广东省深圳市南山区南二外2026年初三二模数学试卷附答案

初三二模数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分)1．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（）A． B． C． D．3．在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图).光线AB从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线BC射到玻璃砖下表面C处，点D在AB的延长线上，若∠1=55°，∠ABE=15°，则∠DBC=（)A．60° B．55° C．40° D．15°4．一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（)A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（)A．m<1 B．m>1 C．m>-1 D．m<-16．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”.问：人与车各多少?小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（)A．三人坐一辆车，有一车少坐2人 B．三人坐一辆车，则2人需要步行C．三人坐一辆车，则有两辆空车 D．三人坐一辆车，则还缺两辆车7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为9，则点C的坐标为（)A．（3，3) B． C． D．（4，3)8．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处.在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)则大楼MN的高度是（)米.（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6，精确到整数)A．88 B．90 C．92 D．94二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分)9．若关于x的一元二次方程.有一个根为x=-1，则m的值为.10．在平面直角坐标系xOy中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点P的坐标.11．如图，在正五边形ABCDE内，以AB为边作等边△ABF，再以点A为圆心，AE长为半径画弧.若AB=3，则图中阴影部分的面积是.12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点.DE与BC交于点F.若图像经过点C，且则k的值为.13．如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，点F在AD的延长线上，BE=DF，M为EF的中点，点N在边AB上，∠AMN=45°.若AB=7，AM=5，则MN的长为.三、解答题（共7小题，满分61分)14．计算：15．先化简，再求值：其中16．今年是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习.现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩进行整理（成绩得分用a表示)，其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图.请根据统计图提供的信息，回答如下问题：（1）本次共抽取了▲名学生的竞赛成绩，扇形统计图中，“一般”对应的圆心角的度数为▲，并将直方图补充完整；（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是；（3）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到良好及以上的人数；（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.17．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利.某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒2公顷农田，甲型机喷洒50公顷农田所用时间与乙型机喷洒60公顷农田所用时间相等.该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机20架，其中甲型无人机4万元/架，乙型无人机5万元/架.问题解决：（1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地?（2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒230公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低?并求出最低成本.18．如图，在等腰△ABC中，AH为底边BC上的高，∠ACB的角平分线交AH于点D，⊙O经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰AC上.（1）请画出⊙O（尺规作图，保留作图痕迹)；（2）求证：AH与⊙O相切；（3）当时，求⊙O的半径.19．【综合与实践】【情境导入】周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观。场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试。工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果。广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压。【数学建模】将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=2米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN（小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC)，现在斜坡底C处安装一个喷水管CP，水流呈抛物线状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x（米)与水流的高度y（米)的变化规律如表：x01234…y22…【探究任务】（1）根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为▲，并求出水流的函数解析式。（2）若调试时，水流恰好经过树顶N点，①为了美观，小树不能太高。请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN的最大可能高度是多少?②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称（即AM=AN)，请求出此时树顶N的坐标。③在灯光测试中，需要在MN右侧（靠近C的一侧)再放置一棵与MN等高的小树DE（D在坡面上，树干垂直BC)，且水流也能刚好经过树顶E。为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的取值范围。20．【综合探究】数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6，AC=DE=8，旋转角为（（1）【初步感知】如图1，连接AE，CD，将三角形纸片BDE绕点B旋转，求的值；（2）【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求CG的长；（3）【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由.

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；、是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：．【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.2．【答案】D【解析】【解答】解：，故选：D．【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.3．【答案】C【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，

∴，

∵，

∴，

∴，故答案为：C.【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据两直线平行，内错角相等，得到，结合对顶角，根据角的和差可得到结果．4．【答案】B【解析】【解答】解：由图可得，该球的频率稳定在0.20左右，则抽到该球的概率为0.20

∵抽到白球的概率为

抽到黑球的概率为

抽到红球的概率为

抽到黄球的概率为

∴该球的颜色最有可能是红球故答案为：B【分析】根据频率估计概率可得抽到该球的概率为0.20，再根据概率公式求出各球的概率即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程有两个不相等的实数根

∴

解得：m<1故答案为：A【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵小明同学设有x辆车，人数为y，若2人坐一辆车，则9人需要步行，所以y=2x+9；

又∵第二个方程右边是（x-2），说明车有两辆是空的，坐满人的车是（x-2)辆，3（x-2）说明每辆车坐三人

∴y=3（x-2）故答案为：C【分析】根据所列方程组进行分析即可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为

∴

由题意可得，BG=9

∴AD=BC=3

∵四边形ABCD是正方形

∴AD∥BG，AB=AD=3

∴△OAD∽△OBG

∴

∴

解得：

∴

∴点C的坐标为故答案为：B【分析】根据位似图形性质可得，则AD=BC=3，根据正方形性质可得AD∥BG，AB=AD=3，根据相似三角形判定定理可得△OAD∽△OBG，则，代值计算可得OA，求出OB，再根据点的坐标即可求出答案.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE=DN，DB=NE

∵斜坡AB的坡度i=3：4

∴

设BE=3a，则AE=4a

∴

∵AB=75

∴5a=75，解得：a=15

∴AE=60，DN=BE=45

设NA=x

∴BD=NE=AN+AE=x+60

在Rt△ANM中，∠NAM=58°

∴MN=ANsin58°=1.6x

∴DM=MN-DN=1.6x-45

在Rt△MDB中，∠MBD=22°

∴，即

解得：x=57.5

∴MN=1.6x=92故答案为：C【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D，则BE=DN，DB=NE，由题意可得，设BE=3a，则AE=4a，根据勾股定理可得AB，建立方程，解方程可得a，设NA=x，根据边之间的关系可得BD，根据正弦定义可得MN，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案.9．【答案】-5【解析】【解答】解：将x=-1代入方程可得：

1+4+m=0

解得：m=-5故答案为：-5【分析】将x=-1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.10．【答案】(-5，2)(答案不唯一)【解析】【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5

∴点P的坐标可以为(-5，2)故答案为：(-5，2)【分析】根据点的坐标即可求出答案.11．【答案】【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，△ABF是等边三角形

∴，∠BAF=60°，AF=AE=AB=3

∴∠EAF=∠BAE-∠BAF=48°

∴故答案为：【分析】根据正五边形内角可得∠BAE，根据等边三角形性质可得∠BAF=60°，AF=AE=AB=3，根据角之间的关系可得∠EAF，再根据扇形面积即可求出答案.12．【答案】-12【解析】【解答】解：设D(0，h)，A(a，0)，则E(-a，0)

∵B为OE的中点

∴

∴AE=AO+OE=2a

∵四边形ABCD是平行四边形

∴BC∥AD

∴△EBF∽△EAD

∴

∵

∴

∵

∴ah=8

∵四边形ABCD是平行四边形

∴CD∥AB，

∴点C的纵坐标为h，横坐标为，即

∵点C在反比例函数上

∴故答案为：-12【分析】设D(0，h)，A(a，0)，则E(-a，0)，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得AE，根据平行四边形性质可得BC∥AD，再根据相似三角形判定定理可得△EBF∽△EAD，则，即，再根据三角形面积可得ah=8，再根据平行四边形性质可得CD∥AB，，根据点的坐标可得，再代入反比例函数解析式即可求出答案.13．【答案】【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AM，垂足为点G

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=90°，AD=AB

∵点M为EF的中点

∴

∴EF=10

∵BE=DF

∴设BE=DF=x

∴AE=7-x，AF=7+x

∵EF2=AE2+AF2，即102=(7-x)2+(7+x)2

解得：x=1

∴AE=6，AF=8

∵

∴∠MAE=∠MEA

∴

设NG=4a，则AG=3a

∵∠AMN=45°

∴MG=NG=4a

∴AM=AG+MG=7a

∴

∴

∴故答案为：【分析】过点N作NG⊥AM，垂足为点G，根据正方形性质可得∠BAD=90°，AD=AB，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，设BE=DF=x，则AE=7-x，AF=7+x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=1，则AE=6，AF=8，根据等边对等角可得∠MAE=∠MEA，根据正切定义可得，设NG=4a，则AG=3a，根据等腰直角三角形性质可得MG=NG=4a，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.14．【答案】解：【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.15．【答案】解：原式当时，原式【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.16．【答案】（1）解：50；108；

补全直方图如下（2）95（3）解：(人)答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为620人。（4）解：从3名女生，1名男生中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，列表如下：男女女女男(男，女)(男，女)(男，女)女(女，男)(女，女)(女，女)女(女，男)(女，女)(女，女)女(女，男)(女，女)(女，女)共有12种等可能的情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，P(抽中2名女生)【解析】【解答】解：（1）由题意可得：

总人数为：4÷8%=50人

“一般”对应的人数为：50-4-23-8=15人

∴“一般”对应圆心角的度数为

故答案为：50；108

（2）将数据按从小到大的顺序排列为：91，93，94，94，96，98，99，100

处在最中间的数为94和96

∴中位数为

故答案为：95

【分析】（1）根据较差的人数与占比可得可得总人数，求出一半的人数，再根据360°乘以占比可得圆心角，再补全图形即可.

（2）根据中位数的定义即可求出答案.

（3）根据1000乘以达到良好及以上的人数占比即可求出答案.

（4）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出被抽取的2人恰好是女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.17．【答案】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒x公顷，则乙型每小时喷洒(x+2)公顷，

由题意列分式方程得，解得x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，∴x+2=12(公顷)，答：甲型无人机每小时喷洒10公顷，乙型无人机每小时喷洒12公顷；（2）解：设甲型无人机a台，则乙型无人机(20-a)台，总费用为w万元，由题意列一元一次不等式得，10a+12(20-a)≥230，解得a≤5，又由题意得，w=4a+5(20-a)=-a+100，∵-1<0，∴w的值随a的增大而减小，∴当a=5时，w最小值=-5+100=95(万元)，此时乙型无人机=20-5=15(台)，答：采购甲型无人机5台，乙型机15台时总费用最少，最少费用为95万元.【解析】【分析】（1）设甲型无人机每小时喷洒x公顷，则乙型每小时喷洒(x+2)公顷，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

（2）设甲型无人机a台，则乙型无人机(20-a)台，总费用为w万元，根据题意建立不等式，解不等式求出a的取值范围，再建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.18．【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；（2）证明：连接OD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ODC=∠DCB，∴OD∥BC，∵AH⊥BC，∴OD⊥AH，∵OD是⊙O的半径，∴AH与⊙O相切；（3）解：∵AB=AC=12，AH⊥BC，∴BH=CH，∴∠AHC=∠AHB=90°，∴CH=BH=4，∵∠ADO=∠AHC=90°，∠DAO=∠HAC∴△AOD∽△ACH，∴OD=3，∴⊙O的半径为3.【解析】【分析】（1）根据垂直平方式定义作出DC的垂直平分线交AC于点O，再以OD为半径作圆即可.

（2）连接OD，根据等边对等角可得∠ODC=∠OCD，根据角平分线定义可得∠ACD=∠BCD，则∠ODC=∠DCB，根据之间平行判定定理可得OD∥BC，则OD⊥AH，再根据切线判定定理即可求出答案.

（3）根据等腰三角形三线合一性质可得BH=CH，根据余弦定义可得CH，再根据相似三角形判定定理可得△AOD∽△ACH，则，代值计算即可求出答案.19．【答案】（1）解：顶点坐标为(2，)设抛物线解析式为将点(0，2)代入得：解得故抛物线解析式为（2）解：①设直线AC的解析式为y=kx+b，将A(0，2)，C(6，0)代入得解得∴直线AC的解析式为设点N的横坐标为m(0<m<6)，则点N的纵坐标为∴当时，MN有最大值，最大值为②如图所示，过A作AH⊥MN于点H，连接AN，设AH=t，则H(t，2)，}M(t，-t+2)，点N的纵坐标为点N的横坐标为t，∵AM=AN，∴H为MN中点，即HM=HN解得或t=0(舍去)，∴点N坐标为【解析】【解答】解：（2）③如图，由题意可得，DE∥MN，DE=MN

∴四边形DMNE是平行四边形

∴NE∥AC，即直线NE与抛物线要有两个不同的交点

∵直线AC的解析式为

∴设直线NE的解析式为

在

当x=6时，y=

∴

当直线NE恰好经过点时，则

解得：

∴此时直线NE的解析式为

联立，解得：x=6或

∴此时点N的横坐标为

当直线NE与抛物线恰好只有一个交点时

联立，整理得：3x2-20x+24b'-48=0

∴

解得：

∴方程3x2-20x+24b'-48=0，即为

解得：

∴此时，点N的横坐标为

综上所述，

【分析】（1）根据表格信息可得顶点坐标，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点(0，2)代入解析式即可求出答案.

（2）①设直线AC的解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为，设点N的横坐标为m(0<m<6)，则点N的纵坐标为，根据两点间距离，结合二次函数性质即可求出答案.

②过A作AH⊥MN于点H，连接AN，设AH=t，则H(t，2)，}M(t，-t+2)，点N的纵坐标为点N的横坐标为t，根据线段中点建立方程，解方程可得t值，再代入解析式即可求出答案.

③由题意可得，DE∥MN，DE=MN，根据平行四边形判定定理可得四边形DMNE是平行四边形，则NE∥AC，即直线NE与抛物线要有两个不同的交点，设直线NE的解析式为，将x=6代入抛物线解析式可得，再代入直线NE解析式可得此时直线NE的解析式为，联立抛物线解析式可得此时点N的横坐标为，当直线NE与抛物线恰好只有一个交点时，联立抛物线解析式可得3x2-20x+24b'-48=0，则判别式，解方程可得b'值，代入方程，再解方程即可求出答案.20．【答案】（1）解：∵∠ACB=∠BDE=90°，BC=BD=6，AC=DE=8，∴AB=BE=10，由旋转得：∠CBD=∠ABE，∵BC=BD，AB=BE，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∴△BCD∽△BAE，（2）解：如图2，延长CD交AE于H，连接BH交DE于M，由(1)知：∠BAE=∠BCD，∵CF是中线，∠ACB=90°，∴CF=AF=BF=5，∴∠BCF=∠FBC，∴∠FBC=∠BAE，∵∠AFH=∠BFC，∴△AFH≌△BFC(ASA)，∴CF=FH，∴四边形ACBH是平行四边形，∵∠ACB=90°，∴▱ACBH是矩形，∴∠AHB=90°，BH=AC=8，∵AB=BE，∴AH=EH=BC=6，设MH=x，∵∠EHB=∠HAC=90°，∠AEG=∠HEM，∴△AEG∽△HEM，∴AG=2x，∵EH=BD=6，∠EMH=∠BMD，∠EHM=∠BDM=90°，∴△EHM≌△BDM(AAS)，∴BM=EM=8-x，由勾股定理得：（3）解：AD的长是或【解析】【解答】解：（3）①如图，∠EAD=90°，过点B作B