考研数学三（线性代数）模拟试卷65

考研数学三(线性代数)模拟试卷65

一、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)

设A是三阶矩阵，ai，a2,a3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aai=a2+a3,

Aa2=a1+(x3,Aa3=ai+a2.

1、求矩阵A的箱征值；

标准答案:因为ai，az，as线性无关，所以ai+a2+a3#),由

A(a[+a2+a3)=2(ai+a2+a3),得A的一个特征值为X|=2；又由A(ai—a2)=~(ai-

a2),A(a?-*013)=—(a2-*aj),得A的另一个特征值为九2二一1.因为ai»a?，«3

线性无关，所以ai-az与az—a3也线性无关，所以九2二一1为矩阵A的二重特

征值，即A的特征值为2,—1,一1.

知识点解析：暂无解析

2、判断矩阵A可否对角化.

标准答案：因为四一。2,。2,为属于二重特征值一1的两个线性无关的特征向

量，所以A一定可以对角化.

知识点解析：暂无解析

设A,B为三阶矩阵，且AB=A-B,若九2,13为A的三个不同的特征值，

证明：

3、AB=BA；

标准答案：由AB=A一B得A—B—AB+E=E,(E+A)(E—B)=E,即E—B与

E+A互为逆矩阵，于是(E—B)(E+A尸E-(E+A)(E—B),故AB=BA.

知识点解析：暂无解析

4、存在可逆矩阵P,使得P一】AP,P—^P同时为对角矩阵.

标准答案：因为A有三个不同的特征值九I，M，入3,所以A可以对角化，没A的

三个线性无关的特征向量为及,43，则有A&,及,&3)=(&，Q，⑤)diag(加，

M，入3)，BA©],及，白尸BR1，J^)diag(Xi，九2,九3)，AB©,Q,B)=B(4,

及,43)diag(X|,九2,松)，于是有AB&=KiB&,i=l,2,3.若B&#),则B4是A

的属于特征值九i的特征向量，又左为单根，所以有电曰摩若B50,则&是B

的属于特征值0的特征向量，无论哪种情况，B都可以对角化，而且&是B的特

征向量，因此，令P=(0,而，&3)，则P】AP,P】BP同为对角阵.

知识点解析：暂无解析

5、(1)若A用逆且A〜B,证明：A〜B；(2)若A〜B,证明：存在可逆矩阵P,

使得AP〜BP.

标准答案：(1)因为A可逆且A〜B所以B可逆，A,B的特征值相同且|A|二|B|.因

为A〜B,所以存在可逆矩阵P,使得P」AP=B,而A*=|A|A

于是由P'AP=B,得(P!AP)'=Bl即P'A!P=Bl故P'|A|A

】P二|A|B1或P】A*P=B*,于是A*〜B*.(2)因为A〜B,所以存在可逆阵P,使

得P!AP=B,即AP二PB,于是AP二PBPP'=P(BP)P故AP〜BP.

知识点解析：暂无解析

102

A=a1a-2

6、设一3°4有三个线性无关的特征向量，求a及Al

A+10-2

-aA-12-a

标准答案：由|入E-A|二304=o,得1]=12=1,

20-210-1

E—A=-a02-a-*002-2a・

00°因为矩阵A有三个线性无

关的特征向量，所以A一定可对角化，从而r(E—A)=l,即a=l,故

-10201

A=11-11,金=0；

-304由九=1时，由(E—A)X=0,得力二°」U由入=2

2

一1.

时，由(2E--A)X=0,得3』3J令p=«],及，&3)=

0121

10-1•则piAP=11

'2)两边n次寻得p

013,AnP=2-从而

102f—2

P111-2-

An=03X2-2

知识点解析:暂无解析

Zi4-x24-=11

2x,+(a+2)/z+3+】)口=a+3有无穷多个解.q=a1

Xi+Zxt+心3=3°0

0

0

a

a3=为矩阵A的分别属于特征值九1=1,入2=一2,入3二一1的特征向量.(1)求

A；⑵求|A*+3E|.

111I

D=2a+2a4-11

标准答案：因为方程组有无穷多个解，所以12aLa2-*

2a+l=0,解得a=l.令P=(ot],a2,as)=

1-10rj

11°，则pi4p=—2

001]7

13)

,▲.--—nI)

122

从A=P-2P'=31A.

-i22

00—J(2)|A|=2,A*对应的特征值

IA1,1A1,1AI

为尢'儿'23即2,一I,-2,A*+3E对应的特征值为5,2,I,所以

|A*+3E|=10.

知识点解析：暂无解析

设八为三阶文对称矩阵，八的每行元素之和为5,AX=O有非零解口羽=2是A的

特征值，对应特征向量为(一1，0,1)T.

8、求A的其他特征值与特征向量；

标准答案：因为A的每行元素之和为5,所以有即A有特征值

(1)

1

入2=5,对应的特征向量为1又因为AX=0有非零解，所以r(A)V3,从而A有

特征值0,设特征值。对应的特征向量为14J根据不同特征值对应的特征向量正

1

J-Xi4-Xj=0-2.

交得Ui+4+马=。'解得特征值。对应的特征向量为1

知识点解析：暂无解析

9、求A.

标准答案:

032

2，由PAP=5•得

-210

03852

1

5222555

63

01-21258

知识点解析：暂无解析

110100

A=15-2〜B=0b0

10、设0-2a006,求a,b及正交矩阵P,使得

PTAP=B.

标准答案:因为A〜B,所以tr(A尸tr(B),|A|=|B|,即

6+。=7+6

•解得a=1・〃0•则

4a-4=6。

11000

A=152000

0-21006因为A〜B,所

以矩阵A,B的特征值都为h=1,入2=0,入3=6.当九=1时，由(E—A)X=0,得

NT

当九=0时，由(0E-A)X=0,得0=2当入=6时,由(6E-A)X=0,

-1

令"命=上0-5

=示*I730

2

，30

5

令P一(YI，丫2,Y3)=，贝跖pTAP=B.

知识点解析：暂无解析

11、设A,B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)Vn,证明：A,B有公共的特征向量.

标准答案：因为r(A)+r(B)<n,所以r(A)<n,r(B)Vn,于是九=0为A,B公共的

特征值，A的属于特征值入=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解；B的属于

r(A)

特征值人=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解，因为^B/<r(A)+r(B)<n,所

AX=0

以方程组,BX=。打•非零解，即A,B有公共的特征向量.

知识点解析：暂无解析

设A是n阶矩阵，ai，a2，...»an是n维列向量，且an和,若Aai=a2,

A(X2=a3，…，Aan-i=an»Aan=0.证明：

12、a”a2>...»an线性无关;

标准答案：令X]ct]+X2a2+…+xna1】=0,则xiAai+x2Aa2+…+xnAan=0=>

+

X]a2+x2a3+...+xn—ian=0xiAa2+x2Aa3+...+xn-iAan=0=^xia3+x2(X4...+xn-2«n=0

xian=0因为an#),所以xi=0,反推可得X2=...=Xn=0,所以ai，az，…，期线性无

关.

知识点解析：暂无解析

13、求A的特征值与特征向量.

00•••00

10•••00

01•••00

•*■•

*•■*•

00•••10

标准答案:A(ai，。2，…，an)=(ai，a?，…，an),令

f00…00

10-00

01…00

*♦**

••*•*

P=(ai，a2,…，an),则P'AP=<°°…10=B»则A与B相似，由

|XEB|=O=>Xi=...=Xn=O,即A的特征值全为零，又r(A)=n—1,所以AX=O的基

础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aan=Oan(a!#O).所以A的全部特征向量

为kan(k^O).

知识点解析：暂无解析

21

-1+k?3

34

14、设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5,AX=。的通解为k]

4

3

设p=-3求Ap.

1)1

A151

标准答案：因为A的每行元素之和为5,所以有11，即A有一个特征值

1)

1

为入1=5,其对应的特征向量为备=1,A&=5备.又AX=0的通解为ki

2121

-1+43-13

34

34,则3户1=>上=入3=0，其对应的特征向量为之二

A42=0,A&=0.令X]&i+X需2+X343邛，解得xi=8,X2=­1,X3=—2,则

1

1

A0=8A&-A&-2A+=8AW=401

知识点解析：暂无解析

ab2102

A=—10-1〜B=020,

15、00104一1求a,b及可逆矩阵P,使得P

'AP=B.

标准答案:由|A-B|=O,得X1=~*1，九2=1，入3=2,因为A〜B,所以A的特征值

为人1二-1,九2=1，入3=2.由tr(A)=Q+12+入3，得a=l,再由|A|=b=入伍2入3二-2,得

1-22

=-10-1.

b=-2,即A001由(一E—A)X=O,得官=(1,1,0)，由(E—

A)X=O,得及=(—2,1,I)1*；由(2E—A)X=0,得白=(一2,1,0)T,令P产

1-2-2][-1

1