2027届新高考数学一轮热点复习函数的单调性与最值

2027届新高考数学一轮热点复习函数的单调性与最值知识清单1.函数的单调性(1)单调函数的定义定义设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增当x1<x2时，都有________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)图象描述自左向右看图象是________的自左向右看图象是________的上升下降剖析增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．剖析单调区间是函数定义域的子集．函数的单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．若一个函数有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．单调递增单调递减(3)复合函数的单调性简记为：同增异减．u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数

相同相反

相反相同3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M(m)条件(1)对于任意x∈D，都有________；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈D，都有________；(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝m结论M为最大值m为最小值f(x)≤Mf(x)≥m

××√×

答案：(－∞，0)，(0，＋∞)

4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________．答案：－3解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.

答案：C

学霸笔记：(1)判断函数单调性的方法①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数单调性的方法①定义法；②导数法．

考向2求函数的单调区间例2

求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.

学霸笔记：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．(2)求函数单调区间的方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性法；④导数法．

答案：(1)单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递减区间(2)(－1，2)和(5，＋∞)

答案：D

学霸笔记：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．跟踪训练

(衔接·北师大版必修一P65A组T3改编)已知函数f(x)在R上单调递减，a，b∈R，且a＋b<0，则有(

)A．f(a)＋f(b)<0 B．f(a)＋f(b)>0C．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)答案：D解析：因为a，b∈R，且a＋b<0，则a<－b，由函数f(x)在R上单调递减，则f(a)>f(－b)，同理b<－a，有f(b)>f(－a)，所以f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．故选D.考向2解不等式例4

已知函数f(x)＝2x＋sinx，若f(lna)<f(2)，则a的取值范围为(

)A．(0，e2) B．(0，e)C．(e2，＋∞) D．(2，＋∞)答案：A

学霸笔记：求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．

答案：D

答案：B

学霸笔记：利用单调性求参数的取值范围，根据单调性直接构建参数满足的方程(组)[不等式(组)]或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．

C－1

学霸笔记：求函数最值的四种基本方法(1)单调性：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)基本不等式：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(3)换元法：将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．(4)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

答案：A

答案：(－∞，2]

答案：C

答案：A

3．已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1<x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则(

)A．f(3)<f(π)<f(2)B．f(π)<f(3)<f(2)C．f(2)<f(π)<f(3)D．f(π)<f(2)<f(3)答案：B解析：因为∀x1，x2∈R，x1<x2，则x1－x2<0，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，可得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2，所以f(π)<f(3)<f(2)．故选B.4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(x2－2x)<f(3)的实数x的取值范围是(

)A．[－1，3]B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3，3)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案：B解析：因为f(x)为R上的减函数，且f(x2－2x)<f(3)，所以x2－2x>3，即x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.5．“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上单调递增”是“k>2”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：B解析：函数f(x)＝(k－1)x－3在R上单调递增，等价于k－1>0，即k>1，所以“函数f(x)＝(k－1)x－3在R上单调递增”是“k>2”的必要不充分条件．故选B.

答案：A

答案：B

答案：A

答案：AB

10．已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(

)A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增B．函数y＝f(x)在[－1，0]上单调递减C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值答案：ABD

由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，故AB正确；由图象可知f(x)在x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确．故选ABD.11．能说明“函数f(x)的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若fmin(x)＝f(2)，则f(x)单调递减”为假命题的一个函数为________．

12．函数f(x)＝|x(x－2)|的单调递减区间是________.答案：(－∞，0]，[1，2]解析：

y＝x(x－2)的图象位于x轴下方部分对折至x