考研数学二（填空题）模拟试卷172

考研数学二（填空题）模拟试卷172

一、填空题（本题共20题，每题1.0分,共20分。）

Kl+x2-eX2当x—0时是x的阶无穷小（填数字）.

标准答案：4

知识点解析：由于

1_

■7x2ktk洛必达法则I.取£=222

因此当XT0时l+x2_eX2是X的4阶无穷小.

limnf(1+—)-1]

2、设k为常数，则“一8对」=.

标准答案：k.

(1+—)-1

lim-——昙——=(?)q,wI

riTB1

知识点解析：原式=〃=k.

..xex-ln(l+x)

lim------------2----------

3、­0,z

2

标准答案：工

ze'-ln(l+x)i—ln(1+n)

lim+lim

■rfOur—0

x-ln(1+z)

+lim

1-0

1―7-7--

3

=1+lim―

知识点解析:LOZX2

…在…且岬”…

处的切线方程为.

3ssx«■1■■»

标准答案：y—22a—2)

知识点解析：由*一】z-1得f(2)=2,且

-l=lim2/y二3二,im2小土二二？上2£@一2s

x-lX-1«-21-2

12=1

「(2)=2,则曲线y=f”)在点(2,f(2))处的切线方程为y—彳口一2).

5、由曲线％=a(t—sint),y=a(l—cost)(0SS2兀)(摆线)及无轴围成平面图形的面积5

标准答案：3血2

知识点解析：当代[0,兀]时，曲线与工轴的交点是工=0,2兀a(相应于t=0,2,

兀)，曲线在无轴上方，见图3.26.于是图形的面积S=Jo2nay(%)敢

…(•)J(产a(l—cost)[a(t—sint)]fdt=fo27Ia2(l-cos)dt=a2f()2jI(l—2cost+

79图3.26

cost)dt=3jur.

1-3r2i

0a-2

6、己知方程组-3■*有无穷多解，则a=.

标准答案：一5

知识点解析：对增广矩阵作初等行变换，有

1-3,21-3-32

0a-201a-20a-2

-35：16」-0a+314L0020—a-a210-3a

当a=-5时，r(A)=""v3,方程组有无穷多解.

7、f()2nsinnxcosmxdx(§然数n或m为奇数尸.

标准答案：0

记C

知识点解析：由周期函数的积分性质得In,一f(r7tsinnxcos，nxdx=f-

7Inm

7tsinxcosxdx.当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故In.m=0.当m为奇

数(设m=2k+l,k=0,112,…)时In,m=L『sin'、。一siFxpdsinx二R(sinx)I.

/=0,其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项).因此，In,m=0.

y=ftan/dt(OW4经。)

8、曲线％4的弧长s二.

标准答案：1M1+&)

XX_______X

1=[v/1*(7*)"•dx=f+lan24dx=[secxdx

知识点解析：***

=ln(secx+taru)=ln(1+^2)

f」红土9业

9、J2/—3x—9=

标准答案：InI2x+3I+5lnIx-3I+C

知识点解析：

因为黄出=*+资,所以

/U-^-9<lr=W+居)&=ln1"+3l+51nI1-3I+C

10、微分方程xy，=/i_《+y(x>0)的通解为

标准答案：lnx+C

知识点解析:

/i一仔1+也令上=心学=〃+工半

dr"V'xzIxaxax

所以

arcsinu=Injr+C=>arcsin—=ln.r+C.

x

lim/Q”-21

11、设周期为4的函数f(»处处可导，且L2N—42,则曲线y=

收)在(一3,f(—3))处的切线为.

标准答案：y=-2Z-4

』包—1)-2

lim

知识点解析：由*-2工2—42得f⑴=2,再由

L

y

4x-2X-I得《)=—

2,又f(-3)=f(—4+l)=f(l)=2,f(-3)=f(-4+l)=f(l)=-2,故曲线y=

f(%)在点(一3,f(—3))处的切线为丫-2=—2(4+3),即丫=-2%—4.

SI

12^设f(x,y)连续，且f(x,y)=x+yDf(p»v)dpdv,其中D是由y=,x=l,y=2

所围成的区域，则f(x,y)=o

1

标准答案：X+2y

知识点解析：首先令A=lf(p,v)dMv,则A为常数，此时f(x,y)=x+Ayo

A=J/(x,y)dxdy=^(x+4y)dxdy=£dyf(x+4y)山

DD，

=j(1+句-专叫dy=?+］，

即4二9A.；,得A=J,因此可得f(*y)=%+9。

13、微分方程+》的通解为

标准答案：InIxI+C

知识点解析：由xy,=

匕=7+力得y=0与土，

令子=U,贝lju+z*=u4-，1—“2,解得arcsinu=In|x1+C,则原方程通解为

arcsin?=In|x|+C.

x

•0-2-2'

；22-2I

14、矩阵1-2-22」的非零特征值为

标准答案：4

知识点解析：矩阵A的特征多项式为

A22

|AE-A|=-2A-22=A2(A-4)

22人-2所以非零特征值为4。

15、微分方程xdy—ydx=ydy的通解是

标准答案：*：=C,其中C为任意常数

知识点解析：

原方程化为（1-j）d»=步曲,是齐次型，

令y=皿，则dy=xdu+udz,方程再化为与/du=李，积分得-Inu=Ink—InC或

xue-=C.

代入y=n即得通解ye：=C,其中C为任意常数.

16、设A,B均为n阶矩阵，且|A|二2,|B|二一3,贝”2A*B/|=

22"-1

标准答案：3

22"-1

12A.B',|=2"|AeIIB^II=2,•\A\l_L

知识点解析：|B|-3-,

0—0

4

00y

17、设3阶方阵A,B满足关系式A"BA=6A+BA,且A=L,」，则

B=.

标准答案：diag(3,2,I)

知识点解析:由A/BA=6A+BA得B=6A(E-A)"=diag(3,2,1),其中，

1

A2=Af

••

••••

LL'Ll，入2,•・・，入3全不为零.

叱c/\、n-max/(工)，则limM.

1O8、右f(x)=2nx(l-x),记Mn=g<ii=

标准答案：2/e

知识点解析：

由/(工)=2〃(1一/尸一2〃々(1-1)1=0得1=—^,当]£(O,-4-r)时

n4-1n4-1

/(x)>0;当工W(工，D时，/(幻V0,则工=士为最大点.

M.=/(』)=4・(士匚故lirnM。=2lim-L—=2.

h+1n4-1n-r11r^(]+工)e

n

n、rmax/(x)tSOlimM.

19、右f(x)=2nx(l-x),记Mn=o<《iL0°=

2

标准答案：工

知识点解析:由/6）=211（1共）叱2热（1出产1=0得乂=

一57T，当ze（0，占）时，

n4-I〃+1

/'（7）>0,当］£（一^.1）时./（-V0,则h==7r为最大点,

ni-1n+1

M.=八清）=备•（品「故!㈣M,=2］西=4