考研数学-函数与极限

题型1函数的性质

一、基础知识

~~L单调性

判断单调性的方法：(1)根据定义,考察/(x.)-f(x2)的符号；

(2)根据导数的符号.

2.奇偶性

奇偶性的性质：(1)奇函数的图形关于原点对称，且；偶函数的图形关于轴对称.

(2)奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇乂奇=偶；偶乂偶=偶；奇乂偶=奇.

判断奇偶性的方法：(1)奇偶性的定义

(2)奇偶性的性质

(3)奇函数/*)+/(-%)=0

单调性多结合导数考查奇偶性结合变上限函数考查.(放后面讲)

3.有界性

判断有界性的方法：(1)闭区间上的连续函数定为有界函数.

(2)开区间(出+8)内的连续函数考察lim/(幻与lim/(戈)，若二者的极

XT“+XTE

限都存在，/(的在m,y)内有界.

(3)适当放大或缩小有关表达式导出有界.

(4)利用基本初等函数的图形.

4.周期性

定义域为。.正数r,使得对于任一X£。,有7)E。,且

/(x±T)=/(x)

恒成立，则称为周期函数.称为的周期.

二、例题

例1.判别函数的奇偶性…【答案.，奇函数.

例2.在(-OO,+8)内函数/(x)=(1+R为【D】

1+厂

(A)奇函数...(B)偶函数..(C)无界函数..(D)有界函数.

例3.(04—34)函数/(x)=在下列哪个区间内有界【A】

x(x-l)(x-2)-

(A)....(B)....(C)....(D).

练习

1.设，则是【C】

(A.偶函数.・・(B)周期函数..(C)无界函数..(D)单调函数.

题型2数列的极限

一、基础知识

符号定义：lim=au>Ve>0>0,当〃〉N时，恒有

M—

\xn成立

数列极限存在准则：夹逼准则单调有解准则

二、例题

(1)考查定义

例1.下列命题中正确的是【D】

(A)当n越大时一山越小，则｛叫必以4为极限

(B)当n越大时山“一A|越接近于零，则｛qJ必以A为极限

(C)De>0JN>0,当〃〉N时,有无穷项满足其一川<£,则｛与｝必以A为极限

(D)>0,mN>0,当〃〉N时,仅有有限多项不满足1%-A|v£，则｛%｝必以A为极限

⑵利用“单调有界准则”证明极限存在，求递归数列的极限

例2.(022)设0<凡<3,.=4(3f)(〃=1,2,…)，证明数列｛玉｝的极限存在,并求此极限.

3

【答案】-

2

例3(06-12-12分)设数列氏｝满足0<内<乃,i+[=sinx”(〃=l,2,...).

(I)证明lim工存在，并求该极限.

(II)计算.....【答案】0,

练习

1.设芭=2,々=2-L…,七用=2-工，证明数列｛,｝的极限存在,并求此极限.

%Xn

【答案】1

2.证明数列6,12+立,2+，2+应,...的极限存在,并求此极限.

【答案】2

3.(964)设百=10,必用=gx“(〃=1,2,…)，试证数列｛七｝的极限存在,并求此极限.

【答案】3

(3)利用“夹遇准则”与“定积分的定义”求〃项和的极限

例4.(04-2)limlnj(l+')2(i+2)2…([+32等于【8]

,18ynnn

(A)..(B)..(C)..(D)........

例5.(98・1)求・・【答案..

练习

..1r[~rt127rf~mi-2>/2

1.(02-2)lim—[/I+cos—+/I+cos—+…JI+cos—]=------.

〃T8〃，nVnvn兀

2.(99-4)设函数f(x)=ax(a>0,〃w1),则/(1)/(2).../(«)]=-\x\a.

…疗、—2

题型3函数的极限件*)

一、基础知识

⑴行号定义：山]]/@)=4=\/£>(),：15>(),当卜一凤|<5时,恒有

|/(x)-川<£成立

(2)符号定义："/(x)=4oVe>0,mx>0,当国>X时，恒有

.(X)-A|V£成立

⑶两个夏要极限

a...........b.

⑷无穷小量的性质

有限个无穷小量的“代数和”“乘积”-----无穷小量；

常数或有界函数与无穷小量的乘积-----无穷小量；

无穷小量(o除外)的倒数是无穷大量;无穷大量的倒数是无穷小量:

(5)常用的等价无穷小代换：当时，

sinx-x,arcsinx~x,tanx-x,arctanx-x,ax-1~x\na,

ln(l+X)~X,1—COS工~-X",4-X—1~—X,£*'—1~X.

2〃

-等价无穷小代换常常使用在极限运算中.起到简化运算的作用,但必须注意,只能在乘除中使用.不

能在加减运算中使用.

(6)洛必达法则

如果函数/(x)和g(x)满足

(1)当/—>filerf8时J(x)70,g(x)—>0,

(2)广。)和g，(x)存在，且夕")。0.

(3)极限lim存在(或为无穷大)，

夕(幻

..八幻../'U)

那么hm''=km-------

g(x)g'(x)

(7)无穷小■阶的比较

定义:设口是在同一极限过程中的无穷小，又口也是这个变化过程中的极限.

(1)lim=0----------比a“高阶”的无穷小，记作/=。(。)；

a

(2)lim^=oo----------4比a“低阶”的无穷小；

a

(3)lim^=C(cwO常数)-------夕与a是“同阶”无穷小；

a

(4)如果，则与是“等价”无穷小，记作.

洛必达法则的使用原则：先用代数恒等变形把非0非8因子用极限法则分离出去.再尽量用等

价无穷小化简.最后使用洛必达法则.

极限问题:定义理解是基础，运算性质是关键,除上述方法必要时可采用具有皮亚诺余项形式的

泰勒公式.

二、例题

(一)考查定义、性质、定理

例1.设lim/(x)与limg(x)都不存在，则[D]

XT%XT"

(A)一定不存在..

(B)lim"(x)-g(x)]一定不存在.

(。当与有一个存在，则另一个一定存在.

(D)lim[/(x)+g(x)]与lim"(%)—g(x)]都有可能存在.

XT与

例2.设时，不是无穷大，则下述结论正确的是【D】

(A)若是无穷小，则必是无穷小..

(B.若不是无穷小，则必不是无穷小..

(C)若在的邻域内无界，则必是无穷大.

(D)若在的邻域内有界，则必不是无穷大.

0oo

(二)—,一，8—8,0,8型未定式极限

000

arctanx-sinx]_

例3.(07-2)lim

XTO6

/+J-i

例4.(07-34)lim........-(sinx+cosx)=0.

XT+a，2'+X

行，xln(l+x)

例5.(06-2)hm--——-=2.

1-cosx

,.71X

1-ysin-

y)'

例6.(06-34-7分)设f(x,v)=,x>0,y>0求

l+tyarctanx

(1)g(x)=lim/(x,)，)；(2)limg(_r).

yT+CONT0+

【答案】(1.…⑵.

2x

例7.(05-34)limxsin———=2.

xeJC+1

心…/1+X1\1

例8.hm(-----+—)=—.

z\-eAx2

练习

1.limxnInx(H>0)=0.

XTO'——

-Vl+tanx-\!\+s\nx1

2.(99-2)hm-----------------——=——.

ioxln(l+x)-x2

-“.「—-sinx-1,

3.(92-1)lim-----,L

4.(93-2)limX(A/X2+100+x)=-50.

「/11、1

5.(99-!)lim(--------)=-.

XTOxxtanA3

\-ex

6.(91-2)lim-----1.

XTO，--------

x+ex

（三）幕指函数求极限（F°,0°,8。）

〃+1\(-0"

例9.(06-34)lim=1.

〃一>00I〃7

例10.(04210分)求极限lim二N十cos・i,1

z。3J

【答案】

例n.(90・i)设是非零常数，则.

练习

l.(03-l)limcos”m=e5.

x-»0-----

2.lim(arcsinx),anr=L

XTO，

i

3.lim(cotx)lnt=e~].

x-»0+-----

(四)无穷小阶的比较

例12.(07・1234)当时，与等价的无穷小量是【B】

(A...(B..(C...(D・・.

例13.(04-12)把x->0'时的无穷小a=J；cosrdt,/?=£'tan4tdt,y=£'sin/Wz排列起来,

使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是【B】

(A)...(B)....(C)....(D).

练习

1.(97-3)设/(x)=J："sinrdt.以为=?+?,贝ij当x.()时,/0