考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷29

考研数学一(概率论与数理统计)模拟

试卷29

一、选择题(本题共”题，每题i.o分，共"分。)

1.设A,R为任意两个事件，且AUB,P(B)>0,则下列选项必然成立的是()

A、P(A)VP(AIB).

B、P(A)<P(AIB).

C、P(A)>P(AIB).

D、P(A)>P(AIB).

标准答案：B

P(AB)_P(A)

知识点解析：P(AIB)=P<B)P(B)NP(A)(当B=C时等式成立).故选B.

2、设A,B是两个随机事件，且OVP(A)VLP(B)>0,P(BIA)二P(B|A),则

必有()

A、P(AIB)=P(7IB).

B、P(AIB)#P(RB)..

C、P(AB)=P(A)P(B).

D、P(AB)WP(A)P(B).

标准答案：C

知识点解析：由P(BIA)=P(B|A)^0<P(A)<I知事件A是否发生对事件B没

有产生影响，所以A与B相互独立，故P(AB)=P(A)P(B)，仅C入选.

3、设离散型随机变量X的分布律为P{X-k)-pk=b/(k-l,2,...),且b>0,则入

为()

A、大于。的任意常数.

B、b+1.

1

C、中，

1

D、

标准答案：C

知识点解析：因

X幺=1，故收敛，即X床=6・£==

*7*-1*=1

4、设随机变量Xi,X2的分布函数、概率密度分别为F](x),F2(X)；fi(x),

f2(x).如果a>0,b>0,c>0,则下列结论中不正确的是()

A、aFi(x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=1.

B、cF|(x)F2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=l.

C、afi(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度函数的充要条件是a+b=l.

D、Cf|(X)f2(X)是某一随机变量概率密度函数的充要条件是c=l.

标准答案：D

知识点解析：由分布函数的充要条件知，A、B正确.由概率密度充要条件知C正

确,而D未必正确,因此选D.事实上,cfi(x)f2(x)为概率密度0cfi(x)f2(x巨0,且

。力(1)丘(/)"=10。力(jr)/2(z)20,且c=g,A=I*/i(x)/2(-r)dj

J・・s7*J-a©

(假设右式积分存在).显然A未必等于1,所以选项D不正确.

54-5

—e

5、设X服从于参数为九=5为泊松分布，即P{X=k}=",则当k=()时,

P{X二k}最大

A、3.

B、5.

C、7.

D、8.

标准答案：B

知识点解析：P(X=A-1}〃g-D!J-当k>5时,

皓与<1；当然5时P{X=k]

'P{X=11产当k=5时,P{X=k}取最大值.

1

f(x)=

6、设随机变量X的概率密度函数,工(1+12),贝JY=3X的概率密度为()

(B)^(9T7)-(S“(9+y2).⑴\(9+/).

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

11o

工二已故/

知识点解析：由y=3x得L\3/J，选

B.

7、X,Y相互独立，且都服从区间［0,1］上的均匀分布，则服从区间或区域上的均

匀分布的随机变量是()

A、(X,Y).

B、X+Y.

C、X2.

D、X-Y.

标准答案：A

知识点解析：X〜U(0,1),f(x)=

-1»(X&i.丫〜U(0,l),/(》)=(；

io,其他.其他,所以(X,y)〜f(x,

卜,3<1•

y)=(p(x).(p(y)=10*其他•所以选A.B、C、D可以通过具体运算可得不服

从均匀分布.

8、设随机变量X和Y相百独立同分布.已知P{X=k}=pqkl(k=1,2,3.…),其

中OVpVl,q=l-p,则P{X=Y}等于()

吃•

(A等(唔.

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：

B0OOO

P{X=Y}=ZP{X=Y=k}=£P{X=k,Y=k}SP{X=k}P{Y=k}

i-I♦■】21

I6JT,1*

9、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)J°，其他，则

P{X+Y<1H)

(A)y.(B)y.(C)y.⑴)?

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：P(X+Y<1)=

jjf(N，y)dzdy=J(Lrj6idy=『二4]-2tr)di=：.

10、已知随机变量X服从二项分布且E(X)=2.4,D(X尸1.68,则二项分布的参

数n,p的值为()

A、n=4,p=0.6.

B、n=8,p=0.3.

C、n=7,p=0.3.

D、n=5,p=0.6.

标准答案：B

知识点解析：对选项A,ED(X)=4xO.6x0.4=0.96rl.68,故排除A；对选项

C,np=7x0.3=2.1#2.4,排除C：对选项D,np=5x0.6=342.4,排除

D.故选B.

11、设x是一随机变量，E(X)=p,D(X)=G2(M，G>0,为常数)，则对任意常数

C,必有()

A、E[(X-C)2]=E(X2)-C2.

B、E[(X-C)2]=E[(X-g)2].

C、E[(X-C)2]<E[(X-P)2].

D、E[(X-C)2]>E[(X-p)2].

标准答案：D

知识点解析：由E[(X-C)2]=E(X2-2CX+C2)=E(X2)-2CV+C2可知，对于任意常数C,

选项A不正确.由E[(X-C)2]-E[(X-g)2]=E(X2)+C2-2Cg-[E(X2)+p2-2RE(X)]=C2-

2Cg+g2=(p-C)2>0,得E[(X-C)2]宓[(XM2],故应选D.

12、已知(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y不相关是X与Y独立的()

A、充分非必要条件.

B、必要非充分条件.

C、充分必要条件.

D、既非充分也非必要条件.

标准答案：C

知识点解析：由于(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立0X与Y不相关.故

选C.

义=工2X,

13、设区X2，…，Xn相互独立且E(Xi尸N，D(Xi)=a2>0,记nI,

则Xi=与X2-()

A、不相关且相互独立.

B、不相关且相互不独立.

C、相关且相互独立.

D、相关且相互不独立.

标准答案：D

知识点解析：由于Xi相互独立,故Cov(Xi，Xj)=O(i,j),

Cov(X.X)=D(X)=C

fl

CovCX.-X,X.-X)=Cov(X1,X2)-Cov(X1,X)-Cov(X,X2)+Cov(X.X)

i•1二_

=一,£Cov(Xi，X,)一上XCOV(X,.X2)+D(X)

=一Jo

nnw

=>X1-X与X?-X相关=>X1-X与x?-X不独立.

14、设总体X服从正态分布N(p,/)，其中卜I已知，。2未知.X],…，Xn是取自

总体X的简单随机样本，则下列样本函数中不是统计量的是()

(A)lyx..(B)maxX..(C)七(^Z£；①)；/乂"二

n£»<•<"i-ion.-I

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：由统计量的定义：“不含任何未知参数的样本函数”，即知不是统计量

的选项应该是C,因为C中含有未知参数

15、设总体X〜N(R,4),y〜N(H2，5),X与Y相互独立，Xi，X2，…，X8和

Yi，Y10是分别来自总体X和Y的两个简单随机样本，Sx2与SY?分别为两个

样本的方差，则()

(A)第〜F(7,9).(B)鬻〜F(7,9).(C)零〜F(7,9).(D)鹭〜F(7,9).

OOyy59y4Oy

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：若aX〜£(m),bY〜£(n),X与Y独立，则

aX/m_naX〃)

bYE-丽~m'n,依题意回Sx2与SY?相互独立，因此服从F(7,9)分

布的统计量，选择D.

16、设XI，X2，…，Xn为来自总体X〜N仙1)的一个样本，统计量

Y=”

白,则()

A、Y〜£(n-l).

B、Y〜l(n-l).

C、Y〜F(n・l,1).

D、Y〜F(l,n-1).

标准答案：D

X1

知识点解析：'(由则。=坛〜而i

〜,即'"X京')：〜

(〃-1)S2-1)年

2

X(n-1)，所以―/一/〃故

选D.

17、对于正态总体的均值进行假设检验，如果在显著性水平0.05下接受Ho：

呻io,那么在显著性水平0.01F()

A、必接受Ho.

B、可能接受也可能不接受Ho.

C、必拒绝Ho.

D、不接受也不拒绝Ho.

标准答案：A

知识£解析：显著性水平a越小，接受域的范围就越大，也就是在显著性水平

a=0.01下的接受域包含了在显著性水平a=0.05下的接受域，如果在a=0.05

时，接受Ho,即样本值落在接受域内，则此样本值也一定落在a=0.01的接受

域，因此接受，故选A.

二、填空题(本题共〃题，每题1.0分，共“分。)

6

18、化区间(0,1)中随机地双两个数，则事件“两数之和小于耳'的概率为

17

标准答案：25

知识点解析：设事件A表示“两数之和小于可”，x,y分别表示随机取出的两个

数，贝iJOVxCl,OVyVl,从而C={(x,y)I0<x<l,0<y<l},A=((x,y)I

x+y<LJ,0<x<l,0<y<l),则由几何型概率知

19、设随机变量X的概率分布为P{X=k)=Ak(k=l,2,3,4,5),则常数

A=,概率］।2<41

标准答案：出'亏

知识点解析：利用概率分布的规范性

551

P(X=8=1.即A£A=15A-1,得人=百

-,7,即X的概率分布为

P{X=k}=二k(k=l,2,3,4,5),则

20、设随机变量X的概率分布为P{X=k}二万！，k=0,1,2,…，则概率P{X>

1)=.

标准答案：1一三

知识点解析：利用概率分布的规范性

OO

XP[X=S=1,得到】=

□,即X的概

率分布为P{X=k}=,率0,I,2,....P{X>1)=1-P{X<1}=1-P{X=O)-P{X=1}=

X

01

11

0TT

12_

1

21、已知(X,Y)的概率分布为设(X,Y)的分

冈

布函数为F(x,y),则=,=

17

标准答案：T'12

F(K，1)[xl

知识点解析：\2/=P{X=O,Y=O)+P{X=O,Y=l)=P(X>0,

Y>}=P{X=O,Y=1}+P{X=1,Y=l)=

22、设随机变量Xi服从于参数为Mi=l,2)的泊松分布，且Xi，X2相互独立，则

P{Xi=iIX【+X2=k}=.

标准答案:：!QI+A2)*

知识点解析：因Xi服从于参数为入i的泊松分布(i=l,2)且相互独立，故(X1+X2)〜

PQ1+入2).P(X|=iIXi+X2=k}

P<Xi=i.X|+X2=A}_P{Xi=i,Xz=A-i}

P{X；+X；=QP{X1+X2=4

_(上一D!i!_&!X*'

一(AI+A)*<一小i!(A.+Az)*'

T~i2e?

]

23、已知随机变量X的概率密度f(x)=Mi+O),则期望E[-min(IXI,

1)1=.

In2,1

标准答案：n2

g(x)/(x)d-r.

知识点解析：直接应用公式E[g(X)]」-8E[min(IXI,1)]

=fmin(|xI»1)/(x)djr

J-GO

=L产+L=；5dz+[=；二产

二都-k1"+当：泊％

=2・；ln(l4-x2)I1-I--arctanx=—+y.

n2IoK1Kz

24、在长为1的线段上任选两点，两点间距离的数学期望为.

标准答案：亍

知识点解析：假设X,Y为线段上的两点，则它们都服从［0,1］上的均匀分布，且

它们相互独立.X,Y的概率密度分别为

/、4*，O&NW/，/\；，

(p\x)=•<i,3(y)=11

°，其他，Io,其他，(X,Y)的概率密度为

冈

乂设Z:IX-YI,Di={(x,y)Ix>y,0<x,y<l},D2=((x,y)Ix<y,0<x,

蜉1}，则

25、设随机变量X和Y的数学期望是2,方差分别为I和4,而相关系数为

0.5,则根据切比雪夫不等式P{IX-YI>6)<.

1

标准答案：12

知识点解析：E(X-Y)=E(X)-E(Y)=O,D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2"XY，D(X)D(Y)

D(X-y)_3_1

=l+4-2x0.5x1x2=3,所以P{IX-YI>6)<623612,

26、设X|,X2，X3,X4是来自正态总体N(0,2?)的简单随机样本，X=a(Xi-

22

2X2)+b(3X34X4),其中a,b为非零的常数，则当a=,b=时，统计量X

服从小分布，其自由度为.

±J_2

标准答案；20'100'

知识点解析：因X〜N(0,2、则X1-2X2〜N(0,20),若要

Xj誉2〜N(O,D,则；=质「看

1/VaVaw；又因为x〜N(0,22),则3X3YX4〜

3Xj—4X,〜N(O,1),则。=10"=］后

2

N(0,10)»若要1处所以X=a(X|-

2X21+b(3X3-4X4)2〜£(2).

27、设Xi，X2，…，Xn为来自总体X〜U(8,6+1)(0>0)的样本，则。的矩估计量

为；最大似然估计量为