抢分专练01 概率统计（解析版）

抢分专练01概率统计

一、单选题

1.（2024・四川成都•三模）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机

地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

16161616

【答案】C

0<x<I

【详解】设甲船到达泊位的时间为1,乙船到达泊位的时间为了，则

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则次-

0<x<l

画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分,

则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为人十出

故选：C

2.（2024•全国•模拟预测）陪伴是最好的亲情.某地政府倡议年轻人平时多陪伴父母，多措并举，创造就业

机会，尽量让年轻人在家附近工作.一年后，该地政府对在家附近工作的年轻人进行了调查，得到他们一

年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则样本中位数为（）

0.012

0.

0.

•^――►

XO100120140160IR0200220J；fi

A.150.5B.152.5C.154.5D.156.5

【答案】B

【详解】由条件可得(0.001+0.004+4+0.016+0.012+0.005+0.002)x20=1,故。=0.01.

因为(0.(X)l+0.(XM+0.01)x2()=0.3<0.5,0.3+0.016x20=0.62>0.5,

所以样本中位数为140+与萨x20=1525

故选：B.

3.（2024•全国•模拟预测）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、

4

谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为|,g且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任

务的概率为（)

71

AB.—D.-

-15-I5

【答案】B

【详解】设事件A为“恰有2队完成任务“，有三类:“天涯队、谛听队''或"谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪

荒队”，且相互互斥,

214Ixi^x1147

则P⑷=%+耳=,

5253125'|5

故选:B.

4.（2024.黑龙江哈尔滨.二模）针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学

生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数

的g5,女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的2;，若依据。=005的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动

6J

与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能是（

n(ad-bc)2

附：7

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.48B.54C.60D.66

【答案】A

【详解】设男生人数为6〃（〃eN"）,因为被调查的男、女生人数相同,

所以女生人数也为6〃（〃uN*）,根据题意列出列联表:

男生女生合计

喜欢冰雪运动5〃4〃9/7

不喜欢冰雪运动n2n3〃

合计6n6〃⑵

则2_______〃(/Oc)2_______⑵_432/Z5_4n

’(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)6n-6n-9/:-3n972〃“9

因为依据a=0.05的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，

所以/之3.841,即当之3.841,解得6〃N51.854,又(〃cN)

所以B、C、D正确，A错误.

故选：A

5.(2024•宁夏石嘴山•三模)某班有学生50人，现将所有学生按1,2,3,…，5()随机编号，若采用系统

抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4,24,b,44号学生在样本中，则a+〃=

()

A.48B.34C.14D.8

【答案】A

【详解】因为50+5=10,所以组距为10,

因为第一个被抽取的编号为4,所以。=14/=34,

所以a+/?=48.

故选:A

6.(2024.河北.二模)已知随机变量X服从正态分布N(2Q2)(<7>0),则"=1”是

“P(X2〉)+P(X>〃?+2)=1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为XN(2Q2),则P(Xvl)=P(X>3),P(X>4)=P(X<0),

若m=l则尸(XNl)+P(X>3)=尸(XAl)+P(Xvl)=l,

即可X2m2）+尸（X>m+2）=1,故充分性成立,

若P（XN〃/）+P（X>〃?+2）=1,则加2+〃?+2=2x2,

解得〃z=l或6=-2,故必要性不成立，

所以“m=1”是“P（X>/）+P（X>加+2）=1”的充分不必要条件.

故选:A

7.（2024.河南信阳.模拟预测）从0,1,2,5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三

位数有（）

A.12个B.10个C.8个D.7个

【答案】B

【详解】能被5整除的三位数末位数字得是。或5,

当末位数字为。时，此时有A：=6个符合条件的三位数，

当末位数字为5时，此时有2x2=4个符合条件的三位数，

因此一共有4+6=10个，

故选：B

8.（2024•北京东城•一模）已知（x+m）4=。4彳4+。3七+。2x2+。俨-%,若%+4+出+%+%=81,则加的取值

可以为（）

A.2B.IC.-1D.-2

【答案】A

【详解】令x=l，有（1+〃。4=q+%+。2+4+/=81,

即"7=2或〃7=-4.

故选:A.

二、多选题

9.（2024.全国.模拟预测）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，我国在航天事业中取得举世

瞩目的成就.为了普及航天知识，某校举行了航天知识竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4个选项中有2

个或3个正确选项），每题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.已知某一道多选题甲

完全不会，他随机选择2个或3个选项，该题有2个正确选项的概率为:.记X表示甲的得分，则（）

A.甲得2分的概率为:B.若甲选择2个选项，则石(X)>1

C.若甲选择3个选项，则E(X)>gD.甲得5分的概率为2

【答案】CD

【详解】由该题有2个正确选项的概率为得该题有3个正确选项的概率为

对于A,若甲得2分，则该题有3个正确选项，甲选择了2个正确选项，概率为胃=；,

因此甲得2分的概率〃=〈x：x!=：,A错误;

222o

对干B,若甲选择2个选项，则X的可能取值为()25,则p(X=0)=!x=+?x!=3，

26223

P(X=2)=1x1=!，P(X=5)=1x」=」，则E(X)=0x]+2x：+5x1=m〈I，B错误;

2242612341212

1317

对于C,若甲选择3个选项，则X的可能取值为0,5,则。('=0)=5号+厂.

P（X=5）=lxl=l因此E（X）=0X：+5X：=£>:，C正确;

24oooo2

115

+=_D正确

对于D,由选项BC知，甲得5分的概率为8-2-

48

故选：CD

23A

10.（2024•河北•二模）已知（/〃+/）=6/（）+6/）X4-a2x+«3x+u4x,

4245

（x-l）（/?z+x）=Z>0+btx+h-,x+b^+b4x+b5x,其中〃?eR,切wO.若42=3/%,则（

A.tn=2B./+4+&+%.&=81

C.I]+b2+仇+h4+b5=-16D.b1+2%+3a+4%+51%=80

【答案】AB

【详解】二项式（加+”’展开式的通项为却=€>尸/（0VW4且reN）,

（X-1）（/7/+X）4=X（〃7+X）4-（〃?+1）4，

所以《=C3/=6nr,h2=C：疗-=4〃r'一6〃」，

2

因为a2=3Z?2,所以6m=3（4〃广—6〃P）,解得m=0（舍去）或，〃=2,故A正确；

234

由（2+=4+a/+a2x+a3x+a4x,

令X=1可得/+%+。2+。3+。4=34=81,故B正确;

2

由（工一l）（2+x），=ba+btx+b2x+4丁+4丁，

令x=0可得％=-2'=T6,

令4=1可得优+4+打+4+伉+々=。，所以4+4+4+。4+a=16,故C错误：

2

将（x-l）（2+.r）'=/?（）+blx+b2x+%/+%r*+々炉两边对x求导瓦得，

43234

（2+x）+4（x-l）（2+x）=/?1+2b2x+3b3x+4Z>4x+5b5x,

令x=l可得4+次+3&+4白+5么=（2+1）4+4（1-1）（2+1）­=81,故D错误.

故选：AB

11.（23-24高二下•陕西西安•阶段练习）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第〃关要抛掷骰子〃

次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这〃次抛掷所出现的点数之和大于2"+〃，则算闯过第八关，〃=1,

2,3,4.假定每次闯关互不影响，则（）

7

A.直接挑战第2关并过关的概率为正

B.连续挑战前两关并过关的概率为三

24

C.若直接挑战第3关，设人=”三个点数之和等于15”，3=“至少出现一个5点"，贝|JP（A⑻=5

D.若直接挑战第4关，则过关的概率是部

【答案】ACD

【详解】对于A：2?+2=6,所以两次点数之和应大于6,

点数之和大于6的情况有1+2+3+4+5+6=21种，抛掷两次基本事件有6x6=36种

即直接挑战第2关并过关的概率为《二2三1二7白，A正确；

3612

对于B：2,+1=3,挑战第一关通过的概率为《二3，

所以连续挑战前两关并过关的概率为例=]1X^7=会7B错误；

对于C：抛掷三次基本事件有6=216种，

抛掷3次至少出现一个5点的事件共有GV=91种，故p（〃）=WOI，

而事件AB同时发生包含:5,5,5的1种，4,5,6的有6种,共7种,

故P（网二击，所以尸（晌=磊磊C正确；

对于D：当〃=4时，2"+〃=2、4=20,

而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：

含5,5,5,6的有4种，

含5,5,6,6的有6种，

含6,6,6,6的有1种，

含4,6,6,6的有4种，

含5,6,6,6的有4利。

含4,5,6,6的有12种，

含3,6,6,6的有4种

3535

所以人旷诙‘Dim

故选：ACD.

12.（22-23高二下•江西南昌•期中）甲罐中有5个红球，2个白球，3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球

和3个黑球，先从甲罐中随机取HI•球放入乙罐，分别以A，4*3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球

的事件；再从乙舞中随机取出一个球，以。表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）

A.尸（8同）=5B.P（AI）T

C。（8）=|D.P（A|B）=|

【答案】ABD

【详解】由题意知，A，A”A,是两两互斥的事件，

51213

P⑷=//（&）=而=子（正方

15

—x—s

P（B|A）=2产=百，则A正确：

2

34

3—x—6

=-X-^-LL=—,则B正确；

io

P（B）=P（AB）+P（&B）+尸（A/）

尸（A）P（幽）+尸（4）尸（砒）+p（a）尸3%）

151434920…口

=-x—+-x—+一x一=一*一、则C错误;

2115II10II225

15

P(A)P(同A)_5'TT.|,则确.

P(A|B)=D1E

p⑻9

22

故选：ABD

13.（23-24高二下•浙江•期中）盒中有编号为1,2,3,4的四个红球和编号为1,2,3,4的四个白球，从

盒中不放回的依次取球，每次取一个球，用事件4表示“第左次首次取出红球”，用事件4表示“第（k+1）次

取出编号为1的红球“，用事件G表示“第（k+1）次取出编号为1的白球“，则（）

A.P(RA)<P(GIA)B.P(B2IA)=P(C2IA2)

c.P(鸟I&)>p(Gl%)D.p(zl4)<p(aa)

【答案】ABC

,、41

【详解】对于A：依题意P（A）=?=9

o2

A；A；

P(耳A).A：P(GA)A；_4_1

p⑻A)=忌，P（C/A）=

P(A)1P(A)1287

22

即p(RA)<p(cjA),故A正确;

A]A；A；・A；

对于By—符二卷—窄小岛

所以P（%|&）=P（C21A2）,故B正确;

A>A；36

对于c：p(8H)箫

P(A)P(4)「(A)

A；-A；24

A

P(CIA)__(。34)_A：八8

(3⑷一p(4)一一(4厂p(4)

所以P（B31AAp（GI4），故C正确;

72

对于D：P(KIA).A

(44)-P(A)-P(A)—p(4)

A："；24

P(C4)二A；

p©a)=

P(4)P(()P（4）

所以*乩|4）＞"©|A）,故D错误.

故选:ABC

14.（2023•全国♦模拟预测）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次

取得黑球''为A，”第一次取得白球'为4,“第二次取得黑球''为用，"第二次取得白球”为反，则（）

A.0（A8）=尸（&&）B.P（AB2）=P（M）

c.尸（4⑷+尸（囱4）=1D.P（＜|A）+P（4|&）＞1

【答案】BCD

C11

【详解】对A,由题意，第一次取得黑球的概率?（4）二寸=.，

LA、

c'2

第一次取得白球的概率尸（4）=m=§,

C'C1।

第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率P（A4）=Ed=话，

第一次取得白球、第二次取得白球的概率尸（&层）=器=|,

则p（A4）oP（4与），所以A错误；

对B,第一次取得黑球、第二次取得臼球的概率?（4与）=黑=微,

C]C14

第一次取得白球、第二次取得黑球的概率P（44）=宙=«，

则P(A&)=P(44),所以B正确;

J_4_

对3由地⑷二端）斗="（闵十需斗4

33

得p⑷A）+P（闻A）=i，所以c正确;

4

对D,由尸（团4）=今^=号=|,得。（82队）+。（4|4）=《＞1,所以D正确.

3

故选:BCD.

15.（23-24高二下•江苏泰州•阶段练习）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从

甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A.人分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一

球，以8表示从乙箱中取出的是向球，则下列结论正确的是（）

A.P（^）=lB.P（BlA）=（

13

C.A.A?互斥D.P（8）=$

【答案】BCD

【详解】由题意P（@4）=吊驾=；尸（4）4所以P（A/）=抬=盘，A不正确；

X2?

从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱有5个白球和2个黑球，所以P（@a）=3,B正确；

由互斥事件的概念可知，小人2互斥，C正确；

尸（B）=p（BlA）P（A）+P（例A2）P（4）=:X/：X；=9D正确.

故选:BCD

16.（2024・湖南邵阳•模拟预测）有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”

的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变.如图为2023年中国父母参与过的各类亲子活动人

数在参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（）

匚:占比

A.在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读

B.在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于20%

C.图中各类亲子活动占比的中位数为40.14%

D.图中10类亲子活动占比的极差为57.70%

【答案】AB

【详解】对于A,亲子阅读阅读占比71.08%,为最大，A正确：

对于B,由于71.()8%+52.66%-1=23.74%>2()%,B正确：

对于C,图中各类亲中活动占比的中位数为2Z77-,40。17%=33.955%,C错误；

对于D,图中10类亲子活动占比的极差为71.08%-13.32%=57.76%,D错误.

故选:AB

17.(2024・全国•模拟预测)下列说法中正确的是()

A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体〃被抽到的概

率是12%

B.X~N.、吟,当〃不变时，。越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖

C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23

D.若样本数据0W，…，%的标准差为1，则数据3斗-1,3电-1,,3-7的标准差为32

【答案】AB

【详解】对于A中，川简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，

则个体相被抽到的概率为义=12%,故选项A正确；

对于B中，当〃不变时，。越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，所以B正确；

对于C中，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，

从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,

24+24

由于10x0.7=7,故选择第7个和第8个数的平均数作为第70百分位数，即:一=23.5,

所以第70百分位数是23.5,所以C错误；

对于D中，若数据内,占，，•%的标准差为1，所以X，/，•，%的方差为1，

则数据3x,-L3巧T,3/7的方差为9,

所以数据MT3马-1,…,3照-1的标准差为3,所以D错误.

故选:AB.

三、填空题

18.（2024.广东深圳•二模）已知样本占，//的平均数为2,方差为I,则X：,名，后的平均数为

【答案】5

【详解】由题意知，%+；+•、=2,所以N+Q十巧一6,

由（为―2）2+区:2）2+5—2）2=],得X；+¥+Y=I5,

所以“：+：+¥=5.

故答案为：5

19.（2024.全国.模拟预测）已知在矩形A8CO中，AD=\,AB=6,在矩形A4CO内（不包含边界）随

机取一点E，若直线AE与直线CD交于点M,则AD2DW的概率为.

【答案】息匚6

66

【详解】如图，在C。上取一点居使得4）=。尸=1,连接AF,

则在ZXA。尸中随机取一点E,直线A£与直线CD的交点M始终满足AD2DM，

X

故所求概率p_2X_3，

1^~T

20.(2024•全国•模拟预测)记样本数据10,18,8,4,16,24,6,8,32的中位数为小平均数为〃，则

=•

【答案】-4

【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，得4,6,8,8,10,16,18,24,32,

所以中位数。=10,

由平均数的计算公式得力=,(4+6+8+8+10+16+18+24+32)=14,

所以a-Z>=10-14=-4.

故答案为：-4.

21.(2024.全国.模拟预测)小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知

小明射击一次中靶的概率为；，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为.

4

【答案】］

【详解】由题可知小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为

4

故答案为：—.

22.(2024.全国•模拟预测)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(175,52),随机

选择一名本市高三年级的同学，则P(X<170)+P(l75^X<180)=.

【答案】0.5

【详解】由题意得,P(X<170)=P(X>180),

所以尸(X/170)十尸(175/X<ISO)=P(X>180)十尸(175XX<180)=().5.

故答案为：0.5.

四、解答题

23.(21-22高二下•全国•期末)为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随

机抽查了10()名学生，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运立时间超过30

分钟的记为“运动达标”，时间不超过3()分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为3:2,运

动达标的女生与男生的人数比为2:1,运动欠佳的男生有5人.

⑴根据上述数据，完成下面2x2列联表，并依据小概率值。=0.01的独立性检验，分析“运动达标情况”与“性

别”是否有关？

运动达标情况

性别合计

运动达标运动欠佳

男生

女生

合计

⑵现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人,再从这6人中任选2人进行体能测试,

求选中的2人中恰有一人是女生的概率.

n^acl-be)'

参考公式：z2=，n=a+b+c+d.

(a+〃)(c+d)(a+c)(〃+d)

a0.100.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】⑴表格见解析，“运动达标情况”与“性别”无关.

联

【详解】(1)2x2列联表为:

性别运动达标情况合计

运动达标运动欠佳

男生20525

女生403575

合计6040100

假设H°：运动达标情况与性别无关.

100x(20x35-5x40)2

2=—«5.556<6,635.

z=60x40x25x759

根据小概率值。=0.01的独立性检验，没有充分证据推断“。不成立,

即认为“运动达标情况”与“性别”无关.

（2）已知“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生、

女生分别抽到2人和4人，

pl「IQ

则选中2人中恰有一人是女生的概率为。=留=点.

L八ID

24.（2024•宁夏石嘴山•三模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”

的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查

（问卷得分在40700分之间），并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直

方图.

⑴据此估计这20（）人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：

⑵某大型超市引入“刷脸支付''后，在推广“刷脸支付''期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，

无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有8个形状、大小完全相同的小球（其中红

球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的20%；若摸到2个红球，

返消费金额的10%，除此之外不返现金.

方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金祜动，根据统计结果得

知，使用“刷脸支付”时有）的概率享受8折优惠，有:的概率享受9折优惠，有;的概率享受95折优惠.现小

张在该超市购买了总价为1000元的商品.

①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望：

②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到0.1）

【答案】⑴68

⑵①分布列见详解，b（X）«969.6；②选择方案二更划算.

【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为：

（0.01x45+0.02x55+0.025x65+0.025x75+0.015x85+0.005x95）x10=68.

⑵①摸到3个红球，返消费金额的20%,实际付款为1000（1-20%）=800；

摸到2个红球，返消费金额的10%,实际付款为l（XX）（l-10%）=9（X）,

所以X的可能取值为800,900」（XX）,

因为P(X=800)=等LJP(X=900)=警15

。5656

15_5

所以P（X=1000）=l一一

5656-7

X的分布列为:

X8009001000

1155

p

56567

所以E（X）=800x-!-+900x”+1000x』a969.6（元）.

56567

②若选择方案二，记实际付款金额为匕依题意，y的可能取值为800,900,950,

因为尸(y=8oo)=±尸(y=9oo)=1,p(y=950)=,

632

a908.3(元)

因为E（X）>石（丫），所以选择方卖二付款更划算.

25.（2024高三下.全国.专题练习）“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢健子、

顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、报结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外

活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用2〃-1（〃22,〃61<）局〃胜的单败淘汰制，即先赢下〃

局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，

已知每局比赛甲获胜的概率为〃（0<〃<1）,乙获胜的概率为1-P.

2

（1）若〃=2,p=~,设比赛结束时比赛的局数为X,求X的分布列与数学期望；

（2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为八，采用5局3胜制时乙获胜的概率为若求〃的取值

范围.

22

【答案】⑴分布列见解析，y

⑵尾）

【详解】（1）因为〃=2,所以比赛采用3局2胜制，X的所有可能取值为2,3,

5

P(X=2)=

9

P(X=3)=C；x[J]x；+C；x|x一4

=—

3;9

X的分布列为

所以E(X)=2x15+3x4—=2一2

''999

（2）由题意知—=+

由[>6，得(1-〃)(-6〃'+3/+2p+1)>(1(1+2/?),

且则(1一可得一6〃3+3/+2〃+1>1+2〃，

整理得解得0<〃<g,

所以〃的取值范围为（0，；：.

26.（2024.全国.模拟预测）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生

长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统

（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.女m,请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高

度的残差.

AE(^-^)(.Vr-y)A10

参考公式：〃=J-----------=9-反.参考数据：Ew=7io.

I=I

〜2026

【答案】(l)y=石x+y；

⑵-0.7cm.

-1+2+3+4+5+6+7+8+9+10__

【详解】（1）依题意,x=----------------------------------=5.5,

10

-一1+1+2+3+3+4+4+4..

y=10+------------------------------------=12,

10

1010

:g(-D1(内1网7］。-XI220

'一一天一小一385-10x5.52%'

i=lJ=I

4=12-式9()、弓1I=三96，故所求回归直线方程为»=矣9()1+三96.

onOA

(2)由(1)可知，当x=22时，y=—x22+—=22cm,

333

故所求残差为21.3-22=-0.7cm.

27.（2024高三.全国.专题练习）近年来，随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛

起，其因颜值高、动力充沛、提速快、空间大、用车成本低等特点得到民众的追捧，但是充电难成为影响

新能源汽车销量的主要原因，国家为了加快新能源汽车的普及理度，在全国范围内逐步增建充中桩.某地

区2019-2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示:

年份20192020202120222023

充电桩数量”万台13579

新能源汽车年销量W万辆2537485872

（1）己知可用线性回归模型拟合），与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；

（2）求1y关于x的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？

参考公式：相关系数「二回归方程5,=4+加中斜率和截距的最小二乘估计公式分

1=1

=

---丁，a=y-bx.

而

555

参考数据：£(%-斤=40,2(y,「5)2=1326,£玉男=1430,,53040。230.3041.

r=lr=l

【答案】（1）答案见解析

(2)5=5.75%+19.25；157.25万辆

-1_1

【详解】(1)由题知x=：x(l+3+5+7+9)=5,y=；x(25+37+48+58+72)=48,

又为(再一力=40,之(》-5尸=1326,±.=1430,

»=11=1r=l

5__5

决TUT£内-5石143o-5x5x48230

斫L'lr=,।''=---,—«--------

740/p>

'和xT21-可向

V2IJ=|V1=11=1

因为)，与x的相关系数近似为0.999,非常接近1,

所以），与工的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与1的关系.

.方（…心-亍）碗.一

（2）b=―—j----——=—=5.75,a=y-bx=48-5.75x5=19.25,

f=l

所以），关于X的线性回归方程为9=5.75A-+19.25.

当h=24时，>>=5.75x24+19.25=157.25,

故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆.

28.（23-24高二下•汀苏・单元测试）某机构从某一电商的线卜交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力.界

定3至8月份购买商品在5000元及以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱

人群现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%,并将这20()

人按年龄分组，分组区间为口5,25),[25,35为35,45),[45,55),[55,65],得到频率直方图(如图).

⑴求出频率直方图中a的值和这20()人的平均年龄.

(2)从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属

于不同组别的概率.

(3)汜年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组，年龄在第4,5组的居民称为中老年组.若选出的200人中•,购买

力弱人群”的中老年人有20人，问：是否有99%的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关？

2附次)0.100.050.0250.0100.001

k02.7063.8415.0246.63510.828

【答案】(1)0.035,41.5岁

-I

(3)没有99%的把握

【详解】(1)由题意得(2xO.Ol+O.O15+QO3+a)xlO=l,所以々=0.035,

平均数为20x0.1+30x0.15+40x0.35+50x0.3+60x0.1=41.5,

所以这200人的平均年龄为41.5岁.

(2)由题意可知第1,2组中人数的必为0.1015=2:3,

故利用分层抽样的方法抽取5人，从第一组抽取2人，从第二组抽取3人.

记从第一组抽取的2人为A,B,从第二组抽取的3人为凡b,c,

则从这5人中随机抽取2人共(AB),(Aa),(Ab),(Ac),(B,a),(B,b),(8,c),3b)

(a,c)M,c)共10种情形,

其中两人恰好属于不同组别的共(A,b),(A,c),(5,0),(况母(8©种情形,

故所求的概率P=K=［；

（3）由题意知200人中属购买力强的人数占80%,有160人,

故得2x2列联表为：

购买力强人群购买力弱人群合计

青少年组10020120

中老年组602080

合计16040200

提出假设

%：是否属“购买力强人群”与年龄无关.

根据列联表中的数据，可以求得K2=2UOX（1OOX2°~2UX6O）9«2,083<6.635，

120x80x160x40

所以没有99%的把握认为，是否属“购买力强人群”与年龄有关.

29.（2024.浙江台州•二模）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某

电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费占（单位：百万元）

和年销售量X（单位：百万辆）关系如图所示：令耳.=ln%（i=L2,…,5）,数据经过初步处理得:

4年销售量（仃万辆）

2

0

8

6

4

2

O

I23456

年广告费（百万元）

2

却,Z(.Vr-y)Z(x,-x)(-y)Z(.y,-y)(v；-v)

£(%-行X

(=11=1r=1r