2025-2026月考试卷8年级（数学）利用勾股定理求几何最值问题（3大考点）（解析版）

1．如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．【答案】C【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用作点A关于直线FB的对称点G，连接CG，则CG为所求最小值，则AF=FG=2cm，过点G作GETCB，交CB的延长线于点E，故FB=EG=8cm，FG=EB=2cm，7GEB=90o，故故CG2．如图是一个长40cm、宽20cm、高60cm的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为()A．202cmB．302cmC．2010cmD．3010cm【答案】D【分析】作点P关于BC的对称点A，则AB=BP=60cm，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃DQcm，DB=DP=30cm，连接AQ，交BC于点E，此时最短，解答即可．本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理【详解】解：作点P关于BC的对称点A，则AB=BP=60cm，故展开图中DQ=×(40+20)=30cm，DB=DP=30cm，连接AQ，交BC于点E，此时最短，且AQ3．如图，一只蚂蚁从A处出发沿台阶爬行到达B处，已知每级台阶的宽度和高度分别是30cm和20cm，台阶长度AC=165cm，则蚂蚁爬行的最短路程为cm．【答案】275丫每级台阶的宽度和高度分别是30cm和20cm，\蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：AB的底面周长是2m，则这条花带的长度至少为m．【答案】【答案】7.5【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间把圆柱沿AB展开三圈，B点的对应点为C点，如图，由于BC=6m,AB=4.5m，则利用勾股AC=7.5，然后根据两点之间线段最短求解．则BC=6m，故答案为：7.5．【答案】39【分析】本题考查的是最短线路问题的应用，需要用到勾股定理内容，即直角三角形的依据题意结合图示可得：图形侧面展开找最短路线，从外侧到内侧，需要上翻，然后两点之间，线段最短，在直角三角形ABE中AB2=AE2+BE2，26．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA=10d离是6dm，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程．【答案】这只蚂蚁的最短行程是17dm可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将墙面ADEF展开与地面ABCD处于同一平面内，过点P作PG丄BF于点G，连接PB．2故这只蚂蚁的最短行程是17dm．题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右面和上面方体的后面和上面进行展开时，然后利用勾股定理进 所以蚂蚁按答图①爬行时，路程最短，AB=25，8．如图，在Rt△ABC中，LACB=90o，AC=3，BC=4，点D，E分别是AB，BC上的动点，且AD=BE，连接CD，AE，则CD+AE的最小值是().【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最如图：过点B作BF丄AB，且使BF=AC，连接EF，AF，先由勾股定理求出AB=5，AF=34，证明LFBE=LCAD，进而依据“SAS”判定△FBE和△CAD全等得EF=CD，继而得CD+AE=EF+AE，由此得当EF+AE为最小时，CD+AE为最小，根据“两点之间线段最短”得EF+AE≤AF=CD+AE的最小值．【详解】解：如图：过点B作BF丄AB，且使BF=AC，连接EF，AF，在Rt△ABC中，LACB=90o，AC=3，BC=4，:LABF=90o，在Rt△ABF中，AB=5，BF=AC=3，由勾股定理得：AF:LCBA+LFBE=90o，LCBA+LCAD=90o，:LFBE=LCAD，:EF=CD，:CD+AE=EF+AE，:当EF+AE为最小时，CD+AE为最小，:当点F，E，A共线时，EF+AE为最小，最小值是34，:CD+AE的最小值是34.当四边形PQNM的周长最小时，(MP+MN+NQ)2的值为()【答案】C【答案】C【分析】作点P关于AB的对称点P,，点Q关于BC的对称点Q,，连接P,Q,交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小，过点P作PH丄BQ于H，由勾股定理求出BH=2，PH=BH=2，得出【详解】解：如图，作点P关于AB的对称点P,，点Q关于BC的对称点Q,，连接P,Q,交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小，2-BH2=PQ2-HQ2，2-BH解得：解得：BH=2，丫LABP=LABP,，LCBQ六六LP,BQ,=2(LABC-LPBQ)+LPBQ=2LABC-LPBQ=150o，210．如图，在Rt△ABC中，LACB=90o，AC=6，BC=8，E为AC上一点，且AEAD平分LBAC交BC于D．若P是AD上的动点，则PC+PE的最小值等于．【答案】5E关于AD的对称点E,，连接CE,交AD于P,，连接E,P，由对称可得PE=PE,，所以PC+PE=PC+PE,≥CE,，且当C、P、E,依次共线时PC+PE的值最小，最小值为CE,，作CH丄AB于H，利用等面积法和勾股定理求出CE,即可．【详解】解：如图，作点E关于AD的对称点E,，连接CE,交AD于P,，连接E,P，由对称可得PE=PE,，六PC+PE=PC+PE,≥CE,，且当C、P、E,依次共线时PC+PE的值最小，最小值为CE,，作CH丄AB于H．△ABCAC.BCAB.CH，六E,H=AH-AE,=2，511．如图，四边形ABCD中，AB聂DC，LABC=9【答案】18【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活如图，作点B关于CD的对称点B,，连接AB,证明PA+PB=PA+PB,≥AB,=13，再计算△PAB周长即可．【详解】解：如图，作点B关于CD的对称点B,，连接AB,丫AB=5，BC=CB,=6，:BB,=12，丫PC垂直平分线段BB,，,:PB=PB，:PA+PB=PA+PB,≥AB,=13，:PA+PB的最小值为13，:△PAB的周长最小值为PA+PB+AB=13+5=18．12．如图，在直角△ABC中，∠C=90o，AC=BC=2，P为AC的中点，Q为AB上的一个动点，连接PQ，CQ，则PQ+CQ的最小值为．【答案】5点P,，连接P,C，交AB于点Q,，连接AP,，P,Q，证明当P,、Q,、C三点共线时，PQ+CQ的值最【详解】解：如图，作点P关于AB的对称点P,，连接P,C，交AB于点Q,，连接AP,，P,Q，丫Rt△ABC中，LACB=90o，AC=BC，:LCAB=45o，LP,AB=45o，13．如图，在△ABC中，LCBA=90o，BC=3，AB=4，点D、E分别是AB、AC边上的动点，且【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段作FA丄AC，使FA=BC，且点F与点E在直线AB的异侧，连接FD，由LCBA=90o，BC=3，AB=4，求得AC=5，FA=BC=3，而∠CAF=90o，则CF，推导出LFAD=LBCE，可证明【详解】解：作【详解】解：作FA丄AC，使FA=BC，且点F与点E在直线AB的异侧，连接FD，点D，PE丄AC于点E，点F为AP中点，连接DF，则线段DF最小值为．5【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理是逆定理求出7BAC=90°,根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到DFAP，根据垂线段最短解答即可，根据勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式求出BC边上的高是解题的关键．∴7BAC=90°,当AP最小时，DF最小，丫当APTBC时，AP最小，最小值为，15．在四边形ABCD中，7BAD=7BCD=90°,7ABC=135°,AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值为【答案】【答案】10于CD的对称点B2，连接B1B2，与AD、CD分别交于点E、F，由轴对称的性质可得，BE=B1E，BF=B2F，表示出△BEF的周长，由两点之间线段最短，此时△BEF的周长最小，为B1B2，过点B2作B2MTBB1，交BB1的延长线于点M，则△BMB2为等腰三角形，结合勾股定理可得BM=B2M=2，求出MB1=72，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作点B关于AD的对称点B1，关于CD的对称点B2，连接B1B2，与AD、CD分别交于点E、F，则此时△BEF的周长最小，由轴对称的性质可得，BE=B1E，BF过点B2作B2M丄BB1，交BB1的延长线于2M，22M2=BB22，2M=2，六B2B故答案为：10．Q分别是边AB和AC上的动点，始终保持AP=CQ，连接CP，BQ，则CP+BQ的最小值为．【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点A作AMTAC，且AM=BC=3，连接MP，MC，根据SAS得到△MAP≌△BCQ，即可得到PM=BQ，然后得到当M、P、C三点共线时，PC+BQ最小为MC，然后根据勾股定理解答即可．【详解】解：过点A作AMTAC，且AM=BC=3，连接MP，MC，则7MAB+7BAC=7BCA+7BAC=90o，六7MAB=7BCA，六PC+BQ=PC+MP³MC，即当M、P、C三点共线时，PC+BQ最小为MC，这时AC的最小值=．24【答案】5【分析】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、垂线段最短及三角形面积键是利用轴对称将CP转化为BP，将CP+PQ的最小值转化为点B到AC的垂线段长度．由AB=AC、D是BC中点可知AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为B，故CP=BP；根据垂线段最短，当B、P、Q共线且BQ丄AC时，BP+PQ最小（即最小值为BQ)；利用△ABC的面积，分别以BC、AC为底计算，结合勾股定理求出的AD，可解得BQ．∴AD是△ABC的对称轴，点C关于AD的对称点为点B，根据垂线段最短，当B、P、Q三点共线且BQ丄AC时，BP+PQ取最小值，即最小值为BQ的长．在Rt△ABD中，AB=5，BDBC=3，由勾股定理得：AD△ABCBC´ADAC´BQ，BQ，解得：BQ24518．如图，在△ABC中，AB=BC，LABC=90O，E是边AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，求PB+PE的最小值．【答案】10【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题作点B关于AC的对称点D，连接DE．证明PB=PD，推出PB+PD=PE+PD≥DE，由△ABC是等腰直角三角形，得到LBAC=45o，由轴对称可得LDAC=LBAC=45o，从而得到△ADE是直角三角形，利用勾股定理求出DE即可．【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点D，连接DE，DP．:PB+PE=PD+PE≥DE，丫AB=BC，LABC=90o，∴LBAC=45o，∴由轴对称可得LDAC=LBAC=45o，∴LBAD=LBAC+LDAC=90o，丫在Rt△AED中，AE=3BE=3x2=6，AD=AB=AE+BE=8，:DE=AE2+AD2=62+82=10，:PE+PB≥10，:PB+PE的最小值为10．“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=4，AC=1，BD=2，AC丄AB，BD丄AB，点E上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n． ②利用三角形三边的关系得到CE+DE ），作DH丄CA交CA的延长线于H，如图1，则四边形ABDH为长方形，在Rt△ACE中，CE在Rt△BDE中，DE作DH丄CA交CA的延长线于H，则四边形ABDH为长方形，在Rt△CHD中，CD故答案为：20．间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形ABCD，P为BC边上的动点．设BP=x，则PC=1-x．①AP2=；PD2=．【答案】【答案】(1)1+x2，1+(1-x)2；②AP，DP【分析】本题考查勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握轴（2）作A关于直线BC的对称点A,，连接PA,，连接DA,交BC于P,，可得，AP=A,P，根据两点之间线段最短可知，当P与P,重合时，AP+DP=A,D最短，再用勾股定理可得答案．由勾股定理可得，AP2=AB2+BP2=1+x2，DP2=CD2+PC2=1+(1-x)2，故答案为：1+x2，1+(1-x)2；2=1+x2，DP2=1+(1-x)2，故答案为：AP，DP；（2）作A关于直线BC的对称点A,，连接PA,，连接DA,交BC于P,，如图：由A，A,关于直线BC对称可得，AP=A,P，:AP+DP=A,P+DP，根据两点之间线段最短可知，当P与P,重合时，AP+DP=A,D最短，,B=AB=1，:AA,=2，:当0<x<1时，的最小值为5.分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜并使直角边BC和EF在同一直线上（图1向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2这时两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．【模型应用】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形（2）作点D关于BC的对称点D,，连结AD,，与BC交于点P，则CD,=CD=1，此时PA+PD的值最小，且PA+PD=PA+PD,=AD,，即PA+PD的最小值为AD,的长，（3）构造一个长方形ABCD，使两边长AB=3，BC=13，点P为BC边上一动点，设BP=x，则PCx，作点D关于BC的对称点D,，连结AD,，与BC交于点P，则CD,=CD=3，此时PA+PD的值最小，且PA+PD=PA+PD,=AD,，即PA+PD的最小值为AD,的长，利用（1）的方法进行求解即可．【详解】解1）根据题意得：PA+PD；故答案为：PA；PD；（2）作点D关于BC的对称点D,，连结AD,，与BC交于点P，则CD,=CD=1，此时PA+PD的值最小，且PA+PD=PA+PD,=AD,，即PA+PD的最小值为AD,的长，在Rt△ADD,中，由勾股定理得：AD（3）如图，构造一个长方形ABCD，使两边长AB=3，BC=13，点P为BC边上一动点，设BP=x，则PCx，作点D关于BC的对称点D,，连结AD,，与BC交于点P，则CD,=CD=3，此时PA+PD的值最小，且PA+PD=PA+PD,=AD,，即PA+PD的最小值为AD,的长，在Rt△ADD,中，由勾股定理得：ADBD丄AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m，BE=n．