2025-2026月考试卷8年级（数学）期中解答题专题（北师大版）（解析版）

1 4 6 9 14 19 25 29 37 44（1）2(x-1)2=182）(x-1)3=-27．【答案】（1）x=4或x=-22）x=-2【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和（1）先求(x-1)2=9，再根据平方根定义得x-1=±3，解方程即可；（2）利用立方根定义求得x-1=-3，然后解方程．即x-1=3或x-1=-3，解得x=4或x=-2．（2）(x-1)3=-27，x-1=-3，x=-2 2（23 2） 2）2【分析】本题考查了算术平方根，立方根，有理数的乘方等知识，掌握相关知解1）解：3-83-10-3-83-10-0.254 【变怯2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4， （2）求3a-b+c的平方根．【答案】（1）a=25，b=-58，c=32）3【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟（2）把a，b，c的值先代入3a-b+c求解，然后根据平方根的概念即可得出结果．3-1【答案】（1）12）4【分析】本题考查零次幂，负整数指数幂，算术平方根，平方差公式等，解1）解：2(2-2-(-1)2012=4-1-4+52（1）-y24÷v2．2【答案】（1）22）7+23【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法32-222-24÷2【答案】（1）322）83+6【分析】本题考查了二次根式计算，熟练掌握二次根式的化简，灵活进行合并同类二次根式，二次解1）解：=42-22+2，（2）1+32-6)-(23-1)2．【答案】（1）1422）-22+43-133【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式解1）解：2-6)-(23-1)21+3232-2×23×1+12=-22-(13-43)=-22+43-13【答案】(【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键解：(=23-33+3-1=-1（1）a2b+ab2-2b-3a2）【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的a2b+ab2-2b-3a2232-23-32=2×3+3×2-23-32（2）解2）2+2=56；（【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式加减运算，二次根式性质，熟练解：(=32+9-8=32+3-22x-y=2-3-2-3=-23，2-32+3①x2-y2=(x+y)(x-y)=-83；②x2+y2+xy=x2+y2+2xy-xy=(x+y)2-xy=42-1=16-1x+yxy41=4．【变怯2】（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知a【答案】（1）622）9(a+b)2-2ab计算求解即可；,据此代值计算即可．4-15)(a+b)2-2ab=82-2´1=62；3b+ab3+19a2+b2)+19=62´1+19【变怯3】（24-25八年级下·河北邢台·期中）已知m=25-3，n=J5．（2）求m2-6mn+9n2的值．【答案】（1）102）14+65【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，完全平方式，熟练掌握二次根式（2）先利用完全平方式将m2-6mn+9n2变形为(m-3n)2，再代入进行计算即可．解1）解：mn+3n（2）解：m2-6mn+9n225-3-35)2【答案】（1）这个梯子的顶端A距地面有24m远2）梯子的底端在水平方向滑动了8m【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等（2）首先求出BD的长，利用勾股定理可求出BE的长，进而得到CE=BE-CB的值．解1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即AB2+72=252，答：这个梯子的顶端A距地面有24m远；答：梯子的底端在水平方向滑动了8m．【变怯1】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结得AB=8dm，BC=9dm，CD=12dm，AD=17dm，其中AB与BD之间由一个固定【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆通过勾股定理求出BD的长度，再利用勾股定理的逆定理判断BC与CD是否垂直即可．22222，【变怯2】（25-26八年级上·甘肃张掖学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示(AC丄BC)，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，绳长(AB+AC)为18dm实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A、滑块B和物体C的大小忽略不计，都看（2）如图2，若滑块B水平向左滑动9dm，求物体C上升的高度．【答案】（1）10dm2）7dm【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长，求出AB变化的长度就是物体C上升的高度．设AB=xdm，则AC=(18-x)dm．在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2+即6222，答：AB的长为10dm．在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB答：物体C上升的高度为7dm．铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴80m，观测点B距离鸟类巢穴60m，两观测点A、B相距100m．火车行驶时会对周围52m范围造成噪声污染．（2）当一列长度为260m的火车以108km/h的速度经过【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关（2）以点C为圆心，以52m为半径画圆弧，分别交AB于点E、F，连结CE、CF，则222，:AC2+BC2=AB2．:△ABC是直角三角形，LACB=90o，答：点C到铁路AB的距离为48m．如图，以点C为圆心，以52m为半径画圆弧，分别交AB于点E、F，连结CE、CF，则:DE=DF．在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE:EF=2DE=2´20=40(m)，答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为10s．是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中LDAE=90O，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；【答案】（1）证明见分析2）DE=10．【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与（1）根据等腰直角三角形的性质可得LDAE=90o，AD=AE，进而证明LBAD=LCAE，即可根据SAS证明△ABD≌△ACE；∴LDAE=90o，AD=AE，∴LBAD=90o-LDAC=LCAE，在△ABD与△ACE中，∴BCLABC=LACB=45o，D在边BC上．（1）若AC=3,BC=4,MD丄AB（如图①),求MD的长；（2）过点M作ME丄MD与边AC交于点E（如图②),试探究：线段AE、ED、DB三者之间的数【答案】（1）MD2）AE2+DB2=DE2，理由见分析【分析】本题考查了勾股定理，解题关键在于正确作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质．（1）连接AD，求出AD=BD，设AD=x，则CD=BC__BD=4_x.再根据勾股定理求解即可．解1）解：连接AD，设AD=x，则CD=BC__BD=4_x，在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，解得：x，即AD．在Rt△ACB中，AB在Rt△ADM中，AMAB如图②延长EM到F，使得ME=MF，连接DF、BF．在△MAE和△MBF中．∴LFBD=LMBF+LABC=LA+LABC=90o．在Rt△DFB中，BF2+DB2=DF2．（2）如图2，在△ABC中，AC=45，BC=4，DE垂直平分AC交AB于点E，垂足为D，且DE=·5，BE=3，P为BC上一点，求证：四边形AEFC是邻余四边形；求CD的长．【答案】（1）50o2）证明见分析3）10【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角（2）根据垂直平分线的定义可得ADAC，LADE=90o，根据勾股定理可得:LB+LC=90o，:LC=90o-40o=50o，（2）证明：丫DE垂直平分AC，AC=45，:ADACLADE=90o，:在Rt△ADE中，由勾股定理得：:LABC=90o，:LC+LA=90o，:四边形AEFC是邻余四边形．（3）解：如图，延长CE到点C,，使C,E=CE，连接AC,，DC,，\DE是CC,的垂直平分线，\AC,=BC=8，LB=LEAC,，\可分两种情况讨论：则LECB+LB<90o，\此种情况不存在；综上，CD的长为10．【变怯3】（24-25八年级下·福建厦门·作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD丄OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE丄OA于点E，测得OB=13cm，BD=5cm．（2）求DE的长．【答案】（1）见分析2）DE=7cm【分析】本题考查全等三角形判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识\ÐCOE=ÐB，（2）解：丫△COE≌△OBD，在Rt△OBD中，OD于点E，且BE2-AE2=AC2．7【答案】（1）见分析；（2）78【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，线段垂直平分线的性质（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合BE2-EA2=AC2可求得EC22解1）证明：连接CE，2在Rt△EAC中22解得：x【变怯1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，CD是△ABC的高．（1）若CD=12，AD=9，BD=16，则AC的长为（2）若CD=a，AD=b，BD=c，且a2=bc，求证：△ABC是直角三角形．【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定（1）在Rt△ACD中，根据勾股定理可求得AC，在Rt△CDB中，根据勾股定理可求得BC；（2）先利用勾股定理证明a2+b2=AC2，a2+c2=BC2，从而证得AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．在Rt△ACD中，丫CD=12，AD=9，AC2=CD2+AD2，:△CDB是直角三角形，:7CDA=7CDB=90o．即a2+b2=AC2．:AC2+BC2=a2+b2+a2+c2=(b+c)2:△ABC是直角三角形．（1）点A到BC的距离是；（2）若LDCA=30°,则LB=O;（3）求线段CD的长度．24【答案】（1）62）303）5【分析】本题主要考查了点到直线的距离、勾股定理逆定理、解1）解：点A到BC的距离为AC，即点A到BC的距离是6．∴LBCD=LACB-LDCA=60°,故答案为30．（3）解：由S△ABCAC.BCAB.CD，解得：CD；（②点M(7,-1)在eP；（填“上”、“内”或“外”）③连接AP、CP，则LAPC的度数为【答案】（1）(2，-1)2）①25；②外；③90o【分析】（1）可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可；断点和圆的位置关系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△APC是直角三角形，即解1）解：作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．六PA故答案为：25；2=(6-0)2+(1-3)2=40，六PA2+PCAC2，故答案为；90o.【点拨】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图（2）在y轴上画出点P，使PA+PC最小，不写出作法．【答案】（1）A,(1,-2)、B,(3,-1)、C,(4,-3)；图见分析2【分析】本题考查了作图-轴对称变换：在画一个（2）作点A关于y轴的对称点A,,(-1,2)；连接A,,C交y轴于点P，则PA,,=PA，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PC最小．（2）解：①作点A关于y轴的对称点A,,(-1,2)；②连接A,,C交y轴于点P，（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；【答案】（1）5.52）见分析3）A,(-2,-3)，B,(-3,-1)，C,(1,2)【分析】本题考查了利用轴对称变换作图和求三角形的面积，熟练掌握关于坐标（1）利用割补法将图中△ABC分割成一个长方形减去三个三角形的面（2）根据点关于y轴对称的特征“纵坐标相同，横坐标互解1）解：△ABC的面积为：故答案为：5.5；（2）解：根据平面直角坐标系可知：A(-2,3)、B(-3,1)、C(1,-关于y轴对称的点坐标分别为：A1(2,3)、B1(3,1)∴△A,B,C,的各顶点坐标为：A,(-2,-3)，B,(-3,-1)，C,(1,2)．（2）作出△A1B1C1关于直线l对称的△A2B2C2，并(-5,2)【分析】本题考查了在平面直角坐标系内作轴对称图形，点的坐标；掌握A【变怯3】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，△AB别为A(-1,2)，B(-3,1)，C(0,-1)．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；【分析】本题考查作图—轴对称变换，根据网格求三角形的面积），2BC2【例题8】（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A(-2,a-1)在x轴上，【答案】（1）1；(-2,0)2）(3,m)；(3,2-m)3）3【分析】本题考查了坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根（1）由点A在x轴上可求出a值，将其代入点A的坐标中即可得出点A的坐标；（3）设直线BC与x轴的交点为D，则点D的坐标为(3,0)，可求出AD=5，根据三角形的面积公式结合S△ABC=S△ABD+S△ACD，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值；解1）解：丫在平面直角坐标系中，点A(-2,a-1)在x轴上，\a-1=0，解得：a=1，\点A(-2,0)．故答案为：1，(-2,0)；（2）解：丫将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度(m-2)个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，\点B(-2+5,m)，点C(-2+5，0-(m-2))，即B(3,m)，C(3,2-m)，故答案为：(3,m)，(3,2-m)；（3）解：设直线BC与x轴的交点为D，如图1，则点D的坐标为(3,0)，\AD=5，:S△ABC=S△ABD+S△ACD，:m=3；【变怯1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O的边BC在x轴上，A，C两点的坐标分别为A(0,a)，C(b,0)，点B(-5,0)，且|a-4|+(b-3)2=0，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设（3）当点P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，直【答案】（1）A(0,4)，C(3,0)2）S△AOP=4t-103）存在，点Q的坐标为(0,4)或(0,-4)或(0,3)或(0,-3)【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用（2）由题意得OA=4，OP=PB-OB=2t-5，由三角形面积公式即可求解；∴a-4=0，b-3=0，当点P在x轴的正半轴上时，OP=PB-OB=2t-5，△AOPOP.OA´4=4t-10；如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，Q1(0,4)；当点Q在y轴负半轴上时，Q2(0,-4)；如右图，当点Q在y轴正半轴上时，Q3(0,3)；当点Q在y轴负半轴上时，Q4(0,-3)；综上，点Q的坐标为(0,4)或(0,-4)或(0,3)或(0,-3)．如图①,在平面直角坐标系中，点A(0,a)，B(b,0)，且a，b满足(a-8)2+b+6=0，点C在x轴C停止，设点P的运动时间为t秒，连接AP，过点C作AP的垂线交射线AP于点M，交y轴于点N．（2）当点P在线段OB上时，如图②所示，求线段ON的长度（用含t的（4）若AB=10，是否存在以AB为腰的等腰三角形ABP？若存在，请直接写出点P的坐标；若不【答案】（1）(0,8)，(-6,0)2）6-t3）4或84）存在，点P的坐标为(4,0)或(6,0)【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）根据非负数的性质可得a和b的值，确定点A和B的坐标；:a-8=0，b+6=0，:a=8，b=-6，:A(0,8)，B(-6,0)；故答案为：(0,8)，(-6,0)；（2）解：由（1）知，A(0,8)，B(-6,0)，:OB=6，OA=8，:OC=8，\C(8,0)，\OP=6-t，\LCMA=90o=LAOP=LAOC，丫LANM=LCNO，\LOAP=LOCN，\△AOP≌△CON(ASA)，\t=4；\OP=t-6，\t=8，（4）解：丫A(0,8)，B(-6,0)，点C(8,0)，\t=10，点P(4,0)；\BO=PO=6，\BP=12，\t=12，点P(6,0)，综上所述：点P的坐标为(4,0)或(6,0)．【变怯3】（24-25八年级下·河北·B(0,3)，将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连接BC．（2）如图2，连接AC，作CD丄x轴于点D，在x轴正半轴有一点E(1,0)，作EF丄x轴交BC于点F，交AC于点Q，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动，设时间为t秒．②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标．【答案】（1）(4,3)2）①嘉淇说法正确，△PCD的面积是定值为；②t【分析】本题考查平移性质，点坐标表示，三角形面积公式，已（2）①根据题意可知△PCD的面积为定值，利用面积公式将CD作为底，点P到CD距离为高，标和运动时间t．解1）解：丫点B(0,3)，将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC，∴C(4,3)，故答案为：(4,3)；丫A(-4,0)，C(4,3)，点E(1,0)，作EF丄x轴交BC于点F，Q294【例题9】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．【答案】（1）2，无理数2）能3）详见分析解1）由图可知OB=OD2是无理数②以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D；③以点D为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数是·20，如答图所示．2+1=2，S22+1=3，S4，S3=234，S3=2【答案】（【答案】（1）102）n；n3）18【分析】本题考查了勾股定理，数式变换规律，二次根式的化简，关键是归纳总结出数式故答案为：n2 S2+S1S3+S2S99+S98S100+S99 .. 21324310099..222222222-13-2-100-1)【变式迁移】到点F，使ED=FD，连接AF，若BETAF，请判断AF、BE、BC三边数量关系并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在等腰△ABC中，7ACB=90o，AC=BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AFTCE，连接FD，若AF=9，CF=3，请直接写出FD的长．【答案】（1）见分析；（2）AF2+BE2=BC2，理由见分析；（3）32【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性（1）通过证明△PAC≌△PBD)SAS(即可证明AC∥BD；（3）延长FD到T，使DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J，即可证明解1）证明：丫点P是线段AB，CD的中点，丫7APC=7BPD，∴7A=7B，∴AC∥BD；丫△ABC是等腰三角形，BD是底边AC上的高线，∴AD=DC，丫ED=FD，7ADF=7CDE，∴7FAD=7ECD,AF=CE，∴BETCE，2+BE2=BC2，∴AF2+BE2=BC2；（3）解：延长FD到T，使DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J，如图，丫DT=DF，7ADF=7BDT，∴BTTCJ，∴LAFC=LCJB=LACB=90o，∴LACF=LCBJ，【初步尝试】（1）如图1，长方形纸片ABCD可看作由2个全等的小正方形组成，E是AD的中点，沿着BE,CEBFCE．若AB=2，则BF=【深入实践】【拓展迁移】ABCD,GCEF剪拼成一个大正方形纸片BQPG．P,M,N为剪痕与原正方形边的交点，已知①HQ=，HN=；②求正方形BQPG的边长．【答案】（1）222）见分析3）①4；3；②【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的运用，（1）根据题意可得AB=AE=2中，QN，在Rt△BQN中，BN2-QN2=BQ2，又在Rt△BHQ中，BH2+HQ2=BQ2，由此列式得BN2-QN2=BH2+HQ2，设BH=x，解得x，则BQ，由此即可求解．解1）长方形纸片ABCD可看作由2个全等的小正方形组成，E是AD的中点，故答案为：22；（3）将两个边长不等的正方形纸片ABCD，GCEF剪拼成一个大正方形纸片BQPG，P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知AB=4，EN=1，根据朱出与朱入可得，△ABM≌△HQN，则△MDG≌△NEP，AB=AD=HE=4，六HQ=4，HN=HE-NE=3；②由①可知HQ=4，HN=3，在Rt△QHN中，QN在Rt△BQN中，BN2-QN2=BQ2，又在Rt△BHQ中，BH2+HQ2=BQ2，2-QN2=BH2+HQ2，设BH=x，2-52=x2+42，解得：x203【例题10】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，在△ABC中，LACB=90o，AC=BC，点C的坐标为(-2,0)，点A的坐标为(-6,3)．【答案】（1）AC=5,S△ABC【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用解1）解：过点A作AD丄OC于D，在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=32+42=5，=AC.BC=´5´5=；∴LACD+LCAD=90o，LACD+LBCE两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为x2-x1或 y2-y1．（2）已知线段MN∥y轴，MN=4，若点M的坐标为(2,-1)，则点N的坐标为 ;（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(0,6),E(-3,2),F(3,2)，此三角形的形状是三角形．（4）在平面直角坐标系中的两点A(-1,3),B(2,1),P为x轴上任一点，则PA+PB的最小值为【分析】本题考查两点间距离公式，等腰三角形的定义，轴对称求最短（2）由MN∥y轴，MN=4，M(2,-1)可得-1-yN=4，解方程即可；（4）作点A(-1,3)关于x轴的对称点A,(-1,-3)，则PA+PB=PA,+PB≥A,B．解1）解：A,B两点间的距离为：AB故答案为：45；（2）解：丫MN∥y轴，点M的坐标为(2,-1)，MN=4，\点N的横坐标为2，-1-yN=4，\-1-yN=-4或-1-yN=4，\yN=3或-5，\点N的坐标为(2,3)或(2,-5)，故答案为：(2,3)或(2,-5)；（3）解：丫D(0,6),E(-3,2),F(3,2)EF=-3-3=6，\DE=DF≠EF，\此三角形的形状是等腰三角形，（4）解：如图，作点