2027届新高考数学一轮热点复习+函数的奇偶性、周期性

2027届新高考数学一轮热点复习函数的奇偶性、周期性

f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)原点y轴相同相反2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数【常用结论】1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(3)若函数满足f(x)＝0或解析式可化简为f(x)＝0(x∈D)，其中定义域D是关于原点对称的非空数集，则函数既是奇函数又是偶函数．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(

)(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(

)(3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(

)(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(

)×××√

答案：BC解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数．3．(人教B版必修一P115B组T2)改编已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________．答案：－26解析：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)的定义域为R则g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＝－g(x)－8.因为f(－2)＝10，所以g(2)＝－18，所以f(2)＝g(2)－8＝－26.

学霸笔记：判断函数奇偶性常用的两种方法

答案：D

答案：D

命题点二函数奇偶性的应用考向1求值(解析式)例2(1)已知偶函数f(x)的定义域为R，且当x>0时，f(x)＝－3x＋m，若f(－2)＝－7，则f(3)＝(

)A．－25 B．－15C．25 D．15答案：A

解析：由偶函数的性质可知，f(－2)＝f(2)＝－9＋m＝－7，得m＝2，即x>0时，f(x)＝－3x＋2，则f(3)＝－27＋2＝－25，故A正确．故选A.(2)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x－3，则函数f(x)＝________．

学霸笔记：(1)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：先将所求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．

答案：D解析：根据题意，当x≥0时，f(x)＝2x－1，则f(2)＝22－1＝3，又由f(x)为奇函数，则f(－2)＝－f(2)＝－3.故选D.

答案：B

真题探源

(源自人教B版必修一P117B组T8)已知函数f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数，求实数a的值．答案：因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋2是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋2＝(x－1)2＋ax＋2，整理得(2a－4)x＝0，所以2a－4＝0，解得a＝2.学霸笔记：根据函数的奇偶性求函数解析式中的参数的方法主要是利用函数的奇偶性建立关于f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的恒等式求解，也可利用特殊值求解(使用特殊值求解，所得的参数的值需要检验)．考向3解不等式例4

(2026·上饶模拟)已知函数f(x)＝x－sinx，且f(log2m)＋f(－1)<0，则m的取值范围是(

)A．(－∞，2) B．(0，2)C．(1，2) D．(2，＋∞)答案：B解析：∵函数f(x)＝x－sinx的定义域为R，∴f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，故函数f(x)为增函数，又由f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，f(log2m)＋f(－1)<0⇒f(log2m)<－f(－1)＝f(1)，则log2m<1，解得0<m<2.故选B.学霸笔记：求解函数奇偶性与单调性有关的不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，转化为自变量的不等式．

答案：C

答案：A

答案：A

真题探源

(源自人教A版必修一P214T18改编)已知周期函数y＝f(x)的图象如图所示．(1)求函数的周期；(2)画出函数y＝f(x＋1)的图象；

答案：函数y＝f(x＋1)的图像，可由函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位得到，其图象如图所示．(3)写出函数y＝f(x)的解析式．

学霸笔记：求解函数的周期性问题，首先应根据题意求出函数的周期，利用函数的周期性将函数在未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上．跟踪训练

(1)(2026·龙岩模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(3)＝2，则f(2025)的值为________．(2)(2026·九江模拟)已知奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1)时，f(x)＝4x＋a，则f(101.5)＝________．21解析：(1)因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2025)＝f(3＋1011×2)＝f(3)＝2.(2)因为函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数；由奇函数f(x)的自变量x可取0，则f(0)＝0，结合当x∈[0，1)时，f(x)＝4x＋a，得f(0)＝1＋a，故1＋a＝0，则a＝－1，故当x∈[0，1)时，f(x)＝4x－1，则f(101.5)＝f(25×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(2－0.5)＝－f(－0.5)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.

答案：D

答案：B解析：由f(x＋4)＝f(x)，得函数f(x)的周期为4.又当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－x＋1，∴f(2026)＝f(4×507－2)＝f(－2)＝9＋1＝10.故选B.3．(2026·长春二模)已知函数f(x)＝(x＋a－2)·(x2＋a－1)为奇函数，则a的值是(

)A．3 B．1或3C．2 D．1或2答案：C解析：因为f(x)＝(x＋a－2)(x2＋a－1)为奇函数，所以f(0)＝(a－2)(a－1)＝0，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，f(x)＝x2·(x－1)，f(－x)＝x2(－x－1)≠－f(x)，故a＝1不合题意，舍去；当a＝2时，f(x)＝x(x2＋1)，f(－x)＝－x(x2＋1)＝－f(x)，故a＝2符合题意．故选C.4．(2026·衡阳模拟)若f(x)为定义在R上的奇函数，且f(－a)＋3f(a)＋4≥0，则(

)A．f(a)的最小值为－4B．f(a)的最小值为－2C．f(a)的最大值为－4D．f(a)的最大值为2答案：B解析：由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(－a)＝－f(a)，则f(－a)＋3f(a)＋4＝2f(a)＋4≥0，解得f(a)≥－2，则f(a)的最小值为－2.故选B.5．设函数y＝f(x)－x2是奇函数．若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝(

)A．28 B．33C．38 D．43答案：A解析：由函数y＝f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2＝0，因此可得f(x)＋f(－x)＝2x2.又g(x)＝f(x)＋5，因此g(4)＝f(4)＋5，g(－4)＝f(－4)＋5；两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f(4)＋5＋f(－4)＋5＝2×42＋10＝42.又g(4)＝f(4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28.故选A.

答案：D

答案：A

答案：C

9．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且f(－2)＝1，则下列说法正确的有(

)A．f(0)＝0B．f(2)＝－1C．f(x)的图象关于y轴对称D．f(x)·f(－x)为偶函数答案：ABD解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)且函数图象关于原点对称，故C错误；令x＝0可得f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，故A正确；又f(－2)＝1，则f(2)＝－f(－2)＝－1，故B正确；令g(x)＝f(x)·f(－x)，x∈R，则g(－x)＝f(－x)·f(x)＝f(x)·f(－x)＝g(x)，所以g(x)＝f(x)·f(－x)为偶函数，即f(x)·f(－x)为偶函数，故D正确．故选ABD.

答案：ACD

11．已知a，b为实数，且函数y＝x2＋ax＋1，x∈[4b，b2]是偶函数，则a－b＝________．答案：4

答案：－2

13．(13分)设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，且对一切x∈R均有f(x)＋f(x＋2)＝0，当－1<x≤1时，f(x)＝2x－1.(1)求当1<x≤3时，函数f(x)的解析式；答案：由于f(x)＋f(x＋2)＝0，则f(x－2)＋f(x)＝0，即f(x)＝－f(x