2023-2024学年江西省上饶市蓝天教育集团高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年江西省上饶市蓝天教育集团高一（下）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．（5分）下列命题中正确的是（）A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若向量a→，b→同向，且D．单位向量的模都相等2．（5分）已知点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则AB→A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣23．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC=23，则角BA．90° B．60° C．45° D．30°4．（5分）若角α的终边过点（3，1），则sin(α+πA．31010 B．−31010 5．（5分）若角α的终边在直线y＝x上，则角α的取值集合为（）A．{α|α＝k•360°+45°，k∈Z} B．{α|α＝k•360°+135°，k∈Z} C．{α|α＝k•180°﹣135°，k∈Z} D．{α|α＝k•180°﹣45°，k∈Z}6．（5分）函数f(x)=cos(2x−πA．[−π2，0] B．[0，π2]7．（5分）若|a→|=4，|b→|=1，向量a→A．−3b→ B．2b→ C．8．（5分）在△ABC中，AB=22，AC=6，BC边上的中线AD=5，则△ABCA．134 B．34 C．392二、多选题（每小题6分，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分）（多选）9．（6分）若tanα=43，则sinA．−45 B．−35 C．（多选）10．（6分）设函数f(x)=2sin(2x+πA．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于直线x=π6C．f（x）的一个零点为x=−πD．f（x）的最大值为1（多选）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是（）A．A=π6，c=2，a=1C．A=π6，c=2，a=三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）把函数y=sin(2x+π3)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）的图象；再将f（x）图象上所有点向右平移π3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（13．（5分）已知sin(π4−α)=114．（5分）在△ABC中，O，D分别为边AB，BC的中点，若OC→=xAB→+yAD→四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．（13分）一个扇形所在圆的半径为6，该扇形的周长为16．（1）求该扇形圆心角的弧度数；（2）求该扇形的面积．16．（15分）平面内给定三个向量a→=(1，2)，b→（1）若以{a→，b→（2）若(a→+k（3）若(a→+k17．（15分）已知|a→|=2，b（1）求向量a→与b→的夹角（2）求|a18．（17分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[−π6，π619．（17分）如图，数轴x，y的交点为O，夹角为θ，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是e1→，e2→．由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量OP→，存在唯一的有序实数对（x，y），使得OP→=xe1（1）若θ=90°，OP→为单位向量，且OP→与e（2）若θ＝45°，点P的坐标为(1，2)，求向量OP→

2023-2024学年江西省上饶市蓝天教育集团高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共40分）1．（5分）下列命题中正确的是（）A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若向量a→，b→同向，且D．单位向量的模都相等【考点】平面向量的概念与平面向量的模；命题的真假判断与应用．【答案】D【分析】利用向量、零向量、单位向量及共线向量的定义，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果．【解答】解：对于选项A，由零向量的定义知，零向量方向任意，所以选项A错误，对于选项B，当共线向量方向相反时，它们肯定不是相等向量，所以选项B错误，对于选项C，向量不能比较大小，所以选项C错误，对于选项D，单位向量的模长均为1个单位长，所以选项D正确．故选：D．2．（5分）已知点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），则AB→A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可．【解答】解：因为A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），所以AB→所以AB→故选：D．3．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC=23，则角BA．90° B．60° C．45° D．30°【考点】正弦定理．【答案】A【分析】根据正弦定理即可求解．【解答】解：因为在△ABC中，A＝60°，AC＝b＝4，BC=a=23所以由正弦定理得：asinA由于B∈（0，π），所以B=π故选：A．4．（5分）若角α的终边过点（3，1），则sin(α+πA．31010 B．−31010 【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】A【分析】根据任意角三角函数定义计算即可．【解答】解：角α的终边过点（3，1），则cosα=3sin(α+π2)=cos故选：A．5．（5分）若角α的终边在直线y＝x上，则角α的取值集合为（）A．{α|α＝k•360°+45°，k∈Z} B．{α|α＝k•360°+135°，k∈Z} C．{α|α＝k•180°﹣135°，k∈Z} D．{α|α＝k•180°﹣45°，k∈Z}【考点】终边相同的角；象限角、轴线角．【答案】C【分析】根据角α的终边在直线y＝x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角α的集合．【解答】解：由题意知角α的终边在直线y＝x上，故α＝k•360°+45°，k∈Z或α＝k•360°+225°，k∈Z，即α＝（2k+1）•180°﹣135°，k∈Z或α＝（2k+2）•180°﹣135°，k∈Z，故角α的取值集合为{α|α＝k•180°﹣135°，k∈Z}．故选：C．6．（5分）函数f(x)=cos(2x−πA．[−π2，0] B．[0，π2]【考点】余弦函数的单调性；余弦函数的图象．【答案】C【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案．【解答】解：函数的单调递增区间满足：2kπ−π≤2x−π4≤2kπ，k∈Z，得kπ−3π8令k＝0可得，f（x）的一个增区间为[−3π结合选项可得C符合题意．故选：C．7．（5分）若|a→|=4，|b→|=1，向量a→A．−3b→ B．2b→ C．【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】根据投影向量定义计算即可．【解答】解：a→在b→上的投影向量为故选：C．8．（5分）在△ABC中，AB=22，AC=6，BC边上的中线AD=5，则△ABCA．134 B．34 C．392【考点】正弦定理；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】C【分析】由平面向量的加法法则，可得AB→+AC→=2AD【解答】解：由题意知，点D为BC的中点，所以AB→+AC所以AB→2+2AB→•AC→+AC因为AB=22，AC=6，所以8+2•22•6cos∠BAC+6＝4×5，解得cos∠BAC=3因为∠BAC∈（0，π），所以sin∠BAC=1−co所以S=12AB•ACsin∠BAC=1故选：C．二、多选题（每小题6分，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分）（多选）9．（6分）若tanα=43，则sinA．−45 B．−35 C．【考点】同角正弦、余弦的平方和为1．【答案】AC【分析】根据α所在的象限，结合同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：若tanα=43，则当α第一象限时，sinαcosα=43si当α第三象限时，sinαcosα=43si故选：AC．（多选）10．（6分）设函数f(x)=2sin(2x+πA．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于直线x=π6C．f（x）的一个零点为x=−πD．f（x）的最大值为1【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的最值；三角函数的周期性．【答案】BD【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：对于函数f(x)=2sin(2x+π3)，它的最小正周期为2π2由于f（π6）＝2sin2π3=3，不是最值，故它的图象不关于直线由于f（−π6）＝2sin0＝0，故它的一个零点为x=−π当2x+π3=2kπ+π2，k∈Z时，函数f故选：BD．（多选）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使△ABC恰有一个解的是（）A．A=π6，c=2，a=1C．A=π6，c=2，a=【考点】解三角形；正弦定理．【答案】BD【分析】由已知条件，利用正弦定理解三角形，根据结果判断解的个数．【解答】解：由正弦定理，asinA=c若A=π6，c=2，a=12，sinC=若A=π6，c=2，a=1，sinC=csinAa=1，得若A=π6，c=2，a=32，sinC=csinAa=23，若A=π6，c=2，a=2，c＝a，C=π6故选：BD．三、填空题（每小题5分，共15分）12．（5分）把函数y=sin(2x+π3)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）的图象；再将f（x）图象上所有点向右平移π3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】见试题解答内容【分析】根据伸缩变换和平移变换得到答案．【解答】解：y=sin(2x+π3)将f（x）图象上所有点向右平移π3可得g(x)=f(x−π故答案为：sinx．13．（5分）已知sin(π4−α)=13，则【考点】两角和与差的三角函数；运用诱导公式化简求值．【答案】见试题解答内容【分析】利用两角互补，正弦值相等即可求值．【解答】解：sin(3π故答案为：1314．（5分）在△ABC中，O，D分别为边AB，BC的中点，若OC→=xAB→+yAD→，则x【考点】平面向量的基本定理．【答案】1【分析】根据向量的线性运算法则，及平面向量的基本定理，可得答案．【解答】解：∵OC→又∵OC→∴x=−32，故x+y=1故答案为：12四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15．（13分）一个扇形所在圆的半径为6，该扇形的周长为16．（1）求该扇形圆心角的弧度数；（2）求该扇形的面积．【考点】扇形面积公式．【答案】见试题解答内容【分析】（1）求出扇形所对的弧长，再计算该扇形圆心角的弧度数；（2）利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）因为扇形所在圆的半径为6，扇形的周长为16，所以扇形所对的弧长为16﹣2×6＝4，所以该扇形圆心角的弧度数为α=4（2）该扇形的面积为S=116．（15分）平面内给定三个向量a→=(1，2)，b→（1）若以{a→，b→（2）若(a→+k（3）若(a→+k【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】（1）c→（2）﹣1；（3）−7【分析】（1）结合向量相等的条件，即可求解．（2）利用向量坐标运算法则求出a→+kc→，b→（3）利用向量坐标运算法则求出a→+kc→，a→【解答】解：（1）设c→则（3，3）＝x（1，2）+y（﹣1，1），即x−y=32x+y=3，解得x=2故c→（2）∵向量a→=(1，2)，b→∴a→+kc→=（1+3k∵(a∴−21+3k解得实数k＝﹣1．（3）∵a→+kc→=（1+3k(a∴（a→+kc→）•（a→解得实数k=−717．（15分）已知|a→|=2，b（1）求向量a→与b→的夹角（2）求|a【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】（1）π3（2）7．【分析】（1）根据平面向量的数量积求夹角的余弦值，即可求出夹角的大小．（2）根据模长公式计算即可．【解答】解：（1）因为|a→|=2，b→=(−设a→、b→的夹角为θ，由(2a→+即8−a→•解得a→•b所以cosθ=a又因为θ∈[0，π]，所以θ=π（2）因为|a→−3b→|2所以|a18．（17分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜π（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[−π6，π6【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】（1）f(x)=2sin(2x+π（2）[1，4]．【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出A，B，由周期求出ω，由特殊点求出φ，即可求得函数解析式；（2）由x∈[−π6，π6【解答】解：（1）由图象可知，A=4−02=2设f（x）最小正周期为T，T4=1∴f（x）＝2sin（2x+φ）+2，又∵f(π6)=2sin(2×∴2×π6+φ=π2+2kπ，∴函数f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x+π（2）当x∈[−π6，π6∴函数f(x)=2sin(2x+π19．（17分）如图，数轴x，y的交点为O，夹角为θ，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是e1→，e2→．由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量OP→，存在唯一的有序实数对（x，y），使得OP→=