2026年凸图形无限延伸测试题及答案

2026年凸图形无限延伸测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在二维欧氏空间中，若凸集序列{K_n}满足K_{n+1}⊆K_n且直径diam(K_n)→∞，则其无限交∩K_n的凸性状态为A.必为凸集且无界 B.必为凸集且有界 C.可能非凸 D.必为空集2.对于无限延伸的凸锥C⊂R^3，若其母线方向集D在单位球面上稠密，则C的极集C°的维数为A.0 B.1 C.2 D.33.设K为R^d中无限延伸的闭凸集，若其回收锥rec(K)的仿射包为全空间，则K的边界∂K的拓扑性质为A.紧致 B.非紧致但局部紧致 C.非局部紧致 D.同胚于球面4.在无限延伸凸多面体P的分解定理中，其线性空间部分L与回收锥rec(P)的交集L∩rec(P)的维数关系为A.dim(L∩rec(P))=dim(L) B.dim(L∩rec(P))=0 C.dim(L∩rec(P))<dim(L) D.无确定关系5.若凸图形K⊂R^2沿方向u无限延伸，则其支撑函数h_K(u)的渐近行为满足A.h_K(u)=+∞ B.h_K(u)有限 C.h_K(u)→0 D.h_K(u)为常数6.对于无限延伸凸集K，其法锥映射N_K(x)在x→∞时的极限锥若存在，则必为A.线性子空间 B.尖锥 C.凸锥 D.非凸锥7.在Hilbert空间中，若闭凸集K无限延伸且含射线r，则其投影算子P_K的Lipschitz常数在r方向上A.趋于0 B.趋于1 C.趋于+∞ D.保持有界8.若凸图形K的无限延伸方向集D为闭凸锥，则其极锥D°与K的极集K°的关系为A.D°=K° B.D°⊆K° C.K°⊆D° D.无包含关系9.对于无限延伸凸多面体，其面复形在无穷远处的加性欧拉示性数恒为A.0 B.1 C.−1 D.210.在Minkowski和意义下，若K_1与K_2均无限延伸且rec(K_1)∩rec(K_2)={0}，则K_1+K_2的拓扑性质为A.紧致 B.局部紧致但非紧致 C.非局部紧致 D.有界二、填空题（每题2分，共20分）11.若凸集K⊂R^d的回收锥rec(K)含一条直线，则K的无限交∩_{t≥0}(K−tv)的维数至少为________。12.对于无限延伸凸锥C，其极锥C°的极C°°等于________。13.在R^3中，若无限延伸凸多面体P的每条边均平行于坐标平面，则其回收锥rec(P)的极锥的极________（填“是”或“不是”）自身。14.设K为无限延伸凸集，若存在方向u使sup{〈x,u〉:x∈K}<+∞，则u必属于rec(K)的________。15.对于无限延伸凸图形，其支撑函数h_K在方向u上取有限值当且仅当u属于rec(K)的________。16.若凸集K的无限延伸方向集D的闭包cl(D)为尖锥，则K的极集K°必为________。17.在无限延伸凸多面体的分解K=Q+rec(K)中，若Q紧致，则rec(K)的极锥的维数等于________。18.对于无限延伸凸集K，其法锥映射N_K(x)在x沿射线tv(t→∞)时的极限锥为________。19.若凸图形K的无限延伸方向锥D的极锥D°为全空间，则K必为________。20.在无限延伸凸集的投影算法中，若步长序列{α_n}满足∑α_n=+∞且∑α_n^2<+∞，则迭代点列的极限点集必为________。三、判断题（每题2分，共20分）21.无限延伸凸集的回收锥必为闭凸锥。22.若凸集K无限延伸，则其极集K°必为空集。23.对于无限延伸凸多面体，其面复形在无穷远处的欧拉示性数与有限部分相同。24.若凸图形K的回收锥rec(K)为线性子空间，则K必为柱体。25.在无限延伸凸集的支撑函数中，方向u使h_K(u)=+∞当且仅当u∈rec(K)。26.对于无限延伸凸锥C，其极锥C°的极C°°等于C的闭包。27.若K_1与K_2均无限延伸，则其Minkowski和K_1+K_2的回收锥满足rec(K_1+K_2)=rec(K_1)+rec(K_2)。28.无限延伸凸集的边界∂K必为非紧致集。29.在Hilbert空间中，无限延伸闭凸集的投影算子必为单值。30.若凸图形K的无限延伸方向集D为尖锥，则K的极集K°必为无界集。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述无限延伸凸集的回收锥定义，并说明其与集合无界性的关系。32.给出无限延伸凸多面体的分解定理，并解释其中紧致部分Q与回收锥rec(K)的几何意义。33.简述无限延伸凸集的极集性质，并举例说明极集为空与非空的情形。34.说明在无限延伸凸图形上执行投影梯度法时，步长条件∑α_n=+∞与∑α_n^2<+∞如何保证迭代点列收敛到解集。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论无限延伸凸锥的极锥在优化对偶理论中的作用，并结合具体例子说明如何利用极锥刻画约束qualifications。36.分析无限延伸凸多面体的面复形在无穷远处的拓扑结构，探讨其欧拉示性数与有限多面体的差异及原因。37.探讨无限延伸凸集的回收锥与线性空间部分的交集维数对集合整体几何形态的影响，并给出不同维数下的分类示例。38.论述在无限延伸凸图形上定义的支撑函数的渐近行为如何反映集合的边界结构，并说明其在形状优化问题中的应用价值。答案与解析一、单项选择题1.A 2.A 3.B 4.A 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.B二、填空题11.dim(K)−1 12.cl(C) 13.是 14.极锥 15.极锥 16.有界 17.dim(rec(K)) 18.rec(K)° 19.空集 20.K本身三、判断题21.√ 22.× 23.× 24.√ 25.× 26.√ 27.√ 28.√ 29.√ 30.×四、简答题31.回收锥rec(K)={v∈R^d:K+v⊆K}，它刻画了K的无限延伸方向；K无界当且仅当rec(K)≠{0}。32.定理：K=Q+rec(K)，其中Q紧致、rec(K)为闭凸锥；Q代表“有限部分”，rec(K)描述“无限延伸方向”。33.极集K°={y:sup〈x,y〉≤1}；若K含射线则K°为空，如K=R^d；若K为半空间则K°为射线，非空。34.步长条件保证迭代既足够前进又控制误差，使点列进入解集邻域并收敛到投影极限，避免振荡或发散。五、讨论题35.极锥给出对偶可行域，约束qualifications如Slater条件可表述为原锥与对偶锥内部相交；例：线性规划对偶可行性即右端向量属于约束锥的极锥。36.无穷远处面复形呈锥化结构，欧拉示性数因添加“无穷远顶点