北师大版初中数学九年级上册《菱形的性质与判定》单元教学设计

北师大版初中数学九年级上册《菱形的性质与判定》单元教学设计

  一、单元整体概述

  本单元隶属于“图形与几何”领域，是学生在系统学习平行四边形定义、性质与判定的基础上，对一类特殊平行四边形的深化研究。菱形作为平行四边形家族中的重要成员，其性质与判定的探索，不仅是平行四边形知识的自然延伸与专项深化，更是构建四边形研究体系、发展学生合情推理与演绎推理能力的关键节点。从知识脉络上看，它上承平行四边形的普遍规律，下启后续正方形等更特殊四边形的研究，起着承上启下的桥梁作用。从思想方法上看，本单元的学习贯穿了“从一般到特殊”的数学思想，学生将通过观察、猜想、操作、证明等一系列数学活动，经历完整的几何概念形成与定理发现过程，深刻体会性质与判定之间的互逆关系。此外，菱形因其自身匀称、优美的几何特性，在艺术设计、建筑结构、工程制造等领域有着广泛应用，这为开展跨学科主题学习、培养学生数学应用意识和创新精神提供了绝佳素材。本单元教学设计旨在超越对孤立的性质与判定定理的记忆与套用，引导学生在真实或拟真的问题情境中，通过主动探究与深度思考，构建关于菱形的结构化知识网络，发展高阶几何思维与问题解决能力。

  二、学情分析

  从认知基础看，九年级学生已经掌握了平行四边形的定义、性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分）和判定方法，具备了初步的几何证明能力，熟悉全等三角形、等腰三角形等基本工具的应用。从思维特点看，该阶段学生的抽象逻辑思维能力正处于快速发展期，能够进行一定的假设、推理和论证，但思维的严谨性、系统性仍需通过具体的几何探究活动加以锤炼。他们对“特殊与一般”的关系有模糊认识，但尚未形成自觉的数学思想方法。从学习心理看，学生可能对单纯的定理证明感到枯燥，但对动手操作（如折叠、旋转）、图形变换（如利用动态几何软件）以及解决具有实际背景或挑战性的问题抱有浓厚兴趣。潜在的学习困难可能在于：一是如何将平行四边形的已有知识有效迁移到菱形这一特殊对象上，并准确甄别其独特属性；二是在判定定理的探索中，如何自主构建恰当的猜想并寻找证明路径；三是在复杂问题中，如何灵活、综合地运用菱形和平行四边形的性质与判定。因此，教学设计需创设富有吸引力的情境，搭建从旧知到新知的“脚手架”，设计层层递进的探究任务，鼓励合作交流与反思，并适时融入信息技术工具以深化理解。

  三、单元学习目标

  基于课程标准、教材内容与学情分析，确立本单元三维学习目标如下：

  1.知识与技能目标：理解菱形的定义，探索并证明菱形的所有性质定理（包括轴对称性、四边相等、对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角）；探索并证明菱形的判定定理（包括定义法、四边相等的四边形、对角线互相垂直的平行四边形）。能够熟练运用这些性质和判定进行几何计算、推理论证及解决简单的实际问题。

  2.过程与方法目标：经历“观察实物/图形—提出猜想—操作验证—逻辑证明—归纳概括”的完整探究过程，体会数学研究的基本路径。通过类比平行四边形的研究思路，自主构建菱形的研究框架，深化“从一般到特殊”的认知策略。在解决综合性问题时，发展分析图形、分解条件、综合运用定理的能力，以及几何直观、空间想象和演绎推理素养。

  3.情感态度与价值观目标：在探究菱形对称美的过程中，感受几何图形的内在和谐，激发数学学习兴趣和审美情趣。通过了解菱形在文化、科技、生活中的广泛应用，体会数学的实用价值，增强应用意识。在小组合作探究与交流中，培养严谨求实的科学态度、乐于分享的合作精神及克服困难的意志品质。

  四、单元教学重难点

  教学重点：菱形的性质定理（特别是“对角线互相垂直”这一区别于一般平行四边形的特性）与判定定理的探索、证明及其应用。突破重点的关键在于设计有效的探究活动，引导学生从不同角度（定义、图形变换、度量等）发现特性，并通过严谨的逻辑证明确认，再辅以多层次、变式化的应用练习加以巩固。

  教学难点：菱形判定定理的发现与证明，特别是“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这一判定方法的探索与理解；在复杂几何图形中灵活、综合地选择和应用菱形的性质与判定解决问题。突破难点的策略包括：利用性质与判定的互逆关系启发猜想；通过构造全等三角形或利用垂直平分线性质等不同方法证明判定定理，开阔学生思路；设计由易到难的问题链和综合性例题，引导学生在分析、尝试、反思中提升综合运用能力。

  五、单元整体教学思路与课时安排

  本单元采用“整体感知—分项探究—综合应用—评价反思”的大单元教学架构，打破传统分课时孤立讲授性质和判定的模式，将二者有机融合，突出知识之间的内在联系。教学以“探寻一类特殊平行四边形的奥秘”为核心任务驱动，贯穿始终。计划用3课时完成核心内容教学，并预留1-2课时用于项目式学习或拓展深化。

  第一课时：菱形的定义与性质探究。从生活实例和图形变换引入，明确菱形定义。重点组织学生通过折叠、测量、推理等多种方式，自主探究并证明菱形的所有性质，特别是其对称性和对角线特性，并与平行四边形性质进行对比归纳。

  第二课时：菱形的判定探索。从性质定理的逆命题出发，引导学生提出关于菱形判定的猜想，并分组对不同的猜想进行证明或举反例否定，最终归纳出菱形的常用判定方法。通过辨析不同判定条件之间的逻辑关系，构建判定体系。

  第三课时：性质与判定的综合应用。设计涵盖计算、证明、作图及简单实际应用的综合性问题，训练学生根据问题情境灵活选择和应用知识的能力。引入动态几何软件，探究菱形在变化中的不变关系。

  （可选）第四课时：跨学科项目实践——“菱形之美与应用”。组织学生以小组为单位，从艺术（图案设计）、科技（结构力学）、生活（物品识别）等角度，寻找、研究或创作蕴含菱形元素的作品或模型，进行展示交流。

  六、教学准备

  教师准备：1.多媒体课件，内含丰富的菱形生活图片（如菱形地砖、中国结、菱形网格结构等）、动态几何软件（如GeoGebra）制作的菱形性质与判定探究课件；2.供学生操作的学具：菱形纸片、图钉、细线、透明网格纸、刻度尺、量角器、剪刀；3.设计并印制探究活动任务单、分层练习题卡及项目学习指导手册。

  学生准备：复习平行四边形相关知识；准备直尺、圆规、量角器等绘图工具；预习生活中有哪些菱形图案或物品。

  七、教学过程设计

  第一课时：菱形的定义与性质探究

  【环节一：创设情境，感知菱形】（预计时间：8分钟）

  学生活动：观看多媒体展示的一组图片：菱形形状的中国结、菱形地砖铺就的地面、菱形网格的装饰铁艺、汽车品牌标志（如菱形标志）等。观察这些图片中共同出现的图形特征。动手用课前准备好的细线和图钉，模仿教师或自主尝试，在钉板上围出一个平行四边形，并通过调整，使其邻边长度相等。

  教师活动：播放图片，提出问题：“这些图片中反复出现的图形，它和平行四边形有什么关系？有什么独特之处？”引导学生描述其边、角特征。演示在动态几何软件中，将一个平行四边形的一组邻边长度设置为相等，观察图形的变化。引出课题：这种有一组邻边相等的平行四边形，就是我们今天要深入研究的新图形。

  设计意图：从现实世界和图形变换两个维度引入，让学生直观感知菱形的广泛存在及其与平行四边形的从属关系，激发学习兴趣和探究欲望。动手操作有助于建立初步的几何表象。

  核心素养指向：几何直观、数学抽象。

  【环节二：归纳定义，明确对象】（预计时间：5分钟）

  学生活动：基于观察和操作，尝试用自己的语言描述菱形的特征。阅读教材，对比并精确定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。强调定义的双重属性：首先是平行四边形，其次要满足一组邻边相等。在练习本上画出几个不同方向、不同大小的菱形。

  教师活动：板书菱形定义，并用符号语言表示：在平行四边形ABCD中，若AB=BC，则平行四边形ABCD是菱形。强调定义既是判定也是性质。纠正学生描述中的不准确之处。

  设计意图：将直观感知上升为精确定义，明确研究对象，为后续探究奠定基础。强调定义的核心地位。

  核心素养指向：数学抽象、逻辑推理。

  【环节三：合作探究，发现性质】（预计时间：20分钟）

  学生活动：以4人小组为单位，利用发放的菱形纸片、刻度尺、量角器、剪刀等工具，结合动态几何软件（教师提供统一课件或学生自主操作），开展多路径探究。任务单引导如下：1.对称性：将菱形纸片对折，你能发现它的对称性吗？（轴对称，有几条对称轴？它们之间有什么关系？）2.边：度量菱形的四条边，你有什么发现？如何证明？（引导利用定义和平行四边形性质）。3.角：菱形的对角、邻角有什么关系？是平行四边形性质的直接继承吗？4.对角线：这是探究重点。①画出菱形的两条对角线，用刻度尺测量它们的长度，观察位置关系（相交的夹角）。②用量角器测量对角线被交点分成的各小角，以及对角线与各边的夹角。③沿对角线剪开菱形纸片，你能拼成什么特殊图形？这说明了什么？④尝试证明你的猜想：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

  教师活动：巡视各组，观察探究过程，提供必要的指导（如提示证明思路：利用等腰三角形“三线合一”或三角形全等）。鼓励不同小组从不同角度进行验证和证明。收集小组探究中的共性疑问或精彩发现。

  设计意图：将性质发现的主动权交给学生。通过动手操作、度量观察、软件验证、逻辑证明等多种方式，全方位、深层次地探索菱形性质，特别是对角线这一核心特性。合作学习促进思维碰撞。

  核心素养指向：直观想象、逻辑推理、合作交流。

  【环节四：交流论证，归纳性质】（预计时间：10分钟）

  学生活动：各小组派代表汇报探究成果，重点阐述对对角线性质的发现与证明思路。其他小组进行补充、质疑或评价。全体学生在教师引导下，共同梳理、归纳菱形的全部性质，并用文字语言、图形语言和符号语言进行系统表述和板书。

  教师活动：组织有序的汇报与交流。针对学生证明中的关键步骤进行追问和强调（如证明垂直时，利用“AB=BC，OA=OC”推出等腰三角形，再用“三线合一”）。系统板书菱形性质定理：1.具有平行四边形的所有性质；2.菱形的四条边都相等；3.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；4.菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴。引导学生将性质与平行四边形的性质进行对比表格化整理。

  设计意图：通过集体论证，将感性认识理性化、零散知识系统化。规范的数学表达训练学生的逻辑性和严谨性。对比整理有助于构建知识网络。

  核心素养指向：逻辑推理、数学建模、数学交流。

  【环节五：初步应用，巩固新知】（预计时间：7分钟）

  学生活动：独立完成针对性练习题。例如：①已知菱形ABCD的周长是20cm，一条对角线AC长6cm，求菱形的边长和另一条对角线BD的长。②如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，对角线AC与BD相交于点O，求∠ABD、∠BAC的度数，并说明△ABC的形状。

  教师活动：出示练习题，限时完成。巡视指导，关注学困生。选取典型解答进行投影展示和简要讲评，强调性质的应用要点（如利用边长相等求周长，利用对角线垂直平分和分角进行角度计算）。

  设计意图：趁热打铁，通过基础应用及时巩固对性质的理解，特别是边相等和对角线特性的直接运用，检验学习效果。

  核心素养指向：数学运算、逻辑推理。

  【课后作业与延伸】

  1.基础作业：教材配套练习，涉及菱形性质的基本计算和简单证明。

  2.探究作业：思考：菱形的面积公式除了“底×高”，能否通过对角线长度来表示？尝试推导。

  3.实践作业：寻找家中或社区环境中的菱形实例，拍照或绘图，并尝试估算其某个尺寸（如边长）。

  第二课时：菱形的判定探索

  【环节一：复习旧知，逆向设问】（预计时间：5分钟）

  学生活动：回顾菱形的定义和上节课探究的所有性质，回答教师提问。思考：我们知道了菱形“是什么样”（性质），那么，如何判断一个四边形是菱形呢？除了定义，还有别的方法吗？

  教师活动：通过提问快速回顾菱形性质。提出本课核心问题：“性质告诉我们菱形具有哪些特征。反过来，具备这些特征的四边形，一定是菱形吗？我们如何判定一个四边形是菱形？”明确本课任务：探索菱形的判定定理。

  设计意图：温故知新，利用性质与判定之间的互逆关系自然引出课题，明确探究方向。

  核心素养指向：逻辑推理。

  【环节二：猜想与验证（一）——从边和定义出发】（预计时间：15分钟）

  学生活动：小组讨论。首先明确：定义（一组邻边相等的平行四边形）本身就是最直接的判定方法。那么，对于一般的四边形，如果“四条边都相等”，它能判定是菱形吗？尝试画出四条边都相等的四边形，观察其形状是否一定是平行四边形？进而一定是菱形吗？写出已知、求证，并尝试证明。命题：四条边都相等的四边形是菱形。

  教师活动：引导学生将性质“菱形的四条边相等”逆过来思考。组织学生对“四边相等的四边形是菱形”这一猜想进行论证。提示证明的关键：先证它是平行四边形（两组对边分别相等），再结合菱形定义或直接根据“四边相等”得出是菱形（此时定义可简化为“四边相等的四边形”）。板书该判定定理。

  设计意图：从最简单的性质逆命题入手，引导学生经历猜想、画图感知、逻辑证明的过程，掌握第一种除定义外的判定方法。

  核心素养指向：逻辑推理、直观想象。

  【环节三：猜想与验证（二）——从对角线出发】（预计时间：20分钟）

  学生活动：继续小组探究。性质“菱形的对角线互相垂直平分”，其逆命题包含两部分：1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？2.对角线互相平分的四边形是平行四边形，那么再加上什么条件能成为菱形？（例如垂直？平分且相等？）重点探究第一个命题：已知在平行四边形ABCD中，AC⊥BD，求证：ABCD是菱形。尝试多种证明方法（如利用垂直平分线性质、三角形全等、面积法等）。对于“对角线互相平分且垂直的四边形”，能直接判定为菱形吗？（需要先判定为平行四边形）。

  教师活动：这是本课难点。引导学生聚焦于“对角线互相垂直的平行四边形”。启发学生思考：在平行四边形基础上，加上对角线垂直，能推出邻边相等吗？如何推？组织学生展示不同的证明方法。对比强调：条件“对角线互相垂直”必须作用于“平行四边形”这个基础上，才能得到菱形。单纯的对角线互相垂直的四边形不一定是菱形。板书判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

  设计意图：深入探究核心判定定理。通过多法证明确保学生理解透彻。强调判定条件的前提（平行四边形）至关重要，培养学生思维的严密性。

  核心素养指向：逻辑推理、创新思维（一题多解）。

  【环节四：归纳体系，辨析关系】（预计时间：10分钟）

  学生活动：与教师一起梳理目前已获得的菱形判定方法，形成体系：1.定义法：一组邻边相等的平行四边形。2.边条件：四边相等的四边形。3.对角线条件：对角线互相垂直的平行四边形。思考并讨论：这些判定方法之间有什么联系？在具体问题时，如何选择最便捷的判定方法？（例如，已知条件涉及边较多，考虑用边条件；涉及对角线关系较多，考虑用对角线条件）。

  教师活动：系统板书三种判定方法。引导学生用结构图表示它们之间的关系（都指向证明四边形是菱形，但路径不同）。通过辨析性提问加深理解：①“对角线互相平分且垂直的四边形”是菱形吗？（是，因为先由互相平分得平行四边形，再加垂直条件）。②“对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形”是菱形吗？（是，理由类似）。强调判定思维的核心：先确定四边形类型（是否是平行四边形），再附加特殊条件。

  设计意图：构建完整的判定知识体系，厘清各判定定理的逻辑层次和应用情境，提升学生选择策略的能力。

  核心素养指向：逻辑推理、系统思维。

  【环节五：判定初步应用】（预计时间：10分钟）

  学生活动：完成判定定理的初步应用练习。例如：①判断题：对角线互相垂直的四边形是菱形。（）；四边都相等的四边形是菱形。（）。②证明题：已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别添加下列条件之一，证明它是菱形：（A）AB=BC；（B）AC⊥BD；（C）∠BAC=∠DAC。③简单实际情境：小明用长度相等的四根木条钉成了一个四边形，他能确定这是菱形吗？为什么？若将这个四边形拉动变形，要保证它始终是菱形，需要在连接处加上什么限制？

  教师活动：出示练习题，组织学生独立或同桌互议完成。重点讲评证明题的思路分析，强调书写规范。通过实际情境题，引导学生理解判定的实际意义。

  设计意图：通过辨析、证明和简单应用，巩固对判定定理的理解，特别是条件细节的把握，初步体验判定的应用。

  核心素养指向：逻辑推理、数学应用。

  【课后作业与延伸】

  1.基础作业：教材相关练习，巩固三种判定方法。

  2.思考作业：尝试用至少两种不同的判定方法证明同一个四边形是菱形，比较优劣。

  3.预习作业：浏览教材综合例题，思考如何综合运用性质和判定解决问题。

  第三课时：性质与判定的综合应用

  【环节一：知识回顾，构建网络】（预计时间：8分钟）

  学生活动：通过完成一个简单的思维导图或概念图，回顾菱形的定义、所有性质定理和判定定理，并注明它们之间的互逆、衍生关系。同桌相互检查、补充。

  教师活动：提供框架或关键词提示，引导学生自主构建知识网络。最后展示一个完整的知识结构图，强调性质和判定的对应关系及综合应用的思想。

  设计意图：将前两课时分散学习的知识系统化、结构化，形成整体认知，为综合应用做好认知准备。

  核心素养指向：系统思维、归纳概括。

  【环节二：典例剖析，掌握策略】（预计时间：25分钟）

  学生活动：在教师引导下，共同分析与解决两道综合性例题。

  例题1（计算与推理综合）：已知菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD=60°，对角线AC、BD相交于点O。求：（1）对角线AC、BD的长度；（2）菱形ABCD的面积；（3）点O到各边的距离。

  学生活动：分析：由∠BAD=60°和邻边相等，可得△ABD是等边三角形，从而BD=6cm。再结合对角线垂直，在Rt△AOB中利用勾股定理求OA，得AC。面积可用对角线乘积的一半。点O到边的距离即为△OAB的边AB上的高。尝试独立或小组讨论完成解答。

  教师活动：引导学生挖掘角度条件（60°）的特殊性，联想到等边三角形。强调综合运用菱形性质（边相等、对角线垂直平分、对角线分角）及勾股定理、等边三角形性质、面积法等知识。板书规范解答过程。总结策略：遇菱形，常连对角线，将问题转化为直角三角形或特殊三角形问题。

  例题2（判定与性质综合证明）：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC与BD相交于点O。点E、F分别是AB、AD上的点，且满足AE=AF。连接EF交AC于点G。求证：四边形BEDF是菱形。

  学生活动：分析图形，寻找可能满足的菱形判定条件。已知AB=AD，CB=CD，可证△ABC≌△ADC(SSS)，得∠BAO=∠DAO，即AC平分∠BAD。结合AE=AF，可证△AEG≌△AFG(SAS)，得EG=FG，且AG⊥EF？进一步分析……尝试梳理证明思路：先证AC垂直平分BD（由AB=AD，CB=CD），得OB=OD，且AC⊥BD。再证△ABD中，EF//BD？或利用对称性……小组展开深度讨论。

  教师活动：此题为经典综合题，难度较大。引导学生从整体观察图形，发现AB=AD，CB=CD意味着点A、C都在线段BD的垂直平分线上，从而AC是BD的垂直平分线，这是关键第一步。然后分析要证BEDF是菱形，可先尝试证其为平行四边形（如对角线互相平分），再证邻边相等或对角线垂直。连接交点后，利用全等三角形寻找边角关系。逐步启发，揭示辅助线做法和证明逻辑。展示完整证明过程，强调思路的突破点和综合运用知识的技巧。

  设计意图：通过典型例题，深度训练学生分析复杂图形、综合运用菱形性质和判定进行推理计算的能力。教师引导下的分析过程重于答案本身，旨在传授解题策略和思维方法。

  核心素养指向：逻辑推理、几何直观、综合分析。

  【环节三：变式训练，拓展思维】（预计时间：10分钟）

  学生活动：基于例题2进行变式思考与练习。变式1：若将条件“AE=AF”改为“BE=DF”，结论还成立吗？如何证明？变式2：若点E、F分别运动到BA、DA的延长线上，且满足BE=DF，四边形BEDF还是菱形吗？利用动态几何软件（GeoGebra）拖动点E、F观察图形变化，猜想并尝试证明。

  教师活动：出示变式问题，鼓励学生大胆猜想，小心求证。利用动态几何软件演示图形变化过程，使抽象的逻辑关系可视化，帮助学生发现不变量和变化规律。引导学生比较原题与变式在证明方法上的异同。

  设计意图：变式教学能有效克服思维定势，深化对本质的理解。动态几何软件的介入，将静态证明与动态探索结合，培养了学生的探究能力和空间观念。

  核心素养指向：逻辑推理、创新思维、直观想象。

  【环节四：课堂小结，提炼升华】（预计时间：7分钟）

  学生活动：分享本课学习收获，总结解决菱形综合问题的常用策略（如连接对角线化归为三角形；注意运用菱形的对称性；判定时先定基础图形类型；综合运用全等、垂直平分线、勾股定理等工具）。

  教师活动：引导学生从知识、方法、思想层面进行总结。强调“性质是‘有什么’，判定是‘凭什么’”，在解决问题时要根据已知条件和求证目标灵活转换视角，综合运用。

  设计意图：反思学习过程，提炼数学思想方法，实现从解题到思维的升华。

  核心素养指向：反思归纳、元认知。

  【课后作业与延伸】

  1.综合练习：完成一组涵盖计算、证明、作图的综合练习题，难度分层。

  2.挑战题：研究菱形内一点到四边距离之和是否为定值？若是，这个定值与什么有关？

  3.项目准备：为下节课（若安排）的“菱形之美与应用”项目学习做准备，选择感兴趣的方向，开始构思或搜集资料。

  八、跨学科联系与项目式学习建议（可选第四课时框架）

  主题：菱形之美与应用——一场跨学科的探索之旅

  任务：小组（4-5人）任选以下一个方向，进行深度研究并制作展示成果（PPT、模型、海报、短视频等形式）。

  方向A（数学与艺术）：研究菱形在各国传统图案（如中国冰裂纹窗格、伊斯兰镶嵌艺术）、现代标志设计、平面构成中的应用。分析其美学原理（对称、重复、韵律），并尝试运用菱形进行一件简单的图案或标识设计。

  方向B（数学与科技工程）：探究菱形（或菱形网格）结构在桥梁桁架、卫星天线、建筑穹顶、自行车车架等工程结构中的应用。研究其力学特性（如稳定性、受力分布），用简单材料（如木棒、橡皮筋）制作一个菱形结构模型，测试其承重能力。

  方向C（数学与生活）：调查菱形在日常生活用品中的体现（如菱形网格的沥水篮、菱形花纹的轮胎、菱形切割的钻石）。从功能角度分析采用菱形设计的优势（如排水、防滑、光学效果等）。可以设计一个改善生活便利性的、包含菱形元素的小发明或改进方案。

  过程：课内提供1课时进行方案讨论、资料初步整理和教师咨询。课后小组利用一周时间完成研究、制作和成果整理。安排1课时进行班级成果展示交流与评价。

  评价：制定包括数学内容准确性、跨学科联系深度、创新性、实践性、展示效果等维度的评价量规，采用教师评价、小组互评、学生自评相结合的方式。

  九、分层作业与拓展学习设计

  为满足不同层次学生的发展需求，本单元作业与拓展设计遵循“基础巩固、能力提升、拓展探究”三层结构：

  基础层：紧扣教材核心概念与定理，设计模仿性、重复性练习，确保所有学生掌握必备知识与技能。如：直接运用性质计算边长、角度、对角线长；直接应用判定定理完成简单证明。

  提升层：设计具有一定综合性和思维含量的题目，需要学生综合运用多个知识点或进行两步以上的推理。如