克里金插值法

克里金插值法

克里金插值法又称空间局部插值法，就就是以变异函数理论和结构分析为基

础，在有限区域内对区域化变量进行无偏最优估计得一种方法，就就是地统计学得

主要内容之一，由南非矿产工程师D、Matheron于1951年在寻找金矿时首次提

出，法国著名统计学家G、Matheron随后将该方法理论化、系统化，并命名

为Kriging,即克里金插值法。

1克里金插值法原理

克里金插值法得适用范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和

结构分析得结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利用克里金插值法进行

内插或外推。其实质就就是利用区域化变量得原始数据和变异函数得结构特点,

对未知样点进行线性无偏、最优估计，无偏就就是指偏差得数学期望为(),最优就

就是指估计值与实际值之差得平方和最小"L因此,克里金插值法就就是根据未

知样点有限领域内得若干已知样本点数据，在考虑了样本点得形状、大小和空间

方位，与未知样点得相互空间关系，以及变异函数提供得结构信息之后，对未知样

点进行得一种线性无偏最优估计。

假设研究区域a上研究变量Z(x),在点x£A(i=l,2,……,n)处属性值为Z&),则

待插点沏eA处得属性值Z(X。)得克里金插值结果Z*(x0)就就是已知采样点属性

值Z(x)(i=l,2,,n)得加权和，即：

zFo)=f4z*j(1)

1=1

式中4就就是待定权重系数。

其中Z(x)之间存在一定得相关关系,这种相关性除与距离有关外，还与其相对

方向变化有关，克里金插值方法将研究得对象称“区域化变量”

针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数4(i

=1,2,...,n)满足关系式：

EA=i⑵

以无偏为前提,kriging方差为最小可得到求解待定权系数4得方程组：

之4。(4引+〃=c(Xo，s)(/=12……，n)

…“⑶

之4=1

,i=l

式中,C(Xi,Xj)就就是Z(Xi)和Z(x)得协方差函数。

2方法步骤

克里金插值法得应用步骤如下：

1、输入原始数据，即采样点，下面以输入三个采样点求待估插值为例来进行说

明。如图1所示：

2、网格化，选择区域得范围和网格得大小，对区域进行网格化处理。

3、数据检验与分析,根据采样值就就是否合乎实际情况，剔除明显差异点。

4、直方图得计算,立方图有助于掌握区域变化得分布规律，以便决定就就是否

对原始数据进行转换。

5、利用变异函数进行变异函数计算，了解变量得空间结构。

6、克里金插值估计

⑴待估点权重系数估计

利用多边形估计得方法，首先确定离待估点最近得采样点得权重，根据公式(4)

进行采样点权重估计：

(2)根据搜索策略选择合适得参估点，如图2:

图2参估点图示

⑶根据已经求出得变异函数以及采样点数量:三个采样点列出三个等式，求出

方程组得系数，公式为:

C(l,2)C(1,3)TAC((),l)

C(2J)C(2,2)C(2,3)4C(0,2)(5)

C(3,l)C(3,2)C(3,3)JLAC(0,3)

(4)分析在各向同怛条件下改变块金值与在块金值相同条件下改变各向异性

对权重值得影响3各向同性条件下改变块金值时对权重值得影响效果如图3(a),

在块金值相同条件下改变各向异性对权重值带来得影响如图3(b):

⑶(b)

图3各向同性条件下改变块金值与在块金值相同条件下改变各向异性对权

重值得彩响

(5)根据求出得权重值，代入公式⑴，即可求得评估领域内n个采样值得线性组

合⑵。

克里金插值法得方法路线图如下:

图4方法路线图

3克里金插值法分类及适用类型

克里金插值法主要有以下几种类型:普通克里金（OrdinaryKrigin。、简单

克里金（SimpleKrigin@、泛克里金（UniversalKriging）、协同克里金（Co-K

riging)%对数正态克里金(LogiSticNormalKriging)^指示克里金(In

dicatorKriging）%概率克里金（Pr°babilityKrigin0和析取克里金（Disju

nctiveKrigin0等

克里金插值法可以简单地表达为：

Z（s）=〃（s）+£（s）

（6）

式中,s为不同位置得点，可以人为就就是用经年度表示得空间坐标;Z（s）为s处

得变量值，她可以分解为确定趋势值〃（s）和自相关随机误差£（s）。通过对这个公

式进行变化，可以生成克里金插值法得不同类型。

首先,对于趋势值〃（S）,可以简单地赋予一个常量,即在任何位置S处〃（S）二〃,

如果〃就就是未知得，这便就就是普通克里金基本模型;〃⑸也可表示为空间坐标

得线性函数，如：

〃（$）=尸。+修X+乃2y+P/2+尸/2+BR

⑺

如果趋势面方程中得回归系数就就是未知得，则形成泛克里金模型;如果在任

何时候趋势已知得（如所有系数和协方差均已知），无论趋势常量与否，都会形成简

单克里金模型。

其次，无论趋势如何复杂,〃（s）仍无法获得很好得预测,在这种情况下需要对

误差项以S）进行一些假设，即假设误差项式S）得期望均值为0，且£（s）和£（S+〃）

之间得自相关不取决于S点得位置，而取决于位移量h。为了确保自相关方程有解,

必须允许某两点间自相关可以相等。

然后，可以对方程式左边Z(s)进行变换。例如，可以将其转换成指示变量，即如

果Z(s)低于一定得阈值，则将其值转换为0,将高于阈值得部分转换为1,然后对高

于阈值部分作出预测，基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型。如果将指

示值转变成含有变量得函数.f(Z(s)),即形成析取克里金得指示函数。

最后，如果有多个变量得情况，则模型为:ZjG)=H(s)+j(s),其中j表示第j

个变量。除了为每个变量考虑不同得趋势勺($)外，随机误差%(s)之间还存在交

叉相关性。这种基于多个变量得克里金模型即为协同克里金模型。

不同得方法有其适用得条件，当数据不服从正态分布时，若服从对数正态分布,

则选用对数正态克里金;若不服从简单分布时，选用析取克里金;当数据存在主导

趋势时，选用泛克里金;当只需要了解属性值就就是否超过某一阈值时，选用指示

克里金;当同一事物得两种属性存在相关关系时，且一种属性不易获取时,选用协

同克里金，借助另一属性实现该属性得空间内插;当假设属性值得期望值为某一已

如常数时，选用简单克里金;当假设属性值得期望值就就是未知得,选用普通克里

金。

4国内外研究进展

从克里金方法被提出到现在已有完善得理论，并在很多领域得到了实际得应

用，在某些领域得应用又推动了克里金理论得发展㈤。她得发展可归纳为四个时

期，每个时期都就就是以每一届地质统计学大会得召开为标志。第一时期,初次提

出了地质统计学理论，将地质统计学与传统得统计学分开,且提出了区域化变量、

简单克里金、普通克里金、泛克里金得概念。第二时期，地质统计学得理论逐步

得开始改进和完善。第三时期,地质统计学克里金在实践应用得发展相对理论发

展更快，形成了两种类型得理论体系:一类就就是有参数得克里金方法，另一类就

就是没有参数得克里金方法，有参数得克里金方法就就是指所研究得数据必须符

合正态分布，如析取克里金;而没有参数得克里金方法对所研究得变量得分布没有

特殊要求，如指示克里金和概率克里金。第四时期，克里金方法得应用领域不断扩

展壮大,在研究中有很多新得课题产生，克里金所研究对象已经不再局限于空间领

域得变量,随着某些领域得需求，正在向时间-空间领域扩展也。

从目前来看,克里金技术得发展可以概括如下：

⑴形成了一套完整得理论体系。线性平稳地质统计学就就是地质统计学得基

础部分，包含基本概念:区域化变量理论;基本工具:变差函数;基本假设:二阶平稳假

设和本征假设;基本公式:估计反差和普通克里金法;线性非平稳地质统计学包括

了泛克里金和K阶本征函数法等。平稳非线性地质统计学包含析取克里金等。

⑵编制了一些实际有效得程序以及软件。例如斯坦福大学得Gcostatisti

ca1EarthModelingSoftware。

(3)地质统计学得提出原本就就是为了解决矿产储量得估计，但就就是透着

地质统计学得发展,人们发现其研究对象存在于很多种自然现象中。于就就是，地

质统计学不再就就是研究地质领域得特有方法，而成为研究某类自然现象通用得

方法，例如降水量得分布、水文层得渗透率和孔隙度等属性值、在医学上对骨豁

得三维重建同等等。

目前国内外学者利用克里金插值法做了大量研究。翟进乾应用克里金插值方

法对煤层分布监测进行了系统分析研究叫张蕾、陈晓宏将克里金插值方法用于珠

江三角洲网河区水位空间插值口尚庆生、郭建文等将克里金插值方法用于计算青

藏铁路钻孔她温数据，实现了数据得体视化网;颜辉武，祝国瑞等采用克里金插值方

法建立水文地质层三维模型⑼，并利用体绘制技术进行可视化表达,取得了良好得

效果;刘承香、阮双深、伍小芹提出基于克里金插值方法进行水深数据插值形成

规则网格数字高程模型得算法，对海底数字地图得模拟具有重要参考价值,数字仿

真结果证明该算法可行⑼。

参考文献：

|1］汤国安，杨昕、ArcGIS她理信息系统空间分析实险教程［M］、北京:科学出

版社,2011、

［2］孟俊贞、克里金插值近似网格算法在栅格数据投影变换中得应用

［D］、长沙:中南大学,2(X)9、

［3］曲寿利,王忿、国内外物探技术现状与展望［M