考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷16

考研数学三(解答题)高频考点模拟试

卷16

一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

..x-1

lim-：----.

x-isinnx

1、

rx—1IfU_]

lim—：----=lim-e

L)sinTtxz-lsinnxsinC^Cx-1)+〃]

..In[l+(«r—1)]1

rT?sinn(x-1)

标准答案：

知识点解析：暂无解析

2、求"岛"

lim色二^也立~I-sin*v)/.

4limi-

x，--clsinx

⑵:lim

1刈工Mm

x•3■«0X

-cusxI.I..sinx

=I♦r-lim------

标准答案：3«x

知识点解析：暂无解析

3、求心形线r=a(l+cosO)的全长，其中a>0是常数.

cosf

+r"(g)d6=2a

标准答案：因为r'(9)=一asinO,ds=,利用对

=8asin称

s=22acos

称性可知，所求的心形线的全长为力2o

知识点解析：暂无解析

4、一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为

0.1,0.2,0.3,假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件

数，求E(X),D(X).

标准答案：令Ai｛第i个部件需要调整｝(i=l,2,3),X的可能取值为0,1,2,

3,P(X=0)=P(^iA2A3)=O.9X0.8X0.7=0.504,P(X=1)=PS

0.398,P(X=3)=P(A]A2A3)=0.006,P(X=2)=l-0.504-0.398—0.006

=0.092.所以X的分布律为X〜E(X)=lxO.3984-2x0.092+3x0.006=

0.6,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=l2x0.398+22X0.092+32X0.006-0.36=

0.46

知识点解析：暂无解析

5、设x=rcosO,y=rsinO,将如下直角坐标系中的累次积分化为极坐标系中的累次

r*rxr2r-2%-/

I.dxf(x9y)dy+Ax\/(x.y)dy

积分.‘丁J】TJ1Jo

标准答案：本题中积分区域如图4.16中阴影部分所示.将其化为极坐标，可知

,,i

sin。+cos。.)

八1°宁由于丫=1-x可表示为rsin0=l—rcosS,即而y-=2x

-------------------Wr这2cos^

一x2可表示为r=2cos6,故.泊6'c08^.从而原积分可化为

.2co3

4de'I।/(rcos6,rsin8)rdr.

0.

知识点解析：暂无解析

6、设f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且广(x)W0.证明：(1)对于任意的x1-

1,0)U(0,1),存在唯一的。(x)仔0,1),使f(x尸f(0)+x/(0(x)x)成立；

(2)lim^(x)=

*72

标准答案：(1)由拉格朗日中值定理，对任意xE(l,—1),x#),存在g(0,1)使

f(x)=f(0)+xf(Gx),(0与x有关).又由广(x)连续且F'(x)和,故P(x)在(1,一1)不

变号，所以r(x)在(1,一1)严格单调，o唯一.(2)由(1)中的式子，则有

广⑻二&2亍3

那么/'(以)-//(0)=/(*)_/(°)W叫则

/'(以)-广(0)仆/(")-/(0)—-

8/，由上式

可得。的表达式，并令X-0取极限得

9"(0)

"⑴一A。广立⑨,

«-4)=«*4)%&X7W2

知识点解析：暂无解析

7、设随机变量Yi(i=l,2,3)相互独立，并且都服从参数为p的0-1分布.令

H,+丫…3=*...7

Io.¥,+%♦口"*,求随机变量(X1，X2)的联合概率分布.

标准答案：易见随机变量(Xi，X2)是离散型的.它的全部可能取值为(0,0),(0,

1),(1,0),(1,1).现在要计算出取各相应值的概率.注意到事件Y|,丫2,丫3相

互独立且服从同参数P的0—1分布，因此它们的和Y1+Y2+Y3-Y服从二项分布

B(3,p).于是P{Xi=O,X2=0}=P{YI+Y2+Y3#1,Y|+Y2+Y3^2}

33

=P[Y=0)+P{Y=3}=q+p,(q-1—p)P{Xj=O,X2=l}=P{Y|+Y2+Y3^1,

2

YI+Y2+Y3=2)=P{Y=2)=3pq,P{Xi=l,X2=0}=P；YI+Y2+Y3=1.

2

YI+Y2+Y3^2}=P{Y=1}=3pq,P{Xi=l,X2=l)=P{Y|+Y2+Y3=I,丫]+丫2+丫3=2}二

PI01=0.由上计算可知(Xi，X2)的联合概率分布为

知识点解析：暂无解析

8、设一金属球体内各点处的温度与该点离球心的距肉成反比，证明；球体内任意

(异于球心的)一点处沿着指向球心的方向温度上升得最快.

标准答案：由前面两个式子解出h，代入第三式有Y|+i-[l+Y（l-a）]Yt=-0y.特

2-S-

征方程为九=l+Ml-a）,设特解为Yi*=A=＞A=1-。’故Yi的通解为YI=-a

+C[l+r（l-a）],，其中C为任意常数.

知识点解析：暂无解析

11、设函数f（x）在x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且f（0）=0,f'（0）=0,

y（±）

证明£z〃绝对收敛.

标准答案：

证:南岬=0推得/（0）=0./'⑹=0.

因为/（X）在*=0处具有二阶连续等数•于是得/（X）在”=o处的二阶麦克劳林公式

/（j）=/（工）+广（0）1+4~/”（故）？.（0＜。＜1），

4

因而

/0TYH

所以

其中M=max（/"（“）｝（因为由题设知J"（外在包含于该邻域内、含原点的闭区间1上连

续,故在/1•.必有界,从而当〃充分大后，有

而£7收敛，故级数£，（《）绝对收敛.

知崩解析：暂无解Q’

0100

1000

00a1

12、设矩阵A=001231）若A有一个特征值为3,求a；（2）求可逆矩阵

P,使得P'A2P为对角矩阵.

标准答案：(1)IXE-AI=(X2-l)[X2-(a+2)X+2a-1],把入=3代入上式得a=

0100'1000

10000100

=

00210054

2,于是A=,0012.0045>.(2)由1入E-A?|=0得A2

的特征值为%=入2=入3=1，X4=9.当人=1时，由(E—A2)X=0得川=(1,0,

TTT

0,0),a2=(0,1,0,0),a3=(0,0,-1,1)；当九=9时,由(9Ef2)X=0

得《4=(0,0,1,1)T.将ai，a2，(13正交规范化得仇=(1,0,0,0)T,02=(0,

1,0,0)T,p3=区将04规范化得04=☆P=(0I，。2,阳。4)=.

知识点解析：暂无解析

13、利用变换y=f(eX)求微分方程y--(2ex+l)y^e2xy=e3x的通解.

标准答案：令1=已入,y=f(t)=>y,=f(t).ex=tf(t),

,xx2

y"=(tf(t))x=ef(t)+tf(t).e=tf(t)+tf'(t),代入方程得t??，⑴+田⑴一

(2t+l)tf(t)+t2f(t)=t3,即F(。一2『⑴+f(t)=t.解得f(t)=(Ci+C2t)』+t+2,所以y”一

(2eX+l)y-e2Xy=e3x的通解为y=(C|+C2eX)eex+e，2,其中。，C2为任意常数.

知识点解析：暂无解析

设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分

别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.

14、求先抽到的一份是女生表的概率p；

标准答案：设事件Bi=｛抽到的报名表是第i地区考生的｝(i=L2,3),则

P(Bi)=P(B2)=P(B3)=i/3.又设Aj=｛第j次抽到的报名表是女生表2),则

'，•=｛第j次抽到的报名表是男生表)，且P(Ai|Bi