2025-2026月考试卷8年级（数学）角平分线的性质（原卷版）

12025·浙江杭州·模拟预测）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定AD是△ABC的角平分线的是224-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知△ABC的面积为26，BP平分LABC，AP丄BP于点P，并延长AP交BC于点D．则△BPC的面积是．定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平124-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图中线，下列结论错误的是()A．7ADB=90oB．7BAFBACC．BF=CFD．S△ABF=S△ACF224-25八年级上·浙江温州·课后作业）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=7ACB，LABC和LACB的平分线BD，CE相交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：）．1、角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.1（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.2（2）角平分线的性质定理与判定定理是两 性质定理→判定定理判定定理（3）角平分线的性质定理与判定定理在应224-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，BD是LABC的平分线，32的度数是()【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期那么LBOC的度数为()【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，DETOA于E，DFTOB于F，DE=DF，7AOD=25o，则7EDF的度数是．【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，点D在7AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，7DPO=36o，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP=DQ，则7DQO的度数为．124-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知P是7AOB平分线上一点，7AOP=15o，CP∥OB交OA于点C，PDTOB，垂足为D，且PC=6，(1)求7ACP的度数；(2)求PD的长．224-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在△ABC中，7C=90o，AD是7CAB的角平分线，DETAB于E，点F在边AC上，连接DF．且DF=DB．(2)若7BAC=40o，求7AFD的度数；324-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，在Rt△ABC中，7ACB=90o,7A=30o,BC=6，CD平分LACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA—AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP=时，△CPD与△CBD的面积相等；(2)点P在折线CA—AD运动过程中，当△BCP是等边三角形时，求7DCP的度数；(3)点P在折线CA—AD运动过程中，当△CPD是等腰三角形时，求7CPD的度数．424-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如果三角形的两个内角a与β满足2a+β=90o，那么我们称这（1）如图，在△ABC中，7C=90o，BD是△ABC的角平分线，求证：△ABD（3）在VABC中，7C=90°,7ABC=42°,点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出7APB的度数．【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在VABC中，AD平分7BAC，DETAC．若AB=3，DE=1，sinB，则线段AD的长为()【例2】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在VABC中，AB=10cm，AC=14cm，边BC的垂直平分线DE交VABC的外角7CAM的平分线于点D，垂足为E，DFTAC于点F，DGTAM于点G，连接CD．则AG的长是()【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，BD是7ABC的平分线，DETAB于E，S△ABC=33cm2，【例4】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，在△ABC中，7ACB=90o．①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC，AB相交于点M1，M2；分别以M1，M2为圆心，大1于M1M2的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线AM．212的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线BN，与射线AM相交于点P．③连接CP．124-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在△ABC中，7C=90o，AD是7BAC的平分线，DETAB22025八年级上·浙江·专题练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、(1)求证：AD垂直平分EF；324-25八年级上·浙江嘉兴·期中）王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下．标题素材图示（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P.AP是7BAC的平分线吗？请判断并说明理42025·浙江·模拟预测）小明和小亮在复习“三角形的角平分线”的有关定理时，产生了探究平分线分对边所得的两条线段和三角形的另外两边的关系”这一想法，于是决定一（1）情景一：如图1，在等腰VABC中，BA=BC，BD是VABC的角平分线，可知AD=CD，发现情景二：如图2，在Rt△ABC中，ÐC=90°,BD是VABC的角平分线，如果AC=3，BC=4，则AD=ADBAAD（2）两人猜想：三角形的一个角的平分线如图3，在VABC中，若BD是VABC的角平分线，则有交BD的延长线于点P，请画出图形，并帮他们写出证明过程．（3）如图4，在VABC中，AC=13，BC=14，AB=15，BE平分ÐABC且EC丄CB．①求VABC中BC边上的高；②求EC的长．【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在VABC中，ÐB，Ð于D，如果AB=18cm，BC=20cm，AC=22cm，且三角形的面积SΔABC=150cm2，那么OD的长为()A．4cmB．5cmC．6cmD．无法确定【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在Rt△ABC中，7C=90°,以顶点A为圆心，适当长为1半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧2交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD=4，AB=10，则△ABD的面积是()【例3】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分LABC和LACB，ODTBC于D，且OD=2，则△ABC的面积是【例4】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，LB=90。，以顶点C为圆心、适当1长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于EF为半径画弧，两弧交2124-25八年级上·浙江温州·课后作业）如下图，在△ABC中，7ABC和7ACB的平分线相交于点O，224-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，DETAB于E，DFTAC于F，AD平分7BAC，(1)求证：BE=CF；C交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．(1)求证：AG=AE；(2)连接AF并延长交BC于H，连接DH，若AB=10，CH=3，请将图形补充完整，并求△ABH的面积．424-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，7A=7B=7BCD=90o，速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒（t<0(1)四边形ABCD的形状为；(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S；【例1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，7BOC=110o，则LA的度数为().【例2】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在LAOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C,P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则OC的长度是()A．3cmB．2cmC．2.5cmD．3.5cm【例3】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，7C=90o，7B=60o，点D是BC边上一点，过点D作DETAB于点E，若DE=DC，则7ADE的度数为．住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是7AOB的平分线．”这样说的依据124-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）在VABC中，ÐBAC=60°,点D在BC上，AD=9，DETAB，DFTAC垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长．224-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，BE，CE分别为VABC的两个外角的角平分线，EP⊥AM32025·浙江宁波·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形．(1)如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，求证：CA平分7BCD；(3)如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，7B能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧已知：LAOB求作：LAOB的平分线．小明的作法：如图①,在射线OA上取点C，E，分别以O为圆心；O半径画弧，交射线OB于点D，F，连接CF，DE交于点P，过点P画射线OP，则射线OP为ÐAOB的平分线．小华的思路：如图②,在OA上任取一点E，在E的右侧作射线EM，使得7AEM=7AOB，在射线EM上取一点P，使EP=OE，过点P画射线OP，则射线OP是ÐAOB的平分线．任务一：小明的作法中，可以得出△OED≌△OFC，请你写出证明过程．（1）根据小华的作法，证明OP是ÐAOB的平分线；（2）拓展训练：如图③,在VABC中，BO平分ÐABC，CO平分ÐACB，EF经过点O，与AB，AC相交于点E，F，且EF∥BC．当AB=7，AC=6，求△AEF的周长．【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图所示，OP平分ÐAOB，PCTOA于点C，PDTOB于点D，若的距离相等，且使得S△ABH=S△BCH，则凉亭H是()A．7BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．7BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．7ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．7ABC的角平分线与BC边上中线的交点【例3】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分7BAC交BC于点D，DETAB【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，7BAC=790o，AD平分7BAC，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，若S△ABC=16，CF=6，则AG的长124-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，OC是7AOB的平分线，ACTOB于D，BCTOA于E．求证：AC=BC．224-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在△ABC中，AD平分7BAC，过点D作DETAB于点E，作DFTAC于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=6，AC=4，S△ABC=15，求DE的长．DETAB于点E．42025·浙江·模拟预测）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相(1)如图，在△ABC中，AE平分LBAC交BC于E，点D在线段AE上，用尺规过点D作AB的垂线，交AB于点F不写作法，保留作图痕迹）(2)已知：点D在△ABC内，且在AE上，DB=DC，DG丄AC于G．求证：AB=AC．在Rt△DBF和Rt△DCG中∴LDBC=LDCB．∴LABC=LABD+LBAC，LACB=LACD+LDCB进一步思考，点D在VABC外，其余条件不变，AB=AC还成立吗？写出你猜想的结论：⑤.（填“成立”1半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧2交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是()A．6B．9【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在VABC中，AB=AC，7BAC=36°,以点C为圆心，以BC的长为半径作弧，交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点F，的长为半径作弧，交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点F，A．7BCE=36°B．C．CE2=AD.ACD．AD=BE【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，7C=90°,AD平分ÐBAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且7B=7CED．若AB=16，CE=7，则AE的长为；【例4】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图，OP平分7MON，点A是在边OM上，以点A为圆心，大于点A1到ON的距离为半径作弧，交ON于点B，C，再分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交2于点D，作直线AD分别交OP，ON于点E，F若7MON=60o，EF=3，则OA的长度为．124-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知锐角△ABC，在BC边上找一点D，使得点D到AB，AC）．224-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在△ABC中，7BAC=90o，AD平分7BAC，DETAB于点E，DFTAC于点F，求证：四边形AEDF是正方形．324-25八年级上·浙江温州·期中）已知OM是LAOB的平分线，P是射线OM上一点，点C，D分别在射线OA,OB上，连接PC,PD．(1)如图①,当PCTOA，PDTOB时，PC与PD的数量关系是；(2)如图②,点C，D分别在射线OA,OB上运动，且7AOB=90O．当7PCO+7PDO=180O时，PC与PD42025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD是菱形，LDAB=60O，点O是对角线AC上的一点，eO与AB相切于点E，交AC于点F，连接EF．(1)求证：AD是eO的切线；(2)若菱形ABCD的边长为5，点F是AC的中点，求EF的长．【例1】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，AC∥BD，BC平分7ABD．以下结论不一定成立的是()A．7ABD=27ACBB．7BAC=37ACBC．AB=ACD．BC>2AB【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，△ABC中，7ABC和7ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F．③当7BAC=60o时，7BDC=27BAC；【例3】（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在△ABC中，7BAC的平分线交BC于点D，过点D作DETAC，DFTAB，垂足分别为E,F，连接EF．有下列结论：①7AEF=7AFE；②AD垂直平分EF；③EF∥BC；④S△BFD:S△CED=BF:CE．请写出一定正确的结论．【例4】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在△ABC中，7ABC和7ACB的平分线BD，CE相交于点O，BFTAC，垂足为点F，现给出以下结论：①点O在7BAC的角平分线上；②7EBO-7DCO=7ODC-7BEO；④若ABBC，则ADDC.124-25八年级上·浙江丽水·期中）如图，AD是VABC的角平分线，DETAB，DFTAC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G．请说明AD与EF的关系并证明你的结论．224-25八年级上·浙江温州·课后作业1）【动手操作】如图①,已知7AOB．①用量角器画7AOB的平分线OC．②在OC上任取一点M，画MPTOA,MQTOB，垂足分别为P,Q．③度量点M到OA,OB的距离，你发现了什么？在OC上再取几点试一试．（3）【结论应用】如图②,点P是7AOC的平分线上一点，PDTOA，垂足为D，且PD=3,M是射线OC上一动点，则PM的最小值是．）．AB=AC，作AD平分7BAC，交BC于点D．求证：BD=CD，且ADTBC．证明：(2)如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，过点D分别作DETAB，DFTAC，垂足分别是点E，F．若DE=DF，则下列结论错误的是①7ADC=90o，②7BAD=7CAD，③AD=BC，④BD=CD424-25八年级上·浙江丽水·期末）【情境建模】已知：如图1，点D在VABC的边BC上，AD平分7BAC，且ADTBC，求证：AB=AC．请你帮助小【理解内化】（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在VABC中，AD平分7BAC，ADTBD，7ABC=37C，求证：AC-AB=2BD．【拓展应用】上，步道OA、OB分别平分7BAC和7ABC，OMTOA，ONTOB．现要在△CMN区域修建公共设施，？（【例1】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知：如图，VABC中，7B=7C，求证：AB=AC，在证明该结论时，只添加一条辅助线：①作7BAC的平分线AD交BC于点D，②过点A作ADTBC于点D，③取BC中点D，连接AD，④作BC的垂直平分线AD，其中作法正确的个数是()【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，已知BP是7ABC的平分线，APTBP，若△BPC的面积为6cm2，则VABC的面积()【例3】（2025八年级上·浙江温州·专题练习）如图，D是△ABC的边BC上的一点，LBAD＝LC，LABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形中共有对【例4】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知，如图1，若AD是△ABC中7BAC的内角平分线，通过证明可得，同理，若AE是△ABC中7BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信的中线长l的取值范围是124-25八年级上·浙江金华·期中1）如图①,在Rt△ABC中，7C=90O，7B=45O，AD平分7BAC，交BC于点D．如果作辅助线DETAB于点E，则可以得到AC,CD,AB三条线段之间的数量关系（2）如图②,△ABC中，AD平分7BAC，交BC于点D，若有AB=AC+CD．试说明LC=2LB，写出证明过程提示：可以在线段AB上截取AC的等长线段）224-25八年级上·浙江湖州·期中）综合与实践【问题情境】数学活动课上，兴趣小组分享了一道题，如图1，点P，过点P作直线CD分别交BN,AM于C,D两点，CD丄BC．求证：PC=PD．（1）兴趣小组过通过添加辅助线PE丄AB于点E很快解答了此问题．请根据兴趣小组添加辅助线的方法，【深入探究】老师提出，当CD与BC不垂直，其它条件不变时，PC=PD还成立吗？【拓展应用】兴趣小组又进一步研究了这道题，并提出了新的问题，当CD与BC不垂直，其它条件不变时，324-25八年级上·浙江绍兴·期中）[问题]如图①,点D是7ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若7A与7C互补，则线段AD与CD有什么数量关系？7ABC，所以AD=CD，理由是探究二：若LA≠90O，请借助图①,探究AD与CD的数量关系并说明理由．[结论]点D是7ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若7A与7C互补，则线段AD与CD的数量[拓展]已知：如图③,在VABC中，AB=AC，7A=100°,BD平分ÐABC．求证：BC=AD+BD．424-25八年级上·浙江温州·阶段练习情景呈现）画7AOB=90°,并画ÐAOB的平分线OC．（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与ÐAOB的两边OA，OB垂直，垂足为E，F（如图1则PE=PF；若把三角尺绕点P旋转（如图2则PE PF选填：“<”、“>”或“=”）（2）在（1）的条件下，过点P作直线GHTOC，分别交OA，OB于点G，H，如图3．①图中全等三角形有对不添加辅助线）②猜想GE，FH，EF之间的关系为（3）如图4，画7AOB=60°,并画ÐAOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作7EPF=120°,7EPF的两边分别与OA，OB相交于E，F两点，PE与PF相等吗？请说明理由．【例1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()【例3】（24-25八年级上·浙江温州·单元测试）如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分LABC和LACB，OD丄BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．叠，如图1，使点B落在AC边上的点B9处，折痕所在的直线为l1，如图2，使点A落在BC边上的点A9处，折痕所在的直线为l2，l1与l2相交于点O．经测量得知，纸板的三边AB，AC，BC的长分别为224-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(324-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在ΔABC中，LABC的平分线与LACB的外角的平分线相交于点D．（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）连接AD，若LBDC=40o，求LDAC的度数．424-25八年级上·浙江宁波·期末）【习题回顾】（1）如下左图，在ΔABC中，BE平分LABC,CE平分【探究延伸】在ΔABC中，AI平分LBAC、BI平分LABC、CI平分LBCA相交于点I，过点I作DI丄IC，交AC于点D．（2）如上中间图，求证：LADI=LAIB；（3）如上右图，ΔABC外角LACE的平分线CF与BI的延长线交于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若LBAC=90o，试说明：CI=CF．124-25八年级上·浙江丽水·期中）下列命题中，真命题的个数为()直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到224-25八年级上·浙江金华·期中）校园的一角如图所示，其中线段AB，BC，CD表示围墙，围墙内是学生的一个活动区域，小明想在图中的活动区域内找到一点P这个点P的位置是()A．线段AC、BD的交点B．LABC、LBCD角平分线的交点C．线段AB、BC垂直平分线的交点D．线段BC、CD垂直平分线的交点324-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在()424-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射的度数是()524-25八年级上·浙江温州·模拟预测）已知：如图，O为三角形纸片ABC内部一点，连接OA、OB、OC，沿OA、OB、OC把纸片剪成三个三角形：△OAB、△OBC、△OCA，再使AB、BC、CA在一条直线上，若顶点O（相同O点用O,、O,,进行区分）都在直线MN上，且MN∥AB，则点O为△ABC的 624-25八年级上·浙江绍兴·期中）命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是）．724-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在VABC中，7C=90°,BD平分ÐABC，如果CD=2，点D到AB的距离是．824-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在VABC中，ÐABC和ÐACB的平分线BE、CD相交于AB+BC+AC=n，则S△ABCmn；④平面内到三条直线AB、AC、BC距离相等的点有1个．正确的