考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷6(题后含答案及解析)

题型有：l.jpg/>,则秩r(AB+2A尸。

正确答案：2

解析：因为AB+2A=A(B+2E),且B+2E=是可逆矩阵，所以r(AB+2A)=r(A)。

对A作初等行变换，则因此可得r(AB+2A)=2。知识模块：矩阵

6.已知n阶矩阵A=,则r(A2一A)=。

正确答案：1

解析：因为A2—A=A(A—E),且矩阵A=瓦逆，所以r(A2—A)=r(A—E),

而r(A—E)=l,所以r(A2—A)=L知识模块：矩阵

7.已知，且AXA*=B,r(X)=2,则a=。

正确答案：0

解析：根据A可逆可知，其伴随矩阵A*也是可逆的，因此

r(AXA*)=r(X)=2=r(B),因此可得|B|=0,则|B|==a=O。知识模块：矩阵

8.设A二,B是三阶非零矩阵，且AB=O,则a=。

正确答案：

解析:因为AB=O,则有r(4)+r(B)W3,又已知矩阵BrO,因此r(B)》l,

那么r(A)=-2(5a—4),所以a=。知识模块：矩阵

9.己知A=，B是三阶非零矩阵，且BAT=O,则@=0

正确答案：一

解析：根据BAT=0可知,r(B)+r(AT)W3,即r(A)+r(B)W3。又因为BWO,

因此r(B)21,从而有r(A)=3(—2a—3)=0,于是可得a=。知识模块：矩阵

10.设A是一个n阶矩阵，且A2-2A-8E=O,则r(4E—

A)+r(2E+A)=o

正确答案：n

解析：已知A2-2A-8E=0,可得(4E—A)(2E+A)=O,根据矩阵秩的性质可

知r(4E—A)+r(2E+A)Wn,同时r(4E—A)+r(2E+A)^rE(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n,

因此r(4E—A)+r(2E+A)=n0知识模块：矩阵

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11.设A=，求An。

正确答案：首先观察由此推测下面用数学归纳法证明此结论成立：当n=l

时，结论显然成立；假设n=k时成立，则n=k+l时，Ak+l=Ak*A=入k-2涉

及知识点：矩阵

12.已知A二，求An。

正确答案：将矩阵A分块，即A=，其中将B改写成B=3E+P,

于是Bn=(3E+P)n=3nE+C,3n-lP+Cnl3n-2P2,其中，Pi=O(i=3,4,…，n).将C

改写成C=(3,—1),则C2=6C,…，Cn=6n-lC,所以涉及知识点：矩

阵

13.已知A=，且AX+X+B+BA=O,求X2006。

正确答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=—B(E+A),而A+E可逆的，所

以X=—(A+E)・1B(E+A),故

x2006=(A+E)-lB2006(E+A)=(A+E)-l(E+A)=Eo涉及知识点：矩阵

已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关，且满足A3x=3Ax

一2A2xo

14.记P=(x,Ax,A2x)o求三阶矩阵B,使A=PBP-l；

正确答案：令等式A二PBP-1两边同时右乘矩阵P,得AP=PB,即A(x,

Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax-2A2x)=(x,Ax,A2x),所以B=o

涉及知识点：矩阵

15.计算行列式|A+E|。

正确答案：由⑴知A〜B,那么A+E〜B+E,从而|A+E|=|B+E|==-4。

涉及知识点：矩阵

设A为n阶可逆矩阵，。为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是

A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。

16.计算并化简PQ；

正确答案：由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A-1有涉及知识点：矩阵

17.证明矩阵Q可逆的充分必要条件是QTA-1arb。

正确答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有|P|=|A|,及

|P||QI=|PQI==|A|2(b-aA-la)e因为矩阵A可逆,行列式|A|W(),故Q=|A|(b-

aTA-1a)o由此可知，Q可逆的充分必要条件是b—aTA-1aHO,即aTA-1

QWb。涉及知识点：矩阵

18.设矩阵A的伴随矩阵A*=，JaABA-1=BA-1+3E,其中E为四阶单位

矩阵，求矩阵B。

正确答案：由AA*=A*A=|A|E,知|A|二|A|n-l,因此有8=|A*|=|A|3,于是|A|=2。

在等式ABA-1=BA-1+3E两边先右乘A,再左乘A*,得2B=A*B+3A*A,即(2E

—A*)B=6Ec于是B=6(2E—A*)-1=。涉及知识点：矩阵

19.已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(l,1,1,8),且ABA-1=BA-1+3E,

求Bo

正确答案：在A*=|A|A-1两端取行列式可得|A*|=|A|41A.l|=|A|3,因为

A*=diag(l,1,1,8),所以|A*|二8,即|A|二2。由ABA-1=BA-1+3层移项并提取

公因式得，(A—E)BA-1=3E,右乘A得(A—E)B=3A,左乘A-1得(E—A-1)B=3E。

由己求结果|A|=2,如A・l=diag(l,1,1,8)=diagEA-l=diag(l,1,1,1)一diag

得(E一A-l)-l=diag(2,2,2,一),因此B=3(E-A-l)-l=diag(6»6,6,

一l)o涉及知识点：矩阵

2().已知AB=A-B,证明：A,B满足乘法交换律。

正确答案：由AB二A—B可得E+A—B—AB=E,即(E+A)(E—B)=E,这说明

E+A与E-B互为逆矩阵，所以(E-B)(E+A)二E,将括号展开得BA二A一B,

从而可得AB=BA,即A,B满足乘法交换律。涉及知识点：矩阵

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：

21.若|A|=(),则|A*|二0：

正确答案:(反证法)假设|A*|W0,则有A*(A*)-1=E。又因为AA*=|A|E,且

|A|=0,故A=AE=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0,所以A*=0。这与|A*|W0矛盾，故

当|川二0时-，有|A*|二0。涉及知识点：矩阵

22.|A*|=|A|n-K

正确答案：由于AA*=|A|E,两端同时取行列式得|A||A*|二|A|n。当|A|正0时,

|A*|=|A|n-l；当年=0时,|A*|=0o综上，有|A*|=|A|n-l成立。涉及知识

点：矩阵

23.设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明：(A*)T=(AT)*.

正确答案：因为A可逆，所以|A|二|AT|,且AA-1=E。在AA-1=E两边

同时取转置可得(A-l)TAT=E,即(AT)-1=(A-1)T,所以

(A*)T=(|A|A-1)T=|A|(A-1)T=|AT|(AT)-1=(AT)*。涉及知识点：矩阵

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为Bo

24.证明B可逆；

正确答案：设E(i,j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等

矩阵，则有B=E(i,j)A,因此有|B|二|E(i,j)||A|二一|A|H0,所以矩阵B可逆。涉

及知识点：矩阵

25.求AB-1。

正确答案：AB-l=A[E(i,j)A]-l=AA-lE-l(i,j)=E-l(i,j)=E(i,j)0涉

及知识点：矩阵

26.设A=(al,2,a3)为三阶矩阵,且|A|=1。已知b=(a2,a1,2a3),

求B*A。

正确答案：根据题意可知B=(al,a2,a3)=AP,其中P=，则|P|二一2且

P-l=,所以|B|二|A|*|P|二一2。于是B*A=|B|・B-1・A=-2P-1・(A-1A)=­2P-1二。

涉及知识点：矩阵

27.设A=,问k为何值,可使：⑴r(A)=l；(II)r(A)=2；(III)r(A)=3o

正确答案:对A作初等变换，即⑴当k=l时,r(A)=l；(II)当k二一2时,r(A)=2；

(HI)当kWI且kW—2时，r(A)=3。涉及知识点：矩阵

28.设Q,8为三维列向量，矩阵A=QCIT+BBT,其中aT,BT分别

为a,B的转置。证明：r(A)W2。

正确答案：方法一：r(A)=r(aaT+ppT)^r(aaT)+r(BBT)W

r(a)+r(3)^2o方法二：因为A=QaT+B6T,A为3X3矩阵，所以r(A)

W3。因为a,B为三维列向量，所以存在三维列向量，WO,使得aT

g=0,3T€