考研数学一（高等数学）模拟试卷153

考研数学一(高等数学)模拟试卷153

一、选择题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

1+z

lim

1、设f(x)=1+矛，则f(x)().

A、无间断点

B、有间断点x=l

C、有间断点x=-1

D、有间断点x=0

标准答案：B

知识点解析：当IxIVI时，f(x)=l+x；当IxI>1时，f(x)=O；当x=-1时，

14-Xt|X|<1,

0,|x|>l,

<

0,x=­

f(x)=0,当x=l时，f(x)=l.于是f(x)=(L”=1，显然x=l为函数f(x)的

间断点，选(B).

lim管旨等

2、设f(x,y)在(0,0)的某邻域内连续，且满足？1"।+'二一3,则

f(x,y)在(0,0)处().

A、取极人值

B、取极小值

C、不取极值

D、无法确定是否取极值

标准答案：A

知识点解析:

因为lim取而弊=7,所以由极限的保号性’存在A。,当°VG

/(川)一/(0,0)

V3时,V0.因为当0V/f+yVS时,IXl+y2>0,所以当0V

l-rI+V

/?十y时，有/(z,y)V/(0,0),即/Cr,y)在(0,0)处取极大值，选(A).

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

因为曲面关于平面aOz、乂)z对称,所以以dS=|J_ydS=，ryzdS=0,

EI工

注意到JprdS>oJ|^yzdS>O,JzdS>0,故选(C).

4、设f(x)在x=a处可导,且f(a)/O,则If(x)I在x=a处().

A、可导

B、不可导

C、不一定可导

D、不连续

标准答案：A

知识点解析：不妨设f(a)>0,因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于

是存在。>0,当lx-a|V3时，有f(x)>0,于是

：limif(r)

一“aX~a=f'(a),即If(x)I在x=a处可

导，同理当f(a)V0时，If(x)I在x=a处也可导，选(A).

5、设y(x)是微分方程y+(x—l)y+x2y=e'满足初始条件y(0)=0,y(0)=1的解，则

lim唱二

—x().

A、等于1

B、等于2

C、等于。

D、不存在

标准答案：A

知识点解析：微分方程y+(x—l)y+x2y=e'中，令x=0,则y(0)=2,于是

山口二lim%)二1二4lim』(更二=|/(0)

x-*OILXLx-*OX，

=1>选(A).

二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

ljmxe^ln(l+x)

6、…工=.

_3

标准答案：2

知识点解析：

方法一由N-=N(1+z+o(jr))=%+x24-O(X2)»ln(l+z)=X—y+o(12),

得nf0B寸，靖―ln(l+j：)〜•|■22,故lim［邛I+")=J.

方法二lim女二1"1七④.lim"；■工Ilim立二叫上也

XyXINr-*0JT

才一

lim-------+limln(1+#)

•r7Xx^C

1-1L=3

=14-lim

2x-2.

7、设曲线y=lnx与y=k石"相切，则公共切线为

丁=9+1

标准答案：

1=k

a2/a

知识点解析：设当时，两条曲线相切，由恒=氏石得

x=a1a=e2.两条曲线的公

《(二」2),整理得切线为)=%+1，

共切线为y-lne2=

8、曲线y==x4c"X2(x>0)^X轴围成的区域面积为

标准答案：

知识点解析:

=lr(f)=lr(f+1)=ir(2)=lr(l+1)=i^

9、一平面经过点M](2,1,3)及点M2(3,4,一1),且与平面3x—y+6z-6=0垂

直，则该平面方程为.

标准答案：7x—9y—5z+10=0

知识点解析：幅>=<1,3,4),因为所求平面平行于向曼而正石邑与平面

3x一y+6z—6=0垂直，所求平面的法向量为n={1,3,—*4}x{3,一1,6}=

{14,一18,—10},所求的平面方程为14(x-2)—18(y—1)—10(z-3)=0,

即7x—9y—5z+10=0.

(X,O&Z&1

10、设f(x)='°'其他

D为一COVXV+M,-oo<y<-l-co,则Df(y)f(x

+y)dxdy=.

标准答案：4

知识点解析：

y(«r+y),0&y&l,0&«r+y&1.

0,其他.

贝匹+、)业dy=j,dy”(z+y)clr=(1-y1fl

11、函数£状)=(1-1)2展开成X的累级数为

/(才)=c17=£nr-2(_1<x<1)

标准答案：(1一M-l

知识点解析:

8B

由二「=—>(-1VzVl)，得八/二=2口1(-1VzVD，

i—j,f»-o।,*rJ..i

B

则/(/)==Znr+(—1V/VD.

(1-T)2

12、设产y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+l,又y=y(x)满足微分方

程y'—6y+9y=e",则y(x)=.

J

3x

标准答案：2xe+_2x2e3x

知识点解析：由题意得y(0)=0,y'(0)=2,y"—6y'+9y=e3x的特征方程为好一

6入+9=0,特征值为入|=入2=3,令y'—6y+9y=e3x的特解为yo(x)=ax%"代入得a=

一1■1

2.故通解为y=(C+C2)e3X+2x2e3x.由丫⑴尸。.y“)=2得「尸0,「2=2,则

3x23x

y(x)=2xe+2Xe.

X2

2arctaardr

13、14-x

a,xarctanr—4-jr2)—^-(arctanr)2+C

标准答案：22

知识点解析：

-^arctaru-dz=f(1—]jf)arctanrclr=arctarirdr-arctanrd(arctartr)

1-ri

arctarlrrarctanr

=xarctanr—|"一(^=-4-x2)-y(arctanr)2+C

三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)

14、设f(x)二阶连续可导，f,=4,

lim^=0,求lim1+

x

/(X)

标准答案：因为zN=0,所以f(0)=0,f(0)=0,乂f(x)二阶连续可导且

f\0)=4,所以f(x)=2x2+o(x2),所以

/(幻］右)竽

lim1+

工-oL=蚓[1+

知识点解析：暂无解析

4立

15y(x)x—Ji"''©0

、设尸由’出=确定，求业x=0

标准答案：x=0时，y=l.x—jj+ye—12dt=0两边关于x求导得

1—e(r))2.(]+索)=o,代入得比J=e—1

知识点解析：暂无解析

16^证明：当x>0时，x2>(l+x)ln2(l+x).

标准答案：令f(x)=x2—(|+x)ln2(]+x),f(0)=0；f(x)=2x—ln2(l+x)-21n(l+x),

f(0)=0；

(立)=2-生矍产一£-=2空％>0Cr>0),

1+工14-x1+1

由(隽蓝…得八

|/(0)=0,

由(J,得八外>0(Z>0),即丁>(1+1)出2(1+外包>0).

\J(X)>0(x>0)

知识点解析：暂无解析

clr

17、求Jsiarcos4

标准答案：

f."4=f画上土导业=f.吟dx+f丁吟Tr

JsinzcosxJsiazcosxJsiarCOS'HJsinrcos'z

=-f世陪+f.12dr=—+[事±吟曲

JcosxJsiazcosJT3cos/Jsiarcosx

=—L3/也挈+$dr

3cosxJcosxJ

=~-—I-------kInIcsor-cotr|+C.

3cos3xcosx

知识点解析：暂无解析

18、Jg1+374.

标准答案:

--yd/

tdt

1+H3=r1+/+3

=yln[(u+y)+，〃2+〃+3]=1n--P—=\n(2而一3).

乙乙।2275+32

知识点解析：暂无解析

oo

.（—1）"（H"-1）

19、判断级数”=i的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛.

标准答案：

/Cr）=/-1,由/GO=3弓臣V0Cr>3）,得-1｝；；3为单调减少的数

co

列，乂lim（总一1）=0,所以级数»]（一】）"（二—1）收敛.

lt-1

因为lim（xi-1）/4=+8,所以1淅（/-1）/-i=4-oot且£1发散，故级数

*T8/x-«/Mn

£（益一1）发散,即级数£（一1尸（/一1）条件收敛.

有识点解析：暂无解析

8，

设有幕级数2+S（2〃）！

20、求该嘉级数的收敛域;

]/]

标准答案：因为「lj巴m（2〃+2）,（2〃）！=o,所以收敛半径为R=y,故事级数的收

敛域为（一8,+00）.

知识点解析：暂无解析

21、证明此事级数满足微分方程y”一产一

令/(.r)=2十£泊又，

.二H-Zir2

则/⑺=X(2^17*/⑴=1+X(2^72)1=1+八"一2,

标准答案：]九—乙〉,

故该察级数满足微分方程y”一y二一1.

知识点解析：暂无解析

22、求此累级数的和函数.

标准答案：由f”(x)一贻尸一1得f(x尸Cie-x+C2e'+l,再由f(())=2,f'(())=。得

r=Xr=1

12*22,所以f(x)=chx+1.

知识点解析：暂无解析

23、求微分方程x?y—2xy+2y=2x—1的通解.

标准答案：

令工=d,则x2/霁，原方程化为学一3%+2y=2d],

家一3$+2y=0的通解为了=。9+(/”令塞一3先+2丁=20，的特解为

yO(z)=o/e＜代人需一3寄+2y=2d•得a=-2,显然奈一32+2y=-1的特解

2,

为y=一4•所以方程#—3g+2y=2d—1的通解为y=C]e，+C2e—2tc'—1'

2

原方程的通解为y=CiJ4-C2X—2«rlru---y.

知识点解析：暂无解析

lim(")1

24、求

标准答案:

=e532

帚一In(l+z)

=~+D十了=上lim(l+力+

e，-*oe»**o

「母Tn(l+Z)

..r-(l+r)ln(l+r)_1

…=iimr----------5-----忖---------?------工

则lim=e

丁318

知识点解析•：暂无解析

25、f（x）在［-1,1］上三阶连续可导，且f（-l尸0,f（l）=l,f'（0）=0.证明:存在

眄一1,1）,使得f“'（g）=3.

标准答案：由泰勒公式得

/（-1）=/（0）+/（0）（—1—0）+琢）（一1一0）2+«^2（—1—0）3,&e（-ho）,

乙！3!

/⑴=/（0）+八0）（1-0）+4¥（1-0）2+。^（1-0）3,&e（o.i）,

即/（0）+岑=0,/（0）+4^+。^=1,

4!O4!O

两式相减得厂（3）+广&）=6.因为f（x）在［一1，I］上三阶连续可导，所以f'”（x）在

［3，及］上连续，由连续函数最值定理，f…（x）在［与,上取到最小值m和最大值

M,故2mSf&）+fa）S2M,即mg30M.由闭区间上连续函数介值定理,存在

年［日,0u（一1,］）,使得广©=3.

知识点解析：暂无解析

a”=「tanadr（〃22）,证明：彳［<a<1-

26、设J。2（n+l）n2（〃一1）.

标准答案:

2w

a.+a什2=:(14-tanx)tanxcLr=f；tan-xd(tam-)=7l-tan-J：!；=本，

同理4+—=当.因为tan",tanf在［0,彳［上连续，tan\r'tan"?z.且tan"x>

tan"%不恒等，所以J：2

tan"xdr>Jt