正方形的判定课件2025-2026学年人教版+数学八年级下册

21.3.3正方形第二十一章四边形人教版(2024)素养目标1理解并掌握正方形的判定办法和推导过程；

2能熟练运用正方形的判定办法进行计算和证明；3经历正方形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.知识回顾有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.2.正方形的性质：①边：对边平行；四边相等④对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.②角：四个角都是直角⑤对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴.1.正方形的概念：ADCBO性质：正方形四条边都相等，四个角都是直角.

猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形.猜想2：有一个角是直角的菱形是正方形.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．猜想1：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=AD,求证:矩形ABCD是正方形证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°,四边形ABCD也是平行四边形，∵AB=AD,∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）结论：有一组邻边相等的矩形是正方形.猜想2：有一个角是直角的菱形是正方形.已知:如图,在菱形ABCD中,∠A=90°,求证:菱形ABCD是正方形证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°,∴AB=CD=BC=DA,四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD是正方形.结论：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：如图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.尝试证明证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.又∵正方形是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义），且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.ABCD已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.尝试证明ABCDO证明：在四边形ABCD中，∵正方形是矩形，∴AO=BO=CO=DO.又∵正方形是菱形，∴AC⊥BD.正方形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？菱形矩形轴对称图形正方形对称轴是两条对角线所在的直线对称轴是过对边中点的两条直线思考正方形是不是具有矩形和菱形的一切性质呢？平行四边形性质：正方形＝平行四边形＋矩形＋菱形．菱形矩形正方形证明结论已知：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.对角线相等的菱形是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.总结归纳正方形判定的几条途径：先判定菱形①一个直角②对角线相等二选一正方形先判定矩形①一组邻边相等②对角线垂直二选一正方形平行四边形正方形①一邻边相等②一内角直角同时满足ADCBO已知：如图，四边形

ABCD是正方形，对角线

AC、BD相交于点

O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形

ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.分析：要判断一个三角形是等腰直角三角形的条件是什么？判定两个三角形全等的条件又是什么？

知识点2：正方形的判定问题

你是如何判定矩形、菱形的？思考

怎样判定一个四边形是正方形呢？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义四个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直探究新知2.如图，一个木匠要制作一块矩形的木板.他在一块对边平行

的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到

矩形木板.为什么？解：如图，∵AB

⊥BC，CD

⊥BC，∴易得AB∥CD，∠ABC=90°.∵AD∥BC，∴四边形ABCD

是平行四边形.又∠ABC=90°，∴□ABCD是矩形.因此，他能得到矩形木板.【选自教材第79页习题21.3第2题】3.在Rt△ABC

中，∠C=90°，AB=2AC.利用本节所学的直角三角形的性质，求∠A，∠B

的度数.解：如图，取AB的中点D，连接CD.∵CD

是Rt△ABC

斜边上的中线，∴△ACD

是等边三角形.∴∠A=60°.又∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠B=30°.∴CD=AB=AD.

∵AB=2AC，∴AC=AB.∴AC=CD=AD.

【选自教材第79页习题21.3第3题】当堂检测2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等A3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是____________（只填写序号）．②③或①④返回1．如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为(－2，2)，(1，－1)，则点B的坐标是(

)A．(－1，－2) B．(－1，－3)C．(－2，－1)

D．(－3，－1)C返回2．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为(

)A．3B．4C．5D．6C已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF．123已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：(1)AE=AF；(2)EA⊥AF．123证明：(1)∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°.在△ABF与△ADE中，AD=AB,∠ADE=∠ABF=90°，DE=BF,∴△ABF≌△ADE(SAS).∴AE=AF

,∠1=∠3.(2)∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°即EA