课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学专题十一概率与统计4抽样方法与总体分布的估计试题理

抽样方法与总体分布的估计

挖命题

【考情探究】

5年考情

预料热

考占

V八、、内容解读关联考

考题示例考向度

点

1.随①理解随机抽样的必要性和重要性.

2024江分层抽

机②会用简洁随机抽样方法从总体中抽取样本；

苏,3,5分样

抽样了解分层抽样和系统抽样方法

统计图

2024课标

中的扇

I,3,5分

形图

2024课标茎叶图统计案

①了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会

III,18,12分的应用例

画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解

变量间

它们各自的特点.2024课标折线图

的相关

②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算11,18,12分的应用

关系

2.用数据标准差.★★★

样本平

样本③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平

2024课标均数和正态分

估计均数、标准差），并给出合理的说明.

I,19,12分标准差布

总体④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样

的应用

本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，

利用频

理解用样本估计总体的思想

率分布

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的

2024课标直方图独立性

思想解决一些简洁的实际问题

II,18,12分求中位检验

数的估

计值

2024课标茎叶图用频率

n,电12分的绘制估计概

和应用率

分析解读对于随机抽样，主要考查三种抽样方法,尤其是分层抽样和系统抽样，•般以选择题或填空题的

形式出现;对于用样本估计总体，主要考查利用频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征估计总体，若单独

命题一般以选择题或填空题的形式出现，分值约为5分，属简洁题；也常出现在解答题中，分值约为12分，属

中档题.考查学生的数据分析实力和逻辑推理实力.

破考点

【考点集训】

考点一随机抽样

1.（2024福建福州3月质量检测,2）为了解某地区的“微信健步走”活动状况,拟从该地区的

人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健

步走”活动状况有较大差异，而男女“微信健步走”活动状况差异不大.在下面的抽样方法

中，最合理的抽样方法是（）

A.简洁随机抽样氏按性别分层抽样

C.按年龄段分层抽样D.系统抽样

答案C

2.在简洁随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（）

A.与第n次有关,第一次可能性最大

B.与第n次有关，第一次可能性最小

C.与第n次无关,与抽取的第n个样本有关

I）.与第n次无关,每次可能性相等

答案0

考点二用样本估计总体

1.（2024广东茂名五大联盟学校3月联考,2）甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的

平均数、方差、极差及中位数相同的是（）

'VZ.

5016

62148

512

A.极差B.方差C.平均数D.中位数

答案c

2.（2024安徽淮北其次次模拟,4）为比较甲乙两地某月11时的气温状况，随机选取该月5天

11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该

月11时的平均气温高则甲地该月11时的平均气温的标准差为（）

甲乙

982689

2m0311

A.2B.V2c.ioD.VTo

答案B

3.（2024山西高校附属中学其次次模拟,3）某高二（1）班一次阶段性考试数学成果的茎叶图

和频率分布宜.方图可见部分如图，依据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在〔90,100]

内的人数分别为（）

A.20,2B.24,4C.25,2D.25,4

答案C

炼技法

【方法集训】

方法1抽样方法的选择

1.（2024安徽宜城二模,3）支田径队共有运动员98人,其中女运动员42人，用分层推样的

方法抽取一个样本,每名运动员被抽到的概率都是,则男运动员应抽取（）

A.18人B.16人C.14人D.12人

答案B

2.一个总体中有100个个本随机编号为0,1,2,-,99.依编号依次平均分成10个小组,组号

依次为一，二,三，…,十.现用系统抽样方法抽取一个容量为1（）的样本,假如在第一组随机抽

取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6,则在第七

组中抽取的号码是（）

A.63B.64C.65D.66

答案A

方法2频率分布直方图的应用

1.（2024陕西榆林其次中学模拟，13）某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出状况，抽

出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在［30,40）的同学比

支出的钱数在［10,20）的同学多26人,则n的值为.

答案100

2.（2024安徽马鞍山第一次教学质量检测，13）己知样本容量为200,在样本的频率分布直方

图中，共有n个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余（n-1）个小矩形面积和的;,则该组

的频数为.

答案50

方法3样本的数字特征及其应用

1.（2024广东广雅中学、江西南昌二中联考,4）某市重点中学奥数培训班共有14人,分为两

个小组，在•次阶段性考试中两个小组成果的茎叶图如图所示，其中甲组学生成果的平均数

是88,乙组学生成果的中位数是89,则m+n的值是（）

甲组乙组

879

64883n8

5m29225

A.10B.11C.12D.13

答案C

2.（2024山东济南一模,3）已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这

8个数的平均数为一,方差为s2,则（）

A.-4,S2<2B.-4,S2>2—>4,s2<2D.—>4,s2>2

答案A

过专题

【五年高考】

A组统一命题•课标卷题组

1.（2024课标I,3,5分）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻

番.为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经

济收入构成比例，得到如下饼图：

f第三产业收入

种植［60%其他收入

殖收入

建设的经济收入构成比例

八w收入

笈“37%却其他收入

一4殖收入

建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入削减

B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

答案A

2.（2024课标HI,3,5分）某城市为了解游客人数的改变规律,提高旅游服务质最，收集并整理

了2024年1月至2024年12月期间月接待游客量（单位:万人）的数据，绘制了下面的折线图.

2014年201s年2016年

依据该折线图，下列结论错误的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小,改变比较平稳

答案A

3.（2024课标II,18,12分）某公司为了解用户对其产品的满足度，从A,B两地区分别随机调杳

了20个用户，得到用户对产品的满足度评分如下：

A地区：62738192958574645376

78869566977888827689

B地区：73836251914653736482

93486581745654766579

（D依据两组数据完成两地区用户满足度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满足度评

分的平均佰及分散程度（不要求计算出详细值，给出结论即可）：

A地区B地区

4

5

6

7

8

9

（2）依据用户满足度评分，将用户的满足度从低到高分为三个等级：

满足度评分低于70分70分到89分不低于90分

满足度等级不满足满足特别满足

记事务C:“A地区用户的满足度等级高于B地区用户的满足度等级”.假设两地区用户的评

价结果相互独立.依据所给数据，以事务发生的频率作为相应事务发生的概率,求C的概率.

解析（1）两地区用户满足度评分的茎叶图如下：

A地区B地区

468

351364

64262455

68864

733469

3

92865

8321

1

7552913

通过茎叶图可以看出，A地区用户满足度评分的平均值高「B地区用户满足度评分的平均

值;A地区用户满足度评分比较集中,B地区用户满足度评分比较分散.

(2)记品表示事务：“A地区用户的满足度等级为满足或特别满足”；

C、2表示事务：“A地区用户的满足度等级为特别满足”；

CM表示事务：“B地区用户的满足度等级为不满足”；

嬴：表示事务：“B地区用户的满足度等级为满足”，

则CAI与CRI独立,Cw与CK)独立,Cm与互斥,C=CRIC*IUCR>CAI>.

P(C)=P(CBICAIUCB2cA2)

=P(CBCJ+P(CB2cA2)

=P(CBi)P(CAl)+P(Cfl2)P(CA2).

由所给数据得c—小金发生的频率分别为tJ,片，,故

PG)嘴P(CQ嗑p&)喘P&)嗑P©埸X箫X券0.48.

思路分析(1)将A、B地区数据逐一填入茎叶图，然后通过茎叶图作比较.(2)设出事务且指

明事务间的关系,利用相应概率公式得结论.

B组自主命题•省(区、市)卷题组

考点一随机抽样

1.(2024湖南,2,5分)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简洁随机抽样、系

统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p.,p%P3,

则()

A.Pl=P2<P3B.P2=p3<Pl

C.Pi二pKpzD.Pi=P2-pa

答案D

2.(2024江苏，3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为

200.400,300,100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60

件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.

答案18

3.（2024湖南，13,5分）在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成果（单位:分钟）的茎叶图如图

所示.

1300345668889

14I1122233445556678

150122333

若将运动员按成果由好到差编为C35号，再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成果在区

间[139,151]上的运动员人数是.

答案4

考点二用样本估计总体

1.（2024山东,3,5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所

示的频率分布者方图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为

[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30].依据直方图，这200名学生中每周

的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

频率

A.56B.60C.120D.140

答案D

2.（2024安徽,6,5分）若样本数据xi"・・,x[的标准差为8,则数据2x-1,2x2-l,2xwl

的标准差为（）

A.8B.15C.161）.32

答案C

3.（2024江苏，4,5分）已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差

是.

答案0.1

4.（2024四川，16.12分）我国是世界上严峻缺水的国家,某市政府为了激励居民节约用水,安

排调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水

量不超过X的部分按平价收费,超出X的部分按议价收费.为了了解居民用水状况,通过抽样,

获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据依据

[0,0.5),[0.5,1),-,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；

(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值,并说明理由.

解析(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08X0.5=0.04,

同理，在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为

0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.

由0.()4+0.08+0.5Xa+0.20+0.26+0.5Xa+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.

(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为

300000X0.12=36000.

(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,

而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5Cx<3.

由0.3X(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.

所以，估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.

思路分析由图易知组距为0.5,再由频率之和等于1即可求出a;由图可知前6组的撅率之

和为0.88>0.85,前5组的频率之和为0.73<0.85,说明xe[2.5,3),再由

0.3X(x-2.5)=0.85-0.73即可求出x.

C组老师专用题组

1.(2024湖北,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有

人送来米1534石,验得米内夹谷，抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约

为（）

A.134石B.169石C.338石D.1365石

答案B

2.（2024陕西,2,5分）某中学初中部共有110名老师，中学部共有150名老师，其性别比例如

答案B

3.（2024课标11,3,5分,0.782）依据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单

位:万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）

2700

2600

2400

2300

2004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年

A.逐年比较,2008年削减二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈削减趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

答案D

4.（2024重庆,3,5分）重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下:

089

1258

200338

312

则这组数据的中位数是（）

A.19B.20C.21.5D.23

答案B

5.（2024广东,6,5分）已知某地区中小学生.人数和近视状况分别如图1和图2所示.为了解该

地区中小学生的近视形成缘由，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽

取的中学生近视人数分别为（)

图2

A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10

答案A

6.（2024山东,7,5分）为了探讨某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.全部志愿者

的舒张压数据（单位:kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其

按从左到右的依次分别编号为第一组，其次组，……，第五组.如图是依据试验数据制成的频

率分布直方图.已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗

效的人数为（）

A.6B.8C.12D.18

答案C

7.（2024江苏,2,5分）已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为.

答案6

8.（2024天津,9,5分）某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分

层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校

一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6,则应从一年级本科生中

抽取名学生.

答案60

9.（2024江苏,6,5分）为了了解一片经济林的生长状况,随机抽测了其中60株树木的底部周

长（单位:cm）,所得数据均在区间［80,130］上,其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株

树木中，有株树木的底部周长小于l（）0cm.

频率/组距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

8090100110120130底部周长/cm

答案24

10.（2024广东，17,12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表.

工人编年工人编年工人编年工人编年

号龄号龄号龄号龄

140103619272834

244113120432939

340123821413043

441133922373138

533144323343242

640154524423353

7451639253?3437

842173826443549

943183627423639

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的

年龄数据为44,列出样本的年龄数据；

(2)计算(1)中样本的均值一和方差s2;

(3)36名工人中年龄在——s与一+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?

解析(1)由系统抽样,将36名工人分为9组(4人一组)，每组抽取一名工人.

因为在第一分段里抽到的是年龄为44的T.人，即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为

44,40,36,43,36,37,44,43,37.

(2)均值-的+"°+36+43+36+37+的+'3+37一40.

方差

22222222

s=lx[(44-40)+(40-40)+(36-40)+(43-40)+(36-40)+(37-40)+(44-40)+(43-40)、(37-

40)与哼

⑶由⑵可知$=学由题意，年龄在(40果40十号)内的工人共有23人，所占的百分比为

数100363.8靴

11.(2024广东，17,13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：

件),获得数据如

下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.

依据上述数据得到样本的频率分布表如下：

分组频数频率

[25,30]30.12

(30,35]50.20

(35,40]8G.32

(40,45]nifi

(45,50]f

n22

(1)确定样本频率分布表中nbgfi和f2的值；

(2)依据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

(3)依据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间

(30,35]的概率.

解析⑴m=7,ri2=2.fi=0.28,f2=0.08.

（2）样本频率分布直方图如图所示.

（3）依据样本频率分布直方图，得每人的口加工零件数落在区间（30,35］的概率为0.2,设所

取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为卜则

€〜B(4,0.2),P(8>1)=1-P(€=0)=1-(1-0.2)4=1-0.4096=0.5904,

所以4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率为0.5904.

【三年模拟】

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.（2025届全国I卷高三五省优创名校联考,3）图1为某省2024年广4月快递业分量统计图,

图2是该省2024年1〜4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）

快递业务员（万件）一同比增长（％）

5000

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

图1

快递业务收入（万元）一同比增长（％）

6000070%

3118350X2()

50IMN)55%160%60%

50%

40000

40%

30000

30%

20IMM)

20%

mono10%

00%

1月2月3月4月

图2

A.2024年广4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件

B.2024年广4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月最高

C.从两图来看,2024年1〜4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一样

D.从广4月来看,该公司2024年快递业务收入同比增长率逐月增长

答案D

2.（2025届河南名校联盟“尖子生”调研考试（二），5）为了测试小班教学的实践效果，王老

师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成果统计成茎叶图.记本次测试中,A、B两

班学生的平均成果分别为一，一，A、B两班学生成果的方差分别为2,2,则视察茎叶

图可知（）

4班8班

458

35136

426245

6884673340

2R651R32

5291

A._<_,2<2B.—>—,2<2

C._,2>2D.-,2>2

答案B

3.（2024山东济南外国语学校12月考试,4）给出下列四个命题:

①将A,B,C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查,若抽取的A个体的个体数为12个,则

样本容量为30;

②一组数据1、2、3、4、5的平均数、中位数相同；

③甲组数据的方差为5,乙组数据为5、6、9、10、5,那么这两组数据中较稳定的是甲；

④统计的10个样本数据为95,105,114,116,120,120,122,125,130,134,则样本数据落在

[114.5,124.5]内的频率为0.4.其中真命题为（）

A.①@B.②@C.③④I）.②④

答案D

4.（2024湖北部分重点中学模拟,3）某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3

元，俏售价为8元,每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的

销量，如图所示，设x（个）为每天商品的销量,y（元）为该商场每天销售这种商品的利润.从口

利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为（）

答案B

5.（2024湖北襄阳四校4月联考,7）某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大

表明质量越好,且质量指标值大于或等F100的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为

A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区

间[90,110]内），将这些数据分成4组：[90,95）,[95,100）,[100,105）,[105,110],得到如下

两个频率分布直方图：

已知这2种配方生产的产品利润y（单位：百元）与其质量指标值t的关系式均为

-1,<95,

吧*—<一％若以上面数据的频率作为概率,分别从用A配方和B配方生产的产品中

1,1UU<<10b,

2,>105.

随机抽取一件，且抽取这两件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为（）的概率为

（）

A.0.125B.0.195C.0.215D.0.235

答案B

6.（2024湖南衡阳二模,4；已知样本x.,…,xn的平均数为x,样本ybyI…,y„的平均数为

y(xWy),若样本xi,X2,…,xn,yby2,•,*,y”的平均数z=ax+(l-a)y,其中0<a<；,则n,m(n,m£N")

的大小关系为()

A.n=mB.n2mC.n<mD.n>m

答案c

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.（2025届广东中山一中等七校联合体高三其次次（11月）联考，14）假设要考察某公司生产

的狂犬疫苗的剂量是否达标,现从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本

时,先将500支疫苗按000,001,-,499进行编号,假如从随机数表的第7行第8列的数起先

向右读,则第3支疫苗的编号.

（下面摘取了随机数表的第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676（第7行）

63016378591695566719981050717512867358074439523879（第8行）

33211234297864560782524207443815510013429966027954（第9行）

答案068

8.（2024湖南长沙一模，14）空气质国指数（AirQualitylndex,简称AQI）是痘最描述空气质品

状况的指数，空气质量依据AQI大小分为六级,0〜50为优;51100为良；101150为轻度污

染；151〜200为中度污染;201〜30（）为重度污染;大于300为严峻污染.从某地一环保人士某年

的AQI记录数据中，随机抽取10个,用茎叶图记录如下.依据该统计数据,估计此地该年AQI

大于100的天数约为.（该年为365天）

45

50

754

930

1178

199

215

答案146

三、解答题（共25分