2027届新高考物理热点精准复习：数学知识在物理习题中的应用

2027届新高考物理热点精准复习

数学知识在物理习题中的应用

物理是和数学联系最紧密的学科，基本的加减乘除等数学运算在解决物理习题必不可少.高中所学所有数学知识均可应用于物理习题解决，在高考物理试题中都有可能出现.

三角函数、一元二次函数、导数、相似三角形、数列、正余弦定理、不等式、函数图像面积等数学知识在物理试题的身影时常可见,熟练应用各种数学知识解决物理问题是学好物理的必备条件.一元二次函数求极值一元二次方程可以表为y=ax2+bx+c对称轴为x=-b/(2a)，对应y极值.a>0，开口向上，对应极小值；a<0，开口向下，对应极大值例题1人教版必修2第6章“复习与提高”B组第6题某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m

的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d

后落地。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d/4，重力加速度为g，忽略空气阻力。

（1）绳能承受的最大拉力是多少？

（2）保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？【分析】题目示意图见右图(1)最低点飞出速度为v， d-d/4=1/2·gt² d=vt解得

v²=2gd/3在最低点，T–mg=mv²/(d/4)解得最大拉力T=11mg/3ddO(2)设手与球之间的距离为r，最大拉力T=11mg/3 T–mg=mv²/r.解得

v=(8gr/3)1/2. d-r=½·gt²

x=vt

联立解得x=令函数f(r)=r(d-r)，是关于r的一元二次函数，开口向下，对称轴为r=d/2.故当r=d/2，最大水平距离练习1如图电路，电动势E=6V，r=1Ω，定值电阻R1=6Ω，R2=12Ω，R3=5Ω.滑动变阻器最大阻值为18Ω，求通过理想电流表的最大电流.答案：滑片P到最下端的电阻为6Ω时，通过电流表最大电流为0.4AARR1R2ErPR3例题2如图，半径为R的半球形碗固定在水平面上，碗口水平。一根轻质杆的两端固定有两个质量分别为mA​

和mB​

的小球（视为质点），杆的长度小于碗的直径。现将该轻杆置于碗内，最终系统静止在如图所示位置，此时球心O与杆在同一竖直面内，过球心O竖直向下的半径与杆的交点为M，OM=R/2。不计摩擦，下列关于力的判断正确的是A.mA<mB

B.碗对A球的支持力等于

2mAgC.轻杆对B球的支持力有可能小于B球的重力

D.若增大小球A的质量，θ

角会增大相似三角形BOABMθ【分析】由A球和B球位置高低，可知A质量较大.A球和B球受力如图，所受的三个力分别与∆OAM和∆OBM相似.由相似得，∴NA=2mAgB正确NB=2mBgC错误A球质量增大，θ减小.OABMmBgmAgNAF杆F杆NB(2025山东卷)练习2球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为+2q和+q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC=45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(

)A.甲的质量小于乙的质量B.C点电势高于D点电势C.E、F两点电场强度大小相等，方向相同D.沿直线从O点到D点，电势先升高后降低BD【分析】OC与AB交点为G甲球受三个力，与∆OGA相似m甲g/OG=F电/AG对乙：m乙g/OG=F电/BG得m甲/m乙=BG/AG>1，A错误；由于甲电荷量为2q，乙电荷量为q，E和F为三等分点，故E点电场强度较大，C错误.GF电NAm甲gF电m乙gNB等比数列:首项a1

公比q，前n项和Sn=a1(1-qn)/(1-q)例题3如图，物块A质量为3m，速度为v0，与地面间无摩擦；质量为m的物块B静置于地面，与地面间的动摩擦因数为μ.两物块均视为质点.AB间的碰撞为弹性碰撞，重力加速度为g，求B运动的总位移.等比数列的应用ABv0【分析】方法一：按运动过程分阶段求位移第1次碰撞后速度分别为vA1和vB1,由动量守恒和机械能守恒，得vA1=(3m-m)v0/(3m+m)=v0/2vB1=(2×3m)v0/(3m+m)=

3v0/2碰撞后B做匀减速运动直至停下，A做匀速运动.第1次撞后到停下，物块B的位移为x1=vB1²/(2μg)第2次撞后vA2=vA1/2 vB2=3vA1/2x2=vB2²/(2μg)第3次撞后vA3=vA2/2 vB3=3vA2/2x3=vB3²/(2μg)第4次撞后vA4=vA3/2 vB4=3vA3/2x4=vB4²/(2μg)……第n次撞后vAn=vAn-1/2 vBn=3vAn-1/2xn=vBn²/(2μg)总位移为Sn=x1+x2+x3+… =vB1²/(2μg)+

vB2²/(2μg)+vB3²/(2μg)+vB4²/(2μg)+… =9/(8μg)×(v0²+vA1²+vA2²+vA3²+…)vAn=vAn-1/2，{vAn²}

构成公比为1/4的等比数列vA1²+vA2²+vA3²+…=v0²/4×(1-1/4n)/(1-1/4)=v0²/3故Sn=9/(8μg)×

4v0²/3=3v0²/(2μg)方法二：能量观点物块A和B的碰撞不损失动能。最终A和B均静止，损失的动能转化为内能，½·3mv0²=μmgS解得

S=3v0²/(2μg)多想一步每次撞后，A匀速，B做匀减速直线运动.在B停下前，A是否可能追上B发生碰撞？若不能，试证明之.(提示：画v-t图像分析)应用：涉及三力问题，用正弦定理求解力.例题4如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>π/2).现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中A．MN上的张力逐渐增大B．MN上的张力先增大后减小C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小正弦定理的应用AD【分析】转动过程OM与竖直方向夹角为θ，角度关系如图.重物受三力平衡，由正弦定理得：θ从0增大到π/2，(α-θ)从钝角减小到锐角故T1先增大后减小，T2单调递增.π-αθβsinβπ0

y=ax+b/x，(a>0，b>0)当ax=b/x时，取极值.例题5(2024安徽)如图，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m的金属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直基本不等式的应用向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系均为B=kt（SI），k为常数（k>0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t=0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空气阻力，两磁场互不影响。（1）求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab中电流的方向；（2）求ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式；（3）求经过多长时间，对ab所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。(用基本不等式)【分析】(1)Φ=BScdef=kL²tE=∆Φ/∆t

=kL².电流从a到b(2)t时刻，总电阻R总=R+rat²无动生电动势，电流I=E/R总=kL²/(R+rat²)安培力F安=ILB=k²L³t/(R+rat²)(3)安培力方向垂直纸面向里，轨道支持力FN=F安

对ab，F-μFN-mg=ma解得F=ma+mg+

μk²L³t/(R+rat²)函数y=t/(R+rat²)=1/(R/t+rat)当R/t=rat

，即t=(R/ra)1/2最大拉力Fmax=例题6雨滴由高空下落，所受空气阻力大小与速率成正比.落地前已达到最大速度.定性画出雨滴下落的a-t图像.【分析】设阻力f=-kv，mg-kv=mav增大，a减小得a=g–v·k/m两边求导，a′=-ak/ma变化率减小.导数的应用atO例题7含电容器无阻导体棒匀变速运动的推导如图所示，在竖直放置的两平行光滑长直金属导轨的上端