湖南省郴州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（解析版）

湖南省郴州市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案CDBBDDCBABDBCD题号11答案CD1．C【详解】由题意得，根据交集的定义得.2．D【分析】先根据共轭复数的定义求出，再计算的结果，最后根据复数模的计算公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.3．B【分析】先计算一台电器使用寿命超过小时的概率为，再由台这样的电器服从可得结果.【详解】因为三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，所以元件1、元件2、元件3使用寿命超过小时的概率均为，一台这样的电器使用寿命超过小时，是元件1使用寿命超过小时，并且元件2、元件3至少有一个使用寿命超过小时，因此一台这样的电器使用寿命超过小时的概率为，显然台这样的电器，使用寿命超过小时的台数，所以台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过小时的台数为．故选：B．4．B【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解.【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点．则，又平面平面，所以平面，连接，则．所以四边形为平行四边形，所以．又平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.所以平面与平面间的距离为点到平面的距离.以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，，，则有，令得，故，其中，则点到平面的距离为.5．D【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】当时，直线的方程为，直线的方程为，即，此时直线与直线重合，而不是平行，因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件；当直线与直线平行时，有，解得或，经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行，所以“直线平行”的必要条件是，该条件无法推出，故“”是不必要条件；综上所述，“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件，故D正确.6．D【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解.【详解】的定义域为，由于为偶函数，故，即，整理可得，故，则，所以.7．C【分析】先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案.【详解】将6个人分成3组，每组至少一人：当三组人数为4，1，1时，有种分法；当三组人数为3，2，1时，有种分法；当三组人数为2，2，2时，有种分法；所以一共有，将这三组人数分别分配到3个活动项目中去，所以共有种分配方式.8．B【分析】求导，根据导数作出函数的图象，数形结合求解参数范围即可.【详解】当时，，可以看作函数向上平移个单位，当时，，则，因为当，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，，，作出函数图象如下图，令，则过定点，当过原点时，即时，图象与图象有4个交点，时，，当图象与图象相切时，设切点为，此时，将代入得，整理得，因为在上单调递增，又，所以，当时，，图象与图象相切，有两个交点.所以方程有三个根，的取值范围为．9．ABD【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B.【详解】计算均值：，，选项A：根据公式，，线性回归方程为，A正确；选项B：相关系数，B正确；选项C：代入回归方程：，预测月销售量为千件，不是千件，C错误；选项D：时，，残差，D正确.10．BCD【分析】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确.【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数，，，方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布，则，.选项A，，，，A错误；选项B，，由于，故或3时，最大，B正确；选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确；选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为，“次正次”的概率为，“次次次”的概率为，故第三次抽到次品的概率为，D正确.故选：BCD.11．CD【分析】根据二项展开式的通项公式，结合赋值法，依次判断各个选项即可.【详解】的展开式的通项为，对于A：常数项为，故A错误；对于B：第4项系数即的系数，，故的系数，故B错误；对于C：令，得；令，得，将两式相减，得，故，故C正确；对于D：令，得，故D正确.故选：CD.12．【分析】分别求出和，再代入公式计算．【详解】事件为“甲骰子点数为3”，甲骰子出现点数3只有1种情况，而每枚骰子有6种可能的点数，同时投掷两枚骰子，总共有种不同的结果．可得．事件表示“甲骰子点数为3且两枚骰子点数之和为8”，设甲骰子的点数为，乙骰子的点数为，则且，那么，即只有这1种情况．根据古典概型概率公式可得．所以．13．【分析】将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解.【详解】，令，求导得，而，所以在上单调递增，在上单调递减，而当时，，当时，，且有极大值，所以若函数有两个零点，则的取值范围是.故答案为：.14．①②④【分析】对于①,求导得，再次求导分析函数的单调性，结合函数值的变化趋势可得函数的极值点的情况；对②，当时，结合①的结论和，可求函数的最小值，进而判断函数的零点情况；对③，设切点，利用斜率构建关系式，转化为函数的零点个数问题，求导分析单调性可确定有2个解，故有2条这样的切线；对④，根据①的结论，探究函数当时，函数在上的单调性，结合可判断④的真假.【详解】对①：，则，设，则恒成立.所以在上单调递增.若，当时，，，所以；当时，，，所以.若，当时，，，所以；当时，，，所以.所以对任意，总存在，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，是函数的极小值点，且唯一存在，故①正确；对②：当时，，.由①可得，唯一存在是极小值点，又，所以.则.所以当时，恒成立，即无零点，故②正确；对③：因为，所以原点不在曲线上，设切点为，则切线斜率为，整理得：.令，则.因为，所以由.所以在上单调递减，在上单调递增，故.又当时，；当时，.所以有2个解.故对任意，曲线过原点的切线有2条，故③错误；对④，由①得，函数只有一个极小值点，且在上单调递减，在上单调递增.因为在上单调递增，且当时，，所以.所以函数在上单调递减，又，所以当时，对任意，均有.故④正确.15．(1)证明见解析(2)不是，理由见解析(3)【分析】（1）直接根据定义即可证明；（2）根据定义列出方程，并证明无解；（3）先根据题目条件证明，再对每个构造相应的，即可得到答案.【详解】（1）对任意的，都有.所以函数的图象是关于点的中心对称图形．（2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形．理由如下：假设，，使得，则.从而，即，解得，与矛盾.所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形.（3）①一方面，若存在，，使得，根据对称性，不妨设.假设，则，从而由可知，故，矛盾，所以.故，那么，从而由可知.所以.②另一方面，若，此时令，则.此即，且.从而，这就意味着，故.而，故，从而.这就说明存在，，使得.综合①②两个方面可知，实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对弱对称中心图形的定义的理解.16．(1)(2)(3)由题知，可能的取值为，，，故，，故当且仅当时，【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解；（2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解；（3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明.【详解】（1）恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为，正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为；正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为，因此（2）由题知，可能的取值为，，，，分布列为：（3）略17．(1)由题意知，因为，所以，又平面，又平面，所以，又平面，且，所以平面，又平面，所以.(2).【分析】（1）利用向量数量积证得，再利用线面垂直的性质与判定定义即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系得平面的一个法向量，再设，根据垂直关系得值，最后利用体积公式即可.【详解】（1）略（2）因为平面，又平面，所以，又，所以两两垂直，如图以A为原点，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为则，不妨令，则所以设，则，因为四点共面，则，解得，即，所以.

18．(1)函数的递增区间为，递减区间为；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间；（2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围；（3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式.【详解】（1）因为函数，函数的定义域为，.当时，，因为，所以，.故函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的递增区间为，递减区间为.（2）由，即，得在上恒成立；令，.由得，即，所以当，.所以在上单调递增，在单调递减，所以.所以，故a的取值范围为（3）先证明不等式，令，.所以在单调递减，所以，即不等式成立.令，即，所以.所以，，，.上述n个式子相加得.故，成立.19．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的点和离心率求出a，b作答.（2）设出点的坐标，根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆方程联立，表示出点的坐标，再借助斜率坐标公式推理作答.