2025-2026月考试卷8年级（数学）平面直角坐标系中三角形面积与角度的三种考法（解析版）

1．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(-2,-2),B(-2,-6),C(4,1)．(2)若P是x轴上一动点，当S△BOPS△ABC时，求点P的坐标．【答案】(1)12【详解】（1）解：丫点A(-2,-2),B(-2,-6),C(4,1)，:AB=-2-(-6)=4，AB边上的高为xC-xA=4-(-2)=6，则S△BOPyB.OPx6.OP=4，:点P的坐标为DC，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上．(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)如图②,点P是y轴上的一个动点，当三角形CPD面积是三角形APD的面积的一半时，求点P的坐标；(3)如图③,若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是1：22，运动过程中直线DF和CE交于点N，若三角形DCN的面积等于9，求出点N的坐标．【答案】(1)A(-2,5)，B(-5,0)，C(0,-5)(0,-45)或（2）设AD交y轴于E，作AF丄x轴于F，根据△ADF的面积等于△DOE和梯形AFOE的面积和，求出E点坐标，根据割补法，用P点坐标表示出△CPD和△APD的面积，然后代入数量关系求解即可；（3）连接ON，假设N点坐标，根据N点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于N点坐标的二元一次方程组，求解N点坐标即可．:a=-2，b=5，\A(-2,5)，B(-5,0)，\B到C向下平移了5，\C(0,-5)；\D(3,0)，设AD交y轴于E，作AF丄x轴于F，如图：设OE=x，△ADF=S△DOE+S梯形AFOE，\E(0,3)，解得：a=-45，解得：a\P(0,-45)或\N不在△COD内，设N(m,n)，\CF=2DE，设DE=k，CF=2k，当N在x轴上方时，如图：△CDN\3n-5m=3，\N(0,1)；当N在x轴下方时，作NG丄x轴于G，NH丄y轴于H，如图：△CDN△CDN长方形OGNH-S△COD-S△DNG-S△CHN=-mn\5m-3n=33，解得：m\N综上所述，N点坐标为(0,1)或【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割3．已知点A(a,0),B(0,b)，且a+1+b-3=①如图（1若点D坐标为(m,m)，点C在y轴上，求线段AD与y轴交点E的坐标；②如图（2若点D坐标为(6,0)，点P在坐标轴上，三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍，直接【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌（（2）①连接OD，根据等面积建立关于OE的方程求解即可；②分类讨论，当点面积公式建立方程求解；当点P在y轴上时，需用割补法表示出三角形PCD的面积，进而建立方程求解即连接OD，△AOD=S△AOE+S△ODE，∴E当点P在x轴上时，设P(m,0)，此时△APB与△PCD是等高的，∴AP=2DP，当点P在y轴上时，设P(0,m)，i如图，当点P在直线CD上方时，连接OC，S△APB=S△PCD=S△OCD+S△OCP-S△OPD解得m=-11，ii当如图，当点P在直线CD下方时，连接OC，S△PCD=S△OPD-(S△OCD+S△OCP)解得m=-39，4．如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，到y轴的距离为2，点B的坐标为(0,1)，点M在x轴上点A的右侧，且MA=1，过点M作平行于y轴的直线m，点D是直线m上的一个动点．(1)若点D在第一象限，且到x轴的距离为1．①则点D的坐标为；②如图2，连接BA、DA、BD，平移线段BA，使点A到点D的位置、点B到点C的位置，则点C的坐标(2)平移图2中的线段CD，点D始终在直线m上，设点D的纵坐标为d．①在点D运动的过程中，若线段CD与x轴有一个交点，求点D的纵坐标d的取值范围；②当三角形ABD的面积等于2.5时，求点C的坐标．【分析】本题考查了平移的性质，三角形、梯形的面积公式及利用割补法求面积，②先判断出点A向右平移1个单位，向上平移1个单位到点D，即可求出答案；（2）①找出当点D平移到x轴上时和当点C平移到x轴上时，d的值，即可求出答案；\A(2,0)，\OA=2，丫点M在x轴上点A的右侧，且MA=1，\OM=OA+AM=3，\M(3,0)，丫过点M作平行于y轴的直线m，\点D的横坐标为3，\点D(3,1)，②由平移得，点A(2,0)平移到点D(3,1)，\点A向右平移1个单位，向上平移1个单位到点D，\点B(0,1)向右平移1个单位，向上平移1个单位到点C，\C(0+1,1+1)，\C(1,2)，①当点D平移到x轴上时，点D向下平移1个单位，此时d=0，当点C平移到x轴上时，点C向下平移2个单位，\点D也向下平移2个单位，此时d=-2，\当线段CD与x轴有一个交点时，点D的纵坐标d的取值范围是-2≤d≤0，故答案为：-2≤d≤0；如备用图，当点D在x轴上方时，DM=d，\S△ABD=S梯形OMDB-S△AOB-S△AMD:点D(3,2)，:C(1,3)；当点当点D在x轴下方时，DM=-d，丫三角形ABD的面积等于2.5，AM=1，BE=3，:S△ABD=S△DBE-S梯形AMEB-S△AMD解得d=-3，:点D(3,-3)，::C(1,2-4)，::C(1,-2)，5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(b,4)，C(c,0)，其中a是-8的立方根，且b、c满足(1)直接写出A、B、C三点坐标：A，B，C；(2)如图1，将三角形ABC向左平移k个单位(k>0)，三角形ABC被y轴分成面积比为9:23的两个部分，求(3)如图2，将线段AB向上平移2个单位长度，点G为y轴上一动点，点E(6,m)为第一象限内动点，且m<10，连接BE、EC、AC，若S四边形ABEC=S三角形ACG，直接写出点G的纵坐标（用含m的式子表示轴，求出P，再求出S四边形ABEC=S梯形AMNB+S梯形BNCE-S△AMC=2m+20时，当点G在AC上方时，求出结果即可．3-8=-2，2-b=0，c-6=0，①如图1，设AB与y轴交于点D(0,m)，平移后A，B，C点坐标分别为A(-2-k，0)，B(2-k,4)，则OA=2+k，OD=m，连接OB，解得：k=1或-5，则OC=6-k，OF=e，连接OB．解得：e=6-k，\(6-k)2=9\k=3；连接AO，过点A作AM丄x轴于点M，过点B作BN丄x轴，如图所示：设AC与y轴交于点P，设P(0,p)，则S△AOC解得：p∴P丫AM=2，BN=6，CE=m，CN=6-2=4，MN=2-(-2)=4，MC=6+2=8，∴S四边形ABEC=S梯形AMNB+S梯形BNCE-S△AMC=16+12+2m-8=2m+20，S△ACGyG，四边形ABEC=S三角形ACG，∴6-4yG=2m+20，解得：yGS△ACGyG-6，四边形ABEC=S三角形ACG，∴4yG-6=2m+20，解得：yG6．在平面直角坐标系中A(-a,b)、B(a,a)，a(3)如图3，将线段AB沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、【答案】【答案】(1)A(-2,6)，B(2,2)【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，（（2）分两种情况讨论：①当E在直线AB上方时①如图，当①如图，当E在直线AB上方时，作AH丄y轴，作BH丄AH连接EH，则S△ABE=S△ABH+S△BAH-S△BEH②当E在直线AB下方时，同样可得S△ABE=8-2y=6，（3）解：存在，设点P的坐标为(x,y)，由平移得依题意知点P不可能在梯形ABCD的上方或线段AB的右上方或线段CD左方，故分以下两种情形：①如图，当点P在梯形ABCD的内部时，△PCDx=2x，②如图，当点P在梯形ABCD的下方时，△PBC，∴6-y=3(2-y)，∴点P(x,0)在x轴上，如图，作BG丄x轴于G，连接AG，解得x=4，综上所述，P点的坐标为(2.5,3)或(4,0)．7．如图，平面直角坐标系中，A(a,0)，B(0,b)，C(0,c)，·a+4+2-b=0，沿x轴向右运动至Q,，3秒后，A,，C，Q,在同一直线上，求m的值；(3)如图3，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积大于14，求点D横【答案】(1)10【答案】(1)10【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的综合应用，结合绝对值、二次根式非负性的性（1）根据二次根式非负性和绝对值非负性，求出a=-4，b=2，得到点A，B，C的坐标，即可得到BC，（2）根据等量关系S△A,Q,A=S△CQ,O+S梯形AA,CO求解即可；（3）连接OD，OE，设D(t,n)，根据S△AOB=S△AOD+S△DOB得到t=2n-4，根据点的平移得到E(2n,n)，再根据S△AOC+S△AOE+S△COE=S△ACE代入计算即可．\a+4=0，2-b=0，\a=-4，b=2，\A(-4,0)，B(0,2)，C(0,-3)，\BC=5，OA=4，△A,Q,A=S△CQ,O+S梯形AA,CO，（3）解：连接OD，OE，设D(t,n)，:t=2n-4，:E(2n,n)，△AOC+S△AOE+S△COE=S△ACE，8:n:n>54:-<t≤0．58．已知长方形ABCD在平面直角坐标系中，连接线段OB，OD，且OD交BC于点E．(1)如图1，BC边与x轴平行，Y是y轴的正半轴上一点，X是x轴的正半轴上一点，LBOY的平分线和LBEO的平分线交于点F，若LBOE=20o，求LOFE的度数；(2)如图2，若长方形的三个顶点A，B，C的坐标分别为A(2,8)，B(2,6)，C(7,6)．②若长方形ABCD以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为t(0≤t<6)秒．是否存在某一时刻t，使得三角形OBD的面积等于长方形ABCD的面积的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)LOFE的度数为125o(2)①D(7,8)；②存在某一时刻t，使得三角形OBD的面积等于长方形ABCD面积的一半【分析】本题考查了平行线的性质、平面直角坐标系中点的坐标、动点问题，熟（1）设LFEO=xo，LBOF=yo，过点F作FG∥OX，则FG∥BC，根据平行线的性质解题；②延长DA交y轴于点M，则AM丄OM，列出对应方程，进行求解．丫LBOY的平分线和LBEO的平分线交于点F，丫BC∥OX，：LEOX=LBEO=2xo，过点F作FG∥OX，则FG∥BC，即LOFE的度数为125o；∴D(7,8)；②存在某一时刻t，使得三角形OBD的面积等于长方形ABCD面积的一半；理由如下：如图2，延长DA交y轴于点M，则AM∴S长方形ABCD=AB´BC=2´5=10，由题意知A(2,8-t)，B(2,6-t)，C(7,6-t)，D(7,8-t)，△ODMOM·DM59．在平面直角坐标系中，已知AB=5，点A(a,0),B(b,-3)，且a,b满足a+b+|3a+b-4|=0；(3)若点P从点A出发在射线AB上运动（点P不与点A点B重合设运动时间为t秒②如图3设AB与y轴交点为C，在点P运动的同时，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向下运动，连接BQ，AQ，问：是否存在某一时刻t，使三角形ABQ的面积是三角形BOP的面积的2倍，若（2）根据S△AOBOA.yB即可求解；（3）①如图，作OH丄AB于点H，先根据面积法计算出OH，再分点P在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况，根据S△BOPBP.OH列代数式即可；②先用含t的式子表示出S△ABQ，再根据\A(2,0),B(-2,-3)，（3）解：①如图，作OH丄AB于点H，则S△AOBAB.OHOH=3，6解得OH=；655:当0<t<时，点P在线段AB上，当t>点P在线段AB的延长线上，当点P在线段AB上时，丫BP=AB-AP=5-3t丫BP=AP-AB=3t-5，综上可知S△BOP当0<t<时，由S△ABQ当t>时，由S△ABQ=2S△BOP得：2t【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，三角形面积公式，一元一次方程的应用，注意分情况讨论10．如图1，在平面直角坐标系中A(a,0)，B(0,b)，其中a，b满足(a-1)2+b+3=0，现将线段AB先向3(2)若点P在x轴上，且使得三角形DCP的面2(3)如图2，点M(m,n)是三角形ABC内部的一个动点，连接AM，BM，CM，若三角形ABM与三角形ACM(3)3m+n=3:a-1=0，b+3=0，:a=1，b=-3,:A(1,0)，B(0,-3)，:C(5,0)，D(6,3)；:AC=5-1=4，△DCPS△ABC，:S△DCP，且点P在x轴上，D(6,3)，\CP=6，\点P的坐标为(11,0)或(-1,0)；（3）已知M(m,n)，如图所示，连接OM，S△ABM=S△OAM+S△OBM-S△AOB丫三角形ABM与三角形ACM面积之比为1:2，\-2n化简得：3m+n=3．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的如图，已知点A(a,0),B(b,0)满足．将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC、BD(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，问：是否存在这样的t，使(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒，直接写出S△EMD-S△OEN的值．（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．,解得，过D作DH丄OB的延长线，垂足为H，如图所示：∴点C和点D的坐标分别为(0,2)和(4,2)，设M点坐标为(0,t)，连接MD、OD，四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=3-2t，过D作DH丄OB的延长线，垂足为H，连接MD，OD，VEMD-SVOEN=S四边形OMDN，S四边形OMDN=SVOND+SVOMD，六S当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为t秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，S综上可知，SVEMD-SVOEN的值为3．【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(a,0)，B(c,c)，C(0,c)，且满足(a同时出发，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方(1)AO和BC位置关系是；(2)如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，设此时点P、点Q的运动时间为t．(3)在P、Q的运动过程中，当LCBQ=30o时，请直接写出LOPQ和LPQB的数量关系．(3)LPQB=LOPQ+30o或LBQP+LOPQ=150o【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角（1）根据非负数的性质分别求出a、c，得到点A、B、C的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位（2）①过B点作BE丄AO于E，设时间经过BC=4，CQ=4-t，根据S△APBAP.BE，由①得4t=4(8-2t)，求解得（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．\a=-8，c=-4，\A(-8,0)，B(-4,-4)，C(0,-4)，\BC∥AO．故答案为：BC∥AO；（2）解：①过B点作BE丄AO于E，:S△APB=AP.BE=´2t´4=4t，S△BCQ=CQ.BC=(4-t)´4=8-2t，△APB=4S△BCQ，:4t=4(8-2t)解得，t，:点P的坐标为（3）解：LPQB=LOPQ+30o或LBQP+①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，:LOPQ=LPQH，:QH∥BC:LHQB=LCBQ=30o，:LOPQ+LCBQ=LPQH+LBQH，:LPQB=LOPQ+LCBQ，即LPQB=LOPQ+30o；②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO如图3所示，:LOPQ=LPQJ，:QH∥BC，:LHQB=LCBQ=30o，:LHQB+LBQP+LPQJ=180o:30o+LBQP+LOPQ=180o，即LBQP+LOPQ=150o，综上所述，LPQB=LOPQ+30o或LBQP+LOPQ=150o．点B向右平移24个单位得到点C．(1)求A，B两点的坐标；(2)点P，Q分别为线段BC，OA上两个动点，P自B点向C点以1个单位/秒向右运动，同时点Q自A点向O点以2个单位/秒向左运动、设运动的时间为t秒（0<t<13连接PQ，当PQ恰好平分四边形BOAC的面(3)点D是直线AC上一点，连接QD，作一个LQDE=120o，边DE与BC的延长线相交于点E，DM平分LCDE，DN平分LADQ，当点Q运动时，LMDN的度数变不变？如变化．请求变化范围：如不变，请求出LMDN的度数．【答案】(1)【答案】(1)A(26,0)，B(0,8)（2）由题意可得C(24,8)，即得S梯形AOBC，进而得到S梯形OBPQ，又由题意得BP=t，PC=24-t，AQ=2t，OQ=26-2t，根据梯形的面积公式列出关于t的方程解答即可；（3）分两种情况：点D在线段CA的延长线上或AC的延长线上；点D在线段AC上，分别画出图形，根本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义等，运用分类∴C(24,8)，当运动时间为t时，BP=t，PC=24-t，AQ=2t，OQ=26-2t，（3）解：当点Q运动时，LMDN的度数不变．如图，当点D在线段CA的延长线上或AC的延长线上时，丫DM平分LCDE，DN平分LADQ，当点D在线段AC上时，丫DM平分LCDE，DN平分LADQ，设LCDE=a，则LMDCa，LQDC=120o-a，综上所述，LMDN=60o或150o．2(2)若点P在y轴上，且三角形ABP的面积是三角形ABC面积的，求点P的坐标；3交直线AC于点F，过点F作FG∥CB交直线DB于点G．①如图2，点E在点A的上方，LBFG=25o，求LBEF的值；②请直接写出LBFG和LBEF之间的数量关系．(3)①50O；②当点E在点D的左侧，LBEF=2LBFG；当点E在点D的左侧，LBEF=180O-2LBFG【分析】本题考查坐标与图形，非负性，平行线的性质，与角平分线有关的（2）求出S△ABC，进而求出S△APD，设点P坐标为(0,y)，根据三角形的面积公式进行求解即可；（3）①根据平行线的性质，结合角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可；②分点E在点A的上方和点E在点A的下方，两种情况进行求解即可．则S△ABPAP×OBAP=3AP=11，解得：y或y设LABF=a，丫BF平分LABE，六7CBE=7CBF-7EBF=25°-a，7CBA=7CBF+7ABF=25°+a，六7DBE=7CBE+7DBC=7CBE+7CBA=25°-a+25°+a=50°,六7BEF=7DBE=50°.②解：当点E在点A的上方，设7BFG=β,六7CBF=7BFG=β,设7ABF=a，则7EBF=a，六7CBE=7CBF-7EBF=β-a，7CBA=7CBF+7DBF=β+a，六7DBE=7CBE+7DBC=7CBE+7CBA=β-a+β+a=2β,当点E在点A的下方，设7BFG=β,六7CBF=7BFG=β,设7ABF=a，则7EBF=a，六7CBE=7CBF+7EBF=β+a，7CBA=7CBF-7ABF=β-a，∴∴7DBE=7CBE+7DBC=7CBE+7CBA=β+a+β-a=2β,即：即：LBEF=180O-2LBFG．综上：LBEF=2LBFG或LBEF=180O-2LBFG．(1)求点A的坐标和点C的坐标；(2)在点P，Q运动的过程中，连接PB，QB，使三角形PAB的面积是三角形QBC面积的4倍，求出点P的(3)在点P，Q运动的过程中，当LCBQ=30O时，请探究LOPQ和LPQB的数量关系，并说明理由．【答案】【答案】(1)A(-8,0)，C(0,-4)(2)点P的坐标为或(8,0)【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质．（2）过点B作BE丄OA于点E，分两种情况讨论：①如图，当点Q在点C上方时；②如图，当点Q在点C下方时；分别根据三角形的面积公式求出AP2则A(-8,0)，B(-4,-4)，C(0,-4)；设时间经过t秒，三角形PAB的面积是三角形QBC面积的4倍，则AP=2t，OQ=t，BE=4，BC=4，\三角形PAB的面积是：AP×BEt×4=4t，CQ=4-t，\三角形BCQ的面积是：×CQ×BC=×(4-t)×4=8-2t，\4t=4×(8-2t)，3\点P的坐标为\三角形BCQ的面积是：CQ×BC×4=2t-8，\4t=4×(2t-8)，解得t=8，\AP=2t=16，\OP=OA-AP=8，\点P的坐标为(8,0)，综上所述，点P的坐标为或(8,0)；过点Q作QH∥BC，:LHQB=LCBQ=30O，:QH∥OA，有LOPQ=LPQH，:LPQB=LOPQ+CBQ=LPQH+LBQH=LOPQ+30O；有LAPQ+LPQH=180O，:LOPQ+LPQB+LBQH=LOPQ+LPQB+30O=180O，:LOPQ+LPQB=150O，综上所述，LPQB=LOPQ+30O或LPQB+L16．如图，在平面直角坐标系中，点A(0,a)，且2a-5与3-a是一个正实数的两个不同平方根，AB∥x轴，且AB=2OA，点C在x轴的正半轴，LOCB的平分线CD交AB于点D，过点A作AE∥DC，交OC于点 E，点F是线段CD上一点，且LCBF=3LDBF．(2)若LOAE=32o，求LDBF的度数．LADC-LDPQ(3)点P在线段CD上，LPBF=LOAE，直线BP交LADC-LDPQLOAE【答案】(1)【答案】(1)B(4,2)(2)16o1（2）先求出LAEO=58o，再由平行线的性质可得LDCE=LAEO=58o，再由角平分线的定义可得LOCB=2LDCE=116o，由平行线的性质得出LABC=64o，结合题意计算即可得解；（3）设LAEO=a，LDBF=β,则LCBF=3LDBF=3β,LPBF=LOAE=90o-a，由平行线的性质可得LDCE=LAEO=a，由角平分线的定义可得LBCD=LDCE=a，再由平行线的性质得出2β=90o-a，表示出LADC=180o-a，LDPQ=90o+β,代入计算即可得解．∴2a-5+3-a=0，∴LAEO=90o-LOAE=58o，∴LDCE=LAEO=58o，∴LOCB=2LDCE=116o，丫LCBF=3LDBF，LCBF+LDBF=LABC，（3）解：设LAEO