考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷2

考研数学三(解答题)高频考点模拟试

卷2

一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

1、":詈；曲•计皿

-八&・/：(/：含力晶•/詈d西

0

标准答案："：(1含W'”:聋心«2.

知识点解析：暂无解析

2、设y=xcosx,求严).

标准答案:逐一求导，得y'=cosx+x(cosx)',y,,=2(cosx),+x(cosx)*',

y»»=y<3)=3(cosx)"+x(cosx)(3),...观察其规律得y(n)=n(cosx)(n—1)+x(cosx)(n).(*)用

归纳法证明：当n=l时(*)显然成立，设n=k时(*)式成立，得

y(kH-k(cosx)<k)+(cosx)(k)+x(cosx)(kfl)=(k+l)(cosx)(k,+x(cosx)(kf|),即n=k+1时成

立，因此(*)式对任意自然数n成立.再用(cosx)(n)Mj公式得y<n)=ncos(x+

—j—Ttj+xc叫x+yir)

知识点解析：逐一求导，求出y\y”，…，总结出规律，写出y⑺表达式，然后用

归纳法证明.

4OB2

3、设f(x)的定义域为［1,+8),f(x)在［1,+00)可积，并且满足方程f(x)=//

fi+°°f(x)dxo讨论f(x)的单调性.

标准答案：首先确定f（x）的表达式，由题设「（X）在［1,+8）可积，于是可设

JLf（x）dx二A,代入即得

jIf（x）dx=A,①

l/（X）=/下

把②代人①有彳=（信-引入=（-7+7）Ij

=4-4

②44

=4=2nf(x)=-y--

3

>0,1Wx<1

23_

因/'(*)=4引=*(3-2z)=0,

?r,

3_

<0,T*

故/（*）在［1即单刊增加，在信,♦8）单调减少.

知识点解析：暂无解析

X|+Ar2+M3+x4=0,

2x|+x2++2X4=0,

l3x

4、已知线性方程组i+（2+A）X2+（4+p）x3+4x4=I有解（1,一1,1,

一1）二（1）用导出组的基础解系表示通解；（2）写出X2=X3的全部解.

标准答案：（1,一1,1,一1产代入方程组，可得到归U,但是不能求得它们的

值.（1）此方程组已有了特解（1,-1,1,一1产,只用再求出导出组的基础解系

就可写出通解.对系数矩阵作初等行变换:

Ar212'

21120131=B.

-32+A4+A4--02A-2A-I0-①如果2入一1二0,则

*22-I01/21

B=0I310I3

-0000--0000(I,-3,1,0)T和(一1/2,—1,0,

1）T为导出组的基础解系,通解为（1,一1,1,一l)T+ci(l,一3,1,0)T+C2(-*1

/2,一1,0,1)T,Cl，C2任意.②如果2人一1#0,则用从一1除B的第三

•211211001--100

B—013010010-1/2

行：-0110」-0021--0011/2(-1,1/2,—1

/2,1产为导出组的基础解系,通解为(1,一I，1,-*1)T+c(—1,1/2,—1/

2,1)T,c任意.(2)当2入一1二0时，通解的X2二一1一3cl—C2，X3=l+ci，由于

X2=X3，则有一1—3C］—C3=1+C1，从而C2=-2—4cj,因此满足X2=X3的通解为

(2,1,1,—3)T+C1(3,1,1,一4)T.当2入一1却时.，-l+c/2=l-c/2,得

c=2,此时解为(一1,0,0,1)T.

知识点解析：暂无解析

Jim=1

5、设…1且门x)>0.证明：f(x)>x.

；lim盘-1

标准答案：因l。z,得f(0)=0,f(0)=l.因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处

/(jr)=f(0)+，(0)1+4&/(《介于0与彳之间).

的一阶泰勒公式成立，即2!因r(x)

>0,故f(x)Nx,当且仅当x=0时等号成立.原命题得证.

知识点解析：暂无解析

6、设f(x)在［a,b］上连续可导，证明:

max|/(J)|4~［/(才)&+f|Idj,.

b—aJaJ«

标准答案：因为f(x)在［a,b］上连续，所以If(x)I在［a,b］上连续，令

If(c)|=max|f(T)r--..

“QG根据积分中值定理，6-aJabf(x)dx=f©,其中

乐［a,b］.由积分基本定理，f(c尸f0+J「r(x)dx,取绝对值得If(c)I<If®I

+IJ「r(x)dxI<If®I+fabIf(x)Idx,即

max|/(x)K7-^—f/(x)ir+|/(x)|dx.

«<.*<*b-aJ•»J»

知识点解析：暂无解析

f(x；e)='°<*<1,

7、设总体X的概率密度为1°，其他，其中。>0,如果取得

样本观测值为XI，X2,Xn，求参数0的矩估计值与最大似然估计值.

标准答案：考虑总体X的一阶原点矩vMXLRX^ok.OxO/dxWjoydxi+「用

样本一阶原点矩的观测值〃e作为V］(X)的估计值，则可得参数0的矩估计值为

因此可得参数。的矩估计值为参数e的似然函

L(e)=□(丁尸)=,

数为小--两边同时取对数，并对参数o求导，令导

12、设向量a=(ai，a2，…，a/,其中a1#),A=a0r.⑴求方程组AX=0的通

解；(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量.

标准答案：(1)因为r(A)=l,所以AX=0的基础解系含有。一1个线性无关的特征

向量，其基础解系为

6=(一皆,1,0,…,0)=(一…,0)，…=(一六,0,0,…,1)1

则方程组AX=0的通解为kiai+k2a2+...+kn—ian—i(ki，k2>...»kn—i为任意常

数).(2)因为A?=kA,其中k=(a,a)=£>0,所以A的非零特征值为k,因为

Aa=aaTa=ka,所以非零特征值k对应的线性无关的特征向量为a.

知识点解析：暂无解析

13、设有4阶方阵A满足条件|3E+A|=0,AAT=2E,|A|<0,其中E是4阶单位矩

阵.求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值.

标准答案：由|3E+A|=0知入=-3为A的特征值.由AAT案E,|A|V0知|A|=-4,则

A*的一个特征值为a3

知识点解析；暂无解析

1/(26).0<x<0.

f(x；0)={"[2(1—。)]・。&zV1,

设总体X的概率密度为I°*其他，其中0(0

V8V1)未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随