考研数学三（线性代数）模拟试卷54

考研数学三(线性代数)模拟试卷54

一、选择题(本题共72题，每题1.0分，共72分。)

1、设n维行向量a=122),A=E—cJa,B=E+2ara,则AB为().

A、O

B、-E

C、E

D^E+aTa

标准答案：C

知识点解析：由a/=2,得AB=(E—a,a)(E+2alet尸E,选(C).

2、设A,B为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A、若A,B可逆，则A+B可逆

B、若A,B可逆，则AB可逆

C、若A+B可逆，则A-B可逆

D、若A+B可逆，则A,B都可逆

标准答案：B

知识点解析：若A,B可逆，则⑶和，旧|和,X|AB|=|A||B|,所以于是

AB可逆，选(B).

3、设A,B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是().

A、AB为对称矩阵

B、设A,B可逆，则A1+B।为对称矩阵

C、A+B为对称矩阵

D、kA为对称矩阵

标准答案：A

知识点解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B,得A+B为对称矩阵；由(AqB')T=(A

知+21)T=ALB1得A”+BF为对称矩阵;S(kA)T=kAT=kA,得kA为

对称矩阵，选(A).

4、设A,B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是().

A、AB=0的充分必要条件是A=0或B=0

B、AB和的充分必要条件是A，0且BR0

C、AB=0Kr(A)=n,则B=0

D、若AB¥O,则|A|#)或|B|#)

标准答案：C

(1)#O,B=(11)#O,

知识点解析：取'1V1-1/显然AB=O,故(A)、(B)

10

。，显然AB=WO，

都不对，取A=C\0°0/)7°00但|A|二0且|B|=0,故

(D)不对;由AB=O得r(A)+r(B)9,因为r(A)=n,所以r(B)=O,于是B=0,所以选

(C).

5、n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B,则().

A、1A1=1B1

B、|A罔B|

C、若|A|二0则|B|二0

D、若|A|>0则|B|>0

标准答案：C

知识点解析：因为A经过若干次初等变换化为B,所以存在初等矩阵Pi，…，

Qi，…，Qt>使得B=P$…P|AQi,…Qr而Pi,…，P$,Qi>...»Q(都是nJ

逆矩阵，所以r(A尸r(B),若|A|二U,即r(A)Vn,则r(B)Vn,即|B|=O,选(C).

6、设A为mxn阶矩阵，C为n阶矩阵,B=AC,且r(A)=r,r(B)=ri,则().

A^r>r(

B、r<n

C、r>ri

D、r与口的关系依矩阵C的情况而定

标准答案：C

知识点解析：因为ri=r(B)=r(AC£r(A)=r,所以选(C).

7、设A为mxn阶矩阵，B为nxm阶矩阵，且m>n,令r(AB)=r,贝lj().

A、r>m

B、r=m

C、r<m

D、r>m

标准答案：C

知识点解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)Wn,r(B)<n,而r(AB)0min{r(A),r(B)}<n

<m,所以选(C).

8、设A为四阶非零矩阵,且r(A*)=l,则().

A、r(A)=l

B、r(A)=2

C、r(A)=3

D、r(A)=4

标准答案：C

知识点解析：因为r(A*)=l,所以r(A)=4-1=3,选(C).

9、设A,B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=O,则().

A、r(B)=n

r(B)<n

C、A2-B2=(A+B)(A—B)

D、|A|二0

标准答案：D

知识点解析：因为AB=O,所以r(A)+r(B£n,又因为B是非零矩阵，所以

r(B)>l,从而r(A)Vn,于是|A|=0,选(D).

/O3A\

10、设A,B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则O，的逆矩阵为

().

O3ATO

(A)(B)

2B1O3JB

OO

(C)(D)

1l-i

yBO13A

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

(°o

知识点解析：A,B都是可逆矩阵，因为oA所以

O

J,选(D).

13、设三阶矩阵A,B满足关系A〔BA—6A+BA,且A=I'人则

B=.

3

2

标准答案：1

知识点解析：由A'BA=6A+BA,得A,B=6E+B,于是(A1-E)B=6E,

20or1[3

6030=2.

B=6(A1—E),=10061

102

020

14、设A是4x3阶矩阵且r(A)=2,B=1一1°3J,贝IJ「(AB尸

标准答案：2

知识点解析：因为旧|=10和，所以r(AB)=r(A)=2.

1a-2

h3c

15、设A」2d—5J,B为三阶非零矩阵，且AB=O,则r(A)=.

标准答案：2

知识点解析:因为AB=O,所以r(A)+r(B)03,又因为B#0,所以r(B巨1,从而有

r(A)<2,显然A有两行不成比例，故r(A)N2,于是r(A尸2.

100]100

0010

16、P]=010则pj。09P2一匕

100

201.

标准答案：[o10

p0O,

001

知识点解析：Pl=l01

°J=E23,因为Eij1=Eij,所以E『二E,于是P，。09P2

1o0H100](10O,

001010=201.

1=PP1=1oJ12

1201010

17、f(xi，X2，X3，X4)=XTAX的正惯性指数是2,且A?—2A=0,该二次型的规范

形为.

标准答案：yi2+y22-

知识点解析：A?—2A=0=>r(A)+r(2E—A)=4nA可以对角化，入尸2,入2=0,又二

次型的正惯性指数为2,所以猫=2,入2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形

为yi2+y22-

三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)

111]fl00

A=2—10,5=210

设1o1；021J求:

18、I一2BI：

标准答案:I-28|=(-2)3|B|=-8；

知识点解析：暂无解析

19、AB—BA.

标准答案：

3311111220

AB=0-10，&4=412，则AB-H4=-4-2-2

1215-21-440

知识点解析：暂无解析

20、设A,B为n阶矩阵，且A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B.证明：AB=0.

标准答案：itA2=A,B2=BS（A+B）2=A+B=A2+B2+AB+BAwAB+BA=OngAB=

一BA,AB=-BA两边左乘A得AB二一ABA,再在AB=­BA两边右乘A得

ABA二一BA,则AB=BA,于是AB=O.

知识点解析：暂无解析

423

110

2求

21、设AX=A+2X,其中A=一1,x.

223

1-10

标准答案：由AX=A+2X得(A—2E)X=A,其中A—2E=~121'因为|A

-2E|=~*1#),所以X=(A—2E)一1A,

2234231一10110

由(A-2E：A)=1-10110—►223423

—121-12321—23

1-101101--10110

043203011033

011033043203

1-101101003-8一6

011033f0102-9一6

00-12--12--9001-212

3—8—6

得*=2-9—6

-2129

知识点解析：暂无解析

10-1

042

一o*

22、设11u),且AX+|A|E=A+X,求X.

标准答案：由人乂+从旧一人*+乂得(人一£*二人*一4旧一庆“一人人*二位一人炉*,

因为|E—A|=-3#o,所以E-A可逆,于是X=-A*,由|A|=6得X=-6A1

10-110010一1100

由(AgE)占042010042010

1-10001i0-11-101

10一1100

10-1100、

01-110-1

-0-11-101-

4

00I-A1

006-41466-6

i£

100Z_

?7

212

f010

666

£J_j4

001

不万■石

214

得钎=421—2,

O

-414

-2—1—4

于是X=-6AT=-2-12

4—1—4

知识点解析：暂无解析

2000

1100

0021

23、设四阶矩阵B满足匕')BA'=2AB+E,且A=10°。J求矩阵

B.

(R)'BA12AB+AG1A1A1J'-

标准答案:|A|=4,fBA'=2AB+E=>

-1/3000、

2/3-100

•

00-1/32/3

ABA,=2AB+=>B=2BA+E=>B=(E-2A)1=000-1

知识点解析：暂无解析

1

-2

24、设A,B满足A*BA=2BA—8E,且A=〔L求B.

标准答案：由A*BA=2BA—8E得AA*BA=2ABA—8A,即一2BA=2ABA—

2

一4.

8A,整理得(A+E)B=4E,所以B=4(A+E)12

知识点解析：暂无解析

02一1

B=112

_1_1J,求B-I.

25、设1

标准答案：

02110011100—1

(B：E)=112010—►112010

-1-1-100L02-1100

11100一1

11100

0010

0010111

0201111

1-2

100135

2~2~~~2

010111,

~22~2

00101

135

~277

贝！IB1=J_工

~2~2