x＝3左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数f（x）在x＝3处取得极小值，则函数f（x）共有两个极小值点，无法确定端点处的函数值，即无法确定是否有最值，故D错误．故选：BC．（多选）10．（6分）下列说法正确的是（）A．设已知随机变量X，Y满足Y＝3X﹣1，E（Y）＝5，则E（X）＝2 B．若，则D（X）＝2 C．若X～N（2，σ2），设P（X≥1）＝0.6，则P（X≥3）＝0.4 D．若事件A，B相互独立且0＜P（B）＜1，则【考点】二项分布的均值（数学期望）与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；求解条件概率．【答案】ACD【分析】根据期望的性质，可判定A正确；结合二项分布方差的公式，可判定B错误；根据正态分布曲线的对称性，可得判定C正确；根据条件概率的计算公式，可判定D正确．【解答】解：对于A中，由E（Y）＝3E（X）﹣1，所以，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B错误；对于C中，由X～N（2，σ2），所以P（X≥3）＝P（X≤1）＝1﹣P（X≥1）＝0.4，所以C正确；对于D中，因为A，B相互独立，所以，且，所以D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）的单调递增区间是（0，1），（1，+∞） B．f（x）的值域为R C．f（log20232024）+f（log20242023）＝1 D．若，a∈（0，1），b∈（0，+∞），则aeb＝1【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；对数的运算性质．【答案】ABD【分析】A选项，求出定义域，求导得到函数单调性，得到答案；B选项，在A选项基础上得到函数的值域；C选项，计算出，结合即可判断；D选项，利用同构变换得到，结合a∈（0，1），b∈（0，+∞）得到，即可判断．【解答】解：A选项，的定义域为（0，1）∪（1，+∞），在定义域上恒成立，所以f（x）的单调递增区间是（0，1），（1，+∞），故A正确；B选项，当x趋向于0时，f（x）趋向于﹣∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于+∞，所以f（x）的值域为R，故B正确；C选项，x＞0，，又，所以f（log20232024）+f（log20242023）＝0，故C错误；D选项，＝，又，所以，所以，因为b∈（0，+∞），所以，又a∈（0，1），所以，即aeb＝1，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）某种产品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如表对应数据：x13457y1520304045根据上表数据得到y关于x的经验回归方程，则a的值为12．【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】12．【分析】先求样本中心点（4，30），再由过（4，30），计算可得a．【解答】解：，，可得样本中心点（4，30），所以过（4，30），可得30＝4.5×4+a，所以a＝12．故答案为：12．13．（5分）若是奇函数，则b＝ln2．【考点】函数的奇偶性．【答案】ln2．【分析】显然a≠0，根据函数解析式有意义可得，x≠1且x，所以1+＝﹣1，进而求出a的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质f（0）＝0即可求出b的值．【解答】解：f（x）＝ln|a+|+b，若a＝0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，∴a≠0，由函数解析式有意义可得，x≠1且a+，∴x≠1且x，∵函数f（x）为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，∴1+＝﹣1，解得a＝﹣，∴f（x）＝ln||+b，定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}，由f（0）＝0得，ln+b＝0，∴b＝ln2，故答案为：ln2．14．（5分）数列{an}中，a1＝1，a2＝2．设x＝0是函数（n≥2且n∈N*）的极值点．若[x]表示不超过x的最大整数，则＝1011．【考点】数列与函数的综合；利用导数研究函数的极值．【答案】1011．【分析】根据题意可求出，由裂项相消法求得代数式和等于，根据[x]的定义即可求出答案．【解答】解：因为函数，所以，又x＝0是f（x）的极值点，所以f′（0）＝2an﹣1+an﹣an+1＝0，即an+1﹣2an＝﹣（an﹣2an﹣1），又a2﹣2a1＝2﹣2＝0，所以an﹣2an﹣1＝0，即an＝2an﹣1（n≥2）；数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；所以，所以＝＝．故答案为：1011．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y+3＝0．（1）求a，b；（2）求f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）（2）单调递增区间为，（2，+∞），单调递减区间为；极大值为，极小值为．【分析】（1）计算出f（1）＝﹣5，求导，根据切线斜率得到方程，求出a，b的值；（2）在（1）的基础上，解不等式，得到函数单调区间和极值．【解答】解：（1）定义域为（0，+∞），，将点（1，f（1））代入2x+y+3＝0中，2×1+f（1）+3＝0，∴f（1）＝﹣5．（2），，x2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增f（x）的单调递增区间为，（2，+∞），单调递减区间为；f（x）的极大值为，极小值为．16．（15分）求下列函数的最值．（1）求函数的最小值．（2）已知，求函数y＝x（1﹣3x）的最大值．【考点】基本不等式及其应用．【答案】（1）3；（2）．【分析】（1）利用配凑法即可求函数的最小值；（2）原函数配凑系数即可函数的最大值．【解答】解：（1）x＞1，y＝≥+1＝3，当且仅当x﹣1＝，即x＝2时，等号成立，则函数的最小值为3；（2）∵，∴1﹣3x＞0，∴，当且仅当3x＝1﹣3x，即时，等号成立，故当时，y取得最大值．17．（15分）已知数列{an}的前n项和为，且．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）利用数列的递推关系式求出数列是等比数列，然后求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）化简，利用错位相减法求解数列的和，即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，，得a1＝1，当n≥2时，，得an＝3an﹣1，∴数列{an}是公比为3的等比数列，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，又①∴②两式相减得：，故，∴．18．（17分）手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：使用年数234567售价y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10如图是z关于x的折线图：（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？（b，a小数点后保留两位有效数字）．（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考数据：＝187.4，＝47.64，＝139，≈4.18，≈13.96，≈1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈﹣0.34．参考公式：回归直线方程y＝bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝＝，a＝﹣b．r＝，，为样本平均值．【考点】经验回归方程与经验回归直线．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知结合相关系数公式求得z与x的相关系数得结论；（2）求出b与a的值，则线性回归方程可求，再由z＝lny，可得y关于x的回归方程，令x＝9，解得y值即可；（3）由y≥0.7118，得e﹣0.36x+3.62≥0.7118，求解指数不等式得答案．【解答】解：（1）由题意，＝×（2+3+4+5+6+7）＝4.5，＝×（3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10）＝2，且，≈4.18，≈5.13，∴r＝＝＝﹣≈﹣0.99．∴z与x的相关系数大约为﹣0.99，说明z与x的线性相关程度很高；（2）∵b＝＝＝﹣≈﹣0.36，＝2+0.36×4.5＝3.62，∴z关于x的线性回归方程是z＝﹣0.36x+3.62，又z＝lny，∴y关于x的回归方程是y＝e﹣0.36x+3.62．令x＝9，解得y＝e﹣0.36×9+3.62≈1.46，即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元；（3）当y≥0.7118时，e﹣0.36x+3.62≥0.7118＝eln0.7118＝e﹣0.34，∴﹣0.36x+3.62≥﹣0.34，解得x≤11，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过