北师大版初中数学九年级上册：一元二次方程应用之互赠与握手问题教案

北师大版初中数学九年级上册：一元二次方程应用之互赠与握手问题教案

一、教学背景与理念架构

（一）课程定位分析

本节课隶属于“数与代数”领域，是学生在九年级上学期系统学习一元二次方程解法后的首个综合性应用专题。承接上一节“列一元二次方程解应用题”的一般步骤，本节聚焦于“互赠礼物”与“握手问题”两类具有典型组合计数背景的现实模型。这两类问题不仅是训练学生从复杂情境中抽象数学关系的经典载体，更是贯通初中数学中函数、统计与概率等领域的枢纽性节点。北师大版教材将其编排于此，旨在通过具体模型的深度剖析，帮助学生实现从掌握解法技巧到灵活建构模型的认知跃迁。

（二）核心素养发展指向

本节课的教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为纲领，着重培育与发展学生的以下核心素养：

1.数学建模：引导学生从“互赠”与“握手”的现实情境中识别数量关系，抽象出“单循环比赛”、“多边形对角线”等变式问题的统一数学模型，体验“实际问题→数学问题→求解验证→解释应用”的完整建模过程。

2.逻辑推理：通过对比分析互赠问题（x(x-1)）与握手问题（x(x-1)/2）的公式差异，引导学生进行合情推理与演绎推理，深刻理解“顺序是否影响结果”这一组合计数的核心逻辑，培养思维的严谨性与深刻性。

3.数学运算：在根据题意列出方程后，学生需要熟练解一元二次方程，并对结果进行合理性检验（如人数、次数需为非负整数），提升在复杂情境中精准、有序运算的能力。

4.应用意识：将数学模型拓展至网络连接、通讯线路、会议安排等跨学科或现实生活场景，使学生认识到数学的工具价值，增强主动运用数学知识解决实际问题的意愿与能力。

（三）学情深度诊断

1.知识储备：学生已完整学习一元二次方程的四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），并初步掌握了列方程解应用题的基本步骤（审、设、列、解、验、答）。

2.思维特征：九年级学生抽象逻辑思维日益占主导地位，具备一定的归纳、类比和迁移能力。但对于从具体情境中剥离出纯粹的数学结构，尤其是处理涉及“重复计数”或“顺序问题”时，仍可能存在思维障碍，易受直观经验干扰。

3.潜在误区预判：

1.4.混淆“互赠”（双向、两件礼物）与“握手”（单向一次动作）的基数差异。

2.5.在列方程时，忽略公式中变量x的实际意义（必须为正整数），导致接受不合题意的负根或非整数根。

3.6.对“每两人之间都握手一次”与“每两人之间互赠一件礼物”的逻辑等价性理解不清。

（四）大单元教学视角

本课时是“一元二次方程应用”大单元中的关键一课。前序课时建立了应用题的通用分析框架；本课时则深入一类具体而重要的模型；后续将延伸至增长率、面积、利润等更多元的问题类型。因此，本课承担着“由通法到特例，再由特例提炼通性”的承上启下作用。教学应着力于引导学生构建“握手/互赠”模型的知识锚点，使其成为解决后续更复杂组合类问题（如比赛积分、网络拓扑）的思维原型。

二、教学目标设计

（一）知识与技能

1.能准确区分“互赠礼物问题”与“握手问题”的情境特征与数量关系。

2.熟练推导并记忆互赠问题总数为x(x-1)

，握手问题总数为x(x-1)/2

（其中x为参与人数）。

3.能根据具体问题情境，正确设定未知数，列出相应的一元二次方程并求解。

4.能对求得的解进行双重检验（数学合理性检验与实际问题意义检验）。

（二）过程与方法

1.经历“具体情境感知→操作探究发现→归纳抽象模型→符号表达关系→变式迁移应用”的完整数学活动过程。

2.通过列表、画图（点线图）、枚举等策略，化抽象为具体，直观理解公式的由来，掌握分析复杂数量关系的方法。

3.学会运用对比、类比的思想方法，辨析两类问题的本质区别与内在联系。

（三）情感、态度与价值观

1.在合作探究与交流中，体验数学模型的简洁美与普适美，激发学习数学的内在兴趣。

2.通过解决源于实际的问题，体会数学的社会应用价值，增强数学应用意识。

3.培养严谨求实、一丝不苟的科学态度，在面对复杂问题时保持耐心与条理性。

三、教学重难点及突破策略

（一）教学重点

1.重点内容：建立“互赠礼物”与“握手”问题的数学模型，并准确列出对应的一元二次方程。

2.确立依据：这是本节课的知识内核与技能核心，是学生能否成功应用的关键。

3.突破策略：

1.4.直观先行：利用学生现场模拟、动画演示或图形连线，将抽象过程可视化。

2.5.归纳引导：从具体人数（3人，4人，5人）入手，填写表格，引导学生自主发现人数与总次数之间的规律。

3.6.语言固化：用精准的数学语言描述规律，如“每个人都要和其他（x-1）个人握手/赠送礼物”。

（二）教学难点

1.难点内容：理解为何握手问题需要“除以2”，而互赠问题不需要；并能将此模型灵活迁移到变式情境中。

2.成因分析：这涉及组合数学中“是否考虑顺序”的核心思想，学生需超越具体动作，进行抽象的逻辑思考。

3.突破策略：

1.4.对比辨析：将两种情境并列呈现，通过画图对比，凸显“一次握手连接两个人”与“两件礼物对应两个人”的区别。

2.5.概念祛魅：避免过早引入“组合”术语，而是用“算重了”或“一对关系”等学生易懂的语言解释“除以2”的原因。

3.6.变式链：设计从标准模型到“单循环比赛”、“多边形对角线”、“互通电话”、“互发短信”等一系列变式问题，让学生在应用中深化理解。

四、教学准备与资源整合

1.教师准备：

1.2.精细化教学设计课件（PPT/Keynote），内含问题情境动画、探究活动指引、对比辨析图表、阶梯式练习题组。

2.3.预设课堂探究活动记录表（纸质或电子模板）。

3.4.GeoGebra动态几何软件，用于演示点与连线的增长模型。

4.5.实物或图片道具（如简易贺卡模型），用于课堂情境演示。

6.学生准备：

1.7.复习一元二次方程解法。

2.8.准备笔记本、草稿纸、直尺、铅笔。

9.环境准备：

1.10.教室桌椅可临时调整为小组围坐式，便于合作探究。

2.11.确保多媒体设备及网络连接正常。

五、教学过程实施

第一环节：创设情境，激趣引疑（预计时间：8分钟）

活动一：生活镜头切入

师：（播放一段简短的班级新年联欢会视频片段，镜头聚焦于同学们互换礼物或相互握手的场景）同学们，在集体生活中，像这样互赠礼物或相互致意的温馨场景很常见。今天，我们就从数学的角度来研究这其中蕴含的数量关系。

活动二：提出挑战问题

师：现在，老师遇到了两个小难题，请大家帮忙算一算。

1.“礼物之困”：我们九年级数学兴趣小组举办了一次小型聚会，活动结束后，大家互赠了亲手制作的书签作为纪念。事后清点，发现一共赠送出了90张书签。请问，我们兴趣小组可能有多少人参加了这次聚会？

2.“握手之惑”：在校运动会开幕式上，有若干个参赛队的领队相互握手致意。如果总共握手了28次，且每两位领队之间只握手一次，请问可能有多少个参赛队？

（学生初步思考，通常会尝试猜测或简单计算，但难以快速得出准确答案，从而产生认知冲突和探究欲望。）

师：大家是否感觉有点无从下手？这两个问题背后，隐藏着什么样的数学规律呢？让我们化身“数学侦探”，一起揭开谜底。

设计意图：从学生熟悉的真实生活场景出发，提出具有挑战性的问题，快速聚焦课题，引发学生的认知冲突和强烈的好奇心，为后续探究做好心理铺垫。

第二环节：合作探究，建模溯源（预计时间：20分钟）

探究任务一：解剖“握手问题”

1.化繁为简，从特例开始：

1.2.师：我们先从简单的“握手”入手。假设只有2个人（A和B），他们握手几次？（1次）

2.3.如果是3个人（A,B,C）呢？请同学们在小组内，用画点代表人的方式，连一条线表示一次握手，数一数总握手次数。（学生动手画图，得出3次）

3.4.继续探究4个人、5个人的情况。教师下发探究记录表，引导学生系统填写。

“握手问题”探究记录表

参与人数(x)

握手情况分析（每个人握几次）

计算过程（先怎么算，后怎么调整）

总握手次数(y)

2

A握B:1次

1

1

3

A握B,A握C;B握C

2+1

3

4

A握3次,B握3次?(重复!)

4×3=12,但每次握手被算了2次

6

5

...

5×4=20,20÷2

10

5.发现规律，归纳公式：

1.6.小组汇报填表结果。教师利用GeoGebra动态演示：每增加一个点（人），该点需与已有的所有点连线，但每一条连线都被计算了两次。

2.7.关键提问：观察表格，当人数为x时，如果先按“每个人都要和其余（x-1）个人握手”来算，总次数是多少？[x(x-1)]这个数是我们实际握手次数的几倍？为什么？（2倍，因为每次握手都涉及两个人，被重复计算了。）

3.8.师生共同归纳：设人数为x，则握手总次数y=x(x-1)/2。

9.建立方程，解决引例：

1.10.回到“握手之惑”：设参赛队有x个，则握手次数方程为x(x-1)/2=28。

2.11.学生独立解方程：x^2-x-56=0，解得x1=8,x2=-7。

3.12.引导学生检验：人数（队数）必须为正整数，故x=-7舍去。答：有8个参赛队。

探究任务二：对比“互赠问题”

1.迁移方法，独立探究：

1.2.师：现在，请同学们借鉴研究“握手”的思路，以小组为单位，独立探究“互赠礼物”问题。同样从2人、3人、4人开始分析。

2.3.教师提示关键区别：A送给B一件礼物，和B送给A一件礼物，是相同的还是不同的？（不同的两件礼物）

4.对比辨析，构建公式：

1.5.小组汇报。教师利用表格或动画对比展示：

1.2.6.握手：A与B握手，就是B与A握手，是同一事件。

2.3.7.互赠：A送给B礼物，与B送给A礼物，是两个独立事件。

4.8.关键提问：在互赠问题中，每个人需要准备多少件礼物？[（x-1）件]总礼物数是多少？[x个人，每人准备（x-1）件，所以总数为x(x-1)]这里需要除以2吗？为什么？（不需要，因为礼物是双向的，A给B的和B给A的是不同的两件，没有重复计算。）

5.9.归纳公式：设人数为x，则互赠礼物总件数y=x(x-1)。

10.建立方程，解决引例：

1.11.回到“礼物之困”：设兴趣小组有x人，则赠礼总件数方程为x(x-1)=90。

2.12.学生独立解方程：x^2-x-90=0，解得x1=10,x2=-9。

3.13.检验：x=-9舍去。答：兴趣小组有10人。

设计意图：这是本节课的核心环节。通过两个递进的探究任务，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的完整建模过程。运用对比教学法，将两类问题的核心差异（是否考虑顺序/是否重复计数）凸显出来，使学生不仅“知其然”，更“知其所以然”，从而牢固建构数学模型。

第三环节：模型内化，变式进阶（预计时间：12分钟）

师：我们找到了解决“握手”和“互赠”两大基本问题的“金钥匙”。现在，考考大家能否识别出生活中其他穿着“马甲”的同类问题。

变式辨识擂台（小组抢答）：

请判断下列问题属于“握手模型”（需÷2）还是“赠礼模型”（不需÷2），并说明理由。

1.某校九年级10个班进行足球单循环比赛（每两个班赛一场），一共要安排多少场比赛？

2.一个n边形共有多少条对角线？

3.新年期间，某微信群里的x个成员，每两人都互发一条祝福微信，总共发了多少条？

4.在一次同学聚会上，每两个人都只碰杯一次，总共碰杯了45次，有多少人参加聚会？

5.某铁路线上共有10个站点，需要为这条线设计多少种不同的单程火车票？

（学生辨析。关键点拨：第1、2、4题属于“握手模型”，因为比赛一场、一条对角线、碰杯一次都是唯一、双向的关系。第3题是“互赠模型”的电子版（互发微信）。第5题是“互赠模型”的变式，因为从A站到B站和从B站到A站是两种不同的票。）

典例精讲与规范书写

出示例题：参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手36次，有多少人参加聚会？

1.学生独立审题、设元、列方程、求解。

2.教师投影展示一名学生的规范解题过程，并强调：

1.3.设：设共有x人参加聚会。（指明x的实际意义）

2.4.列：根据握手模型，列出方程x(x-1)/2=36。

3.5.解：化为一般形式x^2-x-72=0，解得x1=9,x2=-8。

4.6.验：x表示人数，必须为正整数，故x=-8不符合题意，舍去。

5.7.答：共有9人参加聚会。

8.强调检验的双重性：一是数学检验（代入原方程），二是实际意义检验（非负整数等）。

设计意图：通过变式辨识，打破学生的思维定势，深化对模型本质的理解——关键在于判断关系是“一对一”还是“一对二”。典例精讲则侧重于解题过程的规范性训练，培养学生严谨的数学表达习惯和良好的解题素养。

第四环节：综合应用，拓展升华（预计时间：10分钟）

挑战性问题组（分层可选）

【A组·巩固基础】

1.某小组若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，求这个小组的人数。

2.一次篮球比赛中，所有球队都进行了单循环赛，总共进行了15场比赛，有多少支球队参赛？

【B组·能力提升】

3.一个平面上有n个点，其中任意三个点都不在同一直线上。这些点可以确定多少条不同的直线？（提示：连接两点的直线是唯一的）

4.在一次会议上，所有与会者都与其他与会者握手一次。一位与会者统计他发现总共握手66次。请问这次会议有多少人参加？（提示：统计者本人也是与会者之一）

【C组·拓展探究】

5.（跨学科联系）在计算机网络中，如果采用全连接拓扑（每个设备都直接与其他所有设备相连），设有x台设备，需要多少条物理通信线路？试比较这与“握手模型”的异同。

6.（模型衍生）某旅行社组织一个旅行团，计划在旅行结束时，每两人合影一张照片作为留念。如果旅行社总共需要冲洗105张照片（不考虑多人合影），那么这个旅行团可能有多少人？（分析：这是“握手模型”吗？）

教师巡视，个别辅导。对于B、C组问题，可组织小组讨论后，由学生代表上台讲解思路。

设计意图：设计分层练习，满足不同层次学生的发展需求。A组巩固本节基础模型；B组引入稍复杂的变式，需要学生更灵活地应用模型或转换视角；C组则指向跨学科联系和开放探究，旨在拓宽学生视野，激发学有余力学生的探究热情，体现课程的弹性和选择性。

第五环节：反思总结，体系建构（预计时间：5分钟）

活动一：知识树梳理

师：请同学们以思维导图或知识树的形式，总结本节课的核心内容。

（学生自主构建，教师可提供框架提示：中心主题“一元二次方程的应用——握手与互赠模型”；主要分支：1.两类基本问题（公式、区别）；2.建模一般步骤；3.常见变式举例；4.注意事项（检验）。）

活动二：思想方法提炼

师：回顾今天的探索之旅，我们运用了哪些重要的数学思想方法？

师生共同总结：

1.建模思想：将生活问题转化为数学问题。

2.从特殊到一般：从具体数字入手，发现普遍规律。

3.数形结合：通过画图、连线帮助理解抽象关系。

4.分类与对比：辨析“握手”与“互赠”的本质差异。

活动三：困惑与展望

师：通过这节课的学习，你还有什么疑问？你觉得这个模型还能解决生活中的哪些问题？

（鼓励学生提出疑问，并畅想模型的其他应用场景，如社交网络的好友关系、交通网络的连通性分析等，将课堂思考延伸至课外。）

设计意图：引导学生从知识、方法、思想多个层面进行系统性回顾与反思，实现认知的结构化。通过提问和展望，保持探究的延续性，将课内学习与课外生活、未来发展相联系。

六、板书设计（结构化呈现）

左侧主板：核心推导与模型

一元二次方程的应用(二)

——互赠、握手问题模型

一、探究与建模

1.握手问题

人数x→每人握(x-1)次→总计x(x-1)次（重复）

∴总次数=x(x-1)/2

（图示：点与连线，每线算两次）

2.互赠问题

人数x→每人送(x-1)件→总计x(x-1)件

（图示：点与双向箭头，无重复）

∴总件数=x(x-1)

二、模型辨析核心

┌───────────────┬───────────────┐

│情境│关系特征│是否÷2│关键判断│

├───────────────┼───────────────┤

│握手│一对一关系│是│动作是共同的│

│互赠│一对二关系│否│礼物是分开的│

└───────────────┴───────────────┘

中间主板：典例解析与步骤

三、典例示范

例：握手36次，求人数。

解：设共有x人。

列方程：x(x-1)/2=36

化简：x²-x-72=0

求解：(x-9)(x+8)=0→x₁=9,x₂=-8

检验：x=-8（舍去）

答：共有9人。

四、解题步骤（六字诀）

审→设→列→解→验→答

（意义检验！）

右侧副板：变式与应用（随讲随写）

五、模型变式

•单循环比赛→握手模型

•多边形对角线→握手模型

•互发短信/微信→互赠模型

•车站单程票种→互赠模型

六、思想方法

建模思想、从特殊到一般、

数形结合、对比辨析

七、分层作业设计

【必做题】（全体学生完成，巩固基础）

1.教材对应章节的练习题。

2.