2025-2026月考试卷8年级（数学）三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型（原卷版）

近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及 2 2 24 36 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+2证明：根据飞镖模型：LDCB=LD+LB+LDAB，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，有趣的“飞镖图”形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°,即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=1又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°,∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是∠AGB=110°,请你直接写出∠C的大小．A．72OB．70O例32023·江苏南京·七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．小亮：已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD，试探究7BDC与LA，71，72之间的关系．小明：可以用三角形内角和定理去解决．小∴7BDC=180°-7DBC-7BCD等式性质）∵7A+71+72+7DBC+7BCD=180°,∴7A+71+72=180°-7DBC-7BCD，∴7BDC=7A+71+72．()①如图①,在凹四边形ABCD中，7BDC=135°,7B=7C=25°,求7A=；②如图②,在凹四边形ABCD中，LABD与LACD的角平分线交于点E，7A=60°,7BDC=140°,则7E=；③如图③,LABD，LACD的十等分线相交于点、F1、F2、…、F9，若7BDC=120°,7BF3C=64°,则LA的度数为；④如图④,LBAC，7BDC的角平分线交于点E，则LB，LC与LE之间的数量关系是；⑤如图⑤,LABD，LBAC的角平分线交于点E，7C=40°,7BDC=140°,求7AEB的度数．∠C＝180O2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D=∠A+∠B+∠C．【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】变式22023春·江苏·七年级专题练习）如图，BE是LABD的平分线，CF是LACD的平分线，BE与CF交于G，若7BDC=140O，7BGC=110O，则7A=．变式3.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，AB<AC<BC，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D.求证1）AB+AC<AD+BC2）AB+AC<AP+BP+CP.ABDCBDCP1∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠C71+73=7ABC+7D；②71+73>7ABC+7D；③71+72+73=360°;④71+72+73<360°.其中正例22022·江苏宿迁·七年级校考期中）三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于(1)【定理推论】如图②,在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°,点D是BC延长线上一点．由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°,所以∠ACD=．从而得到三角形内角和定理的推论：三①若∠A=80°,∠DBC=150°,则∠ACB=°;②若∠A=80°,则∠DBC+∠ECB=°.①若∠A=80°,∠P=150°,则∠DBP+∠ECP= ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤,若∠O=50°,求∠A和∠P之间的数量关系；③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥,若∠A=∠P，求证：BM∥CN．例32022春·福建泉州·七年级校联考期中）△ABC中，LC=70o，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两个定点，点P是平面内一动点，令LPDA=L1，LPEB=L2，LDPE=Lα.初探：(1)如图1，若点P在线段AB上运动，①当Lα=60o时，则L1+L2=______o；②Lα、L1、L2之间的关系为(2)再探：若点P运动到边AB的延长线上，如图2，则7α、71、72之间有何关系？并说明理由．(3)拓展：请你试着给出一个点P的其他位置，在图3中补全图形，写出此时7α、71、72之间的关系，并变式12023·湖北武汉·八年级校考阶段练习1）如图，将LBAC沿DE折叠，使点A落在LBAC的内部的点M处，当7A=50O，7BDM=30O时，求7CEM的度数；（2）如图，将LBAC沿DE折叠，使点A落在LBAC的外部的点M处．求图中LA，7BDM，7CEM（3）如图，将LA、7B一起沿EF折叠，使点A、点B的对应点M、N分别落在射线BD的左右两侧，7CEM，7DFN，LA、7B的数量关系．(直接写结果，不需要过程）∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-(则∠B的度数为()点D的位置，则L1-L2的度数是()边上的定点，点E在BC边上运动，沿DE折叠△CDE，折叠后点C落在点F处．下面我们来研究折叠后的△DEF有一边与原三角形△ABC的一边平行时LADF的值．(1)首先我们来研究边DE．因为DE和△ABC的AC、BC相交，所以只有一种可能的情况（如图2DE∥AB，此时LADF=．(2)其次，我们来研究边EF．因为点E在BC上，所以EF可能与△ABC的边AB、AC边分别平行．当EF∥AB时（如下图则LADF=．当EF∥AC时（如下图则LADF=．(3)最后，我们来研究边FD．因为点D在AC上，所以FD可能与△ABC的边AB、BC边分别平行．当FD∥AB时，LADF=．当FD∥BC时，LADF=．变式12023春·江苏·七年级期中）如图，在△ABC中，LA=60。，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A9处．若LA,EC=70。，则LA,DE的度数为()A．55。D．70。变式22023·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得L1=65。，L2=135。，则LAEC为()A．20。B．25。D．32。12024.山东七年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是()22023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，LB=70°,沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则L1+L2等于()32023·河南·八年级假期作业）如图，在△ABC中，LA=20°,LABC与LACB的角平分线交于D1，LABD1与LACD1的角平分线交于点D2，依此类推，LABD4与LACD4的角平分线交于点D5，则LBD5C的度数是A．24°B．25°C．30°D．36°42023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在三角形纸片LA=90°,LB=65°,现将该纸片沿DE折叠，使点A、B分别落在点A,、B,处．其中，点B9在纸片的内部，点D、E分别在边AC、BC上．若LB9EC=15°,则LA9DC等于()A．55°C．65°D．70°52023·浙江·八年级假期作业）如图，△ABC中，LA=60°,将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A9处．如果LA9EC=70°,那么LA9DB的度数为．62023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A’处，A’D、A’E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A’NM＝27°,则∠NEC=.72023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，点E，F分别是AB，AC边上的点，连接EF，将△AEF沿着EF翻折，使点A与BC边上的点G重合，若LEGB=90°,LDCB+LCFG=82°,则LACD的度数为．82023·山东八年级课时练习）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE=AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论（一题多解92023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形．APBCBMQMQNPABCB102023春·河南新乡·七年级期中）发现与探究【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形ABOC中，判断LBOC与LA+LB+LC的数解：LBOC=LA+LB+LC，理由：延长BO交AC于点M，∵LBMC是△ABM的外角，同理，LBOC是△COM的外角，∴LBOC=LA+LB+LC（等量代换得到LC=90O，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示AE与BD的交点为C，且LA，LBLE保持不变，为了舒适，需调整LD的大小，使LEFD=115O，请直接写出，应将图中LD______ 112023春·上海·七年级专题练习1）在锐角ΔABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，LBPC=110O，求LA的度数2）如图，AF和CE分别平分LBAD和LBCD，当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线，LAPC=100O，则LB=．（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如下图：LADC=130O，LAPC=100O，求LB的度数．122023春·福建福州·七年级校考期末）如图①,凹四边形ABCD形似圆规，这样的四边形称为“规形”，(1)如图①,在规形ABCD中，若LA=80°,LBDC=130°,LACD=30°,则LABD=°;(3)如图③,在规形ABCD中，LBAC、LBDC的角平分线AE、DE交于点E，且LB＞LC，试探究LB，LC，LE之间的数量关系，并说明理由．已知LA，在LA的两边上分别取点B、C，在LA的内部取一点O，连接OB、OC．设LOBA=L1，7OCA=72，探索LBOC与LA、L1、L2之间的数量关系．【初步感知】如图1，当点O在△ABC的边BC上时，LBOC=180O，此时LA+L1+L2=180O，则LBOC与LA、L1、L2之间的数量关系是LBOC=LA+L1+L2．【问题再探】（1）如图2，当点O在△ABC的内部时，请写出LBOC与LA、L1、L2之间的数量关系并说明理由2）如图3，当点O在△ABC的外部时，LBOC与LA、L1、L2之间的数量关系是；①若LA=50O，LBOC=100O，则LP=°;②若7BOC=47A且LP=30O，则LA=°;③直接写出LBOC与LA、LP之间的数量关系；（2）如图5，L1的平分线与L2的外角平分线相交于点Q，则LQ=（用LBOC、LA表示142023·河北·八年级专题练习）如（1）求证：LADC=LDAB+LDCB+LABC2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若7EDF=120O，求LA+LB+LC+LG+LE+LF的度数．角形纸片中，点D，E分别在边AC,BC上，将LC沿DE折叠，点C落在点C'的位置．(1)如图1，当点C落在边BC上时，若LADC,=58°,则LC可以发现LADC,与LC的数量关系 ；(2)如图2，当点C落在△ABC内部时，且LBEC,=42°,LADC,=20°,求LC的度数；(3)如图3，当点C落在△ABC外部时，若