河南省南阳市六校2025-2026学年高二数学上学期期中测试 (一)【含答案】

河南省南阳市南阳六校2025-2026学年高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是A． B． C． D．3．记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．54．点关于直线的对称点为（

）A． B． C． D．5．已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（

）A．3 B． C．4 D．6．已知圆与直线：相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（

）A．2 B． C．3 D．7．已知圆O：，直线l：，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（

）A． B．2 C． D．38．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．若直线的斜率，则倾斜角B．过点且与直线垂直的直线方程为C．过任意两点，的直线都可以用方程表示D．直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程表示10．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，一条光线从出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点时光线走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为（

）A． B． C． D．11．已知抛物线：的焦点为，若过点的直线与交于两点，且在第一象限，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．面积的最小值为2B．当直线的倾斜角为时，C．线段的中点到的准线的距离等于D．在x轴上存在一点，使直线与的斜率之和为定值三、填空题12．若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是.13．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点P向x轴作垂线，垂足为Q，若，则椭圆的焦距为.14．已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为.四、解答题15．设直线与交于点P，已知直线l过点P.(1)若l与直线平行，求l的方程；(2)若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程.16．已知点，，，的外接圆为圆C.(1)求圆C的方程；(2)设的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C所截得的弦长.17．已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为.(1)求的方程；(2)若直线交椭圆于两点，求.18．已知直线l：与抛物线C：相切于点P.(1)求C的方程以及点P的坐标.(2)过点的动直线L与C交于A，B两点（均不与点P重合），AB的中点为M.（i）当轴时，求L的方程；（ii）设直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值.19．已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为.(1)求C的方程.(2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D.（i）证明：直线DN恒过点；（ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值.

题号12345678910答案ACBACABCADBCD题号11答案ACD1．A根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案.【详解】设倾斜角为，依题意，由于，所以.故选：A2．C【详解】试题分析：焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．3．B由椭圆和双曲线离心率计算公式即可求解.【详解】由题意知，，因为，所以，即，解得.故选：B4．A设对称点为，由，即可求解.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，即.故选：A5．C过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解.【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为.如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为.由抛物线的定义得，所以，当三点共线时取等号，故的最小值为.|

故选：C6．A由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解.【详解】圆C：，即，圆心为，半径，因为圆与：相交于两点，且为正三角形，所以圆心到直线的距离，，则，解得.故选：A7．B根据直线与圆的位置关系，结合图象，利用点到直线的距离公式，可得答案.【详解】由题意知圆O与l交于B，C两点，且，，当直线过点时，得，由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为，当与劣弧BC相切时，有，所以，其中舍去，结合图形可知，当时，直线与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意.故选：B.8．C设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解.【详解】由题意知，，.如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，，所以，所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上.因为的斜率为，所以倾斜角为，因为是的平分线，所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得，所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为.故选：C9．AD由斜率与倾斜角的关系可判断A，由垂直关系可判断B，由特殊位置可判断C，由一般方程概念可判断D.【详解】解析对于A，由条件可知，又，当时，，当时，，A正确；对于B，直线的斜率为，其垂线的斜率为3，所以过点且与直线垂直的直线方程为，即，故B错误；对于C，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误；对于D，任何直线的方程都有一般式，故D正确.故选：AD10．BCD根据椭圆长轴与短轴以及其定义，可得答案.【详解】设椭圆的长轴长为.①若光线从沿长轴向左射出，则第二次经过时，光走过的路程为，所以，得；②若光线从沿长轴向右射出，则第二次经过时，光走过的路程为2a，所以，得；③若光线从沿其他方向射出，则第二次经过时，光走过的路程为6a，所以，得.故选：BCD.11．ACD直线AB的方程为，，，联立抛物线方程，得到，，由可判断A，由焦点弦长公式可判断B，由弦长公式可判断C，由斜率公式结合韦达定理得到，可判断D.【详解】由题意知，设直线AB的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，得消去整理得，则，.对于A，，故时，的面积取得最小值，为2，故A正确；对于B，当直线AB的倾斜角为时，直线AB的方程为，将代入，得，解得，，所以，，所以，故B错误；对于C，由题意知C的准线方程为，由前面的分析，知，，所以，又，所以，故C正确；对于D，由前面的分析，知，，设，则，所以当时，为定值0，即存在，使为定值，故D正确.故选：ACD12．由焦点在轴上，得到，求解即可.【详解】由题意得，解得.故答案为：13．由题意设出点的坐标，根据两点距离公式，整理等式，结合椭圆方程，求得参数，易得答案.【详解】由题意知，，设，则，，所以，整理得，对照椭圆方程可知，所以，故椭圆的焦距为.故答案为：14．根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案.【详解】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离，所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即，此时，所以，故的最大值为.

故答案为：.15．(1)(2)或.（1）联立直线方程，求得交点，根据直线平行，建立方程，可得答案；（2）利用截距的定义，分类讨论，建立方程，可得答案.【详解】（1）联立得，解得，即.若l与直线平行，则l的斜率，所以l的方程为，即.（2）若l经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，解得，所以l的方程为.若l不经过坐标原点，设l：，代入P点坐标，得，解得，所以l的方程为，即.所以l的方程为或.16．(1)(2)（1）利用待定系数法，设出圆的一般式方程，代入已知点，可得答案.（2）由已知点求得直线方程，利用点到直线方程以及弦长公式，可得答案.【详解】（1）设圆C的方程为，将，，三点的坐标代入，得解得故圆C的方程为，即.（2）由题意得，与AB垂直的高线的斜率为1，又过，所以：.圆的圆心到的距离，则被圆截得的弦长为.17．(1)(2)（1）由条件得到，求解即可；（2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解.【详解】（1）设C的半焦距为.由题意得得C的方程为.（2）设，.联立，得化简得，，..18．(1)，(2)（i）；（ii）证明见解析（1）联立方程，根据直线与曲线相切，可知方程根的个数，利用一元二次方程根的判别式，可得参数值，从而可得答案.（2）（i）由题意设出直线方程，联立方程，再根据一元二次方程根的判别式，可得答案；（ii）根据一元二次方程，根与系数关系，整理算式，建立方程，可得答案.【详解】（1）由可得（*），由题意知，解得（舍去），所以C的方程为.将代入（*）式可得，解得，将代入C的方程可得：，即.（2）（i）易知L的斜率存在且不为0，设，与C的方程联立，得.由及