考研数学（数学三）模拟试卷191

考研数学(数学三)模拟试卷191

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

1、设函数f(x)在区间［-1,1］上连续，则x=0是函数―X—的().

A、跳跃间断点

B、可去间断点

C、无穷间断点

D、振荡间断点

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

1•/(♦).

2、设函数f(x)在x=0处连续，且Ih则().

A、f(0)=0且f'_(0)存在

B、f(O)=l且f'-(0)存在

C、f(0)=0且f'+(0)存在

D、f(0)=l且f'+(0)存在

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

（X,y）0（O0）

/（%y）t

3、二元函数0,（«.y）=（o,0）在点（°,0）处（）.

A、连续，偏导数存在

B、连续，偏导数不存在

C、不连续，偏导数存在

D、不连续，偏导数不存在

标准答案：C

知识点解析：暂无解析

设矩阵A=（%）〃3满足A'=A『，其中A'为A的伴随矩阵，为A的转置矩阵.若

Q“.Q以，。”为三个相等的正数，则Q“为（）.

（A）号（B）3（C）j（D）有

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

5、设四，。2,…，as均为n维向量，下列结论不正确的是（）.

A、若对于任意一组不全为零的数k],k2，…，ks，都有kia]+k2a2+…+

k$a/O，则ai，口2，…，火线性无关

B、若ai，a2，…，as线性相关，则对于任意一组不全为零的数ki,k2，..

有km+k2a2+…+ksOs=0

C、ai,a2,…，a,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s

D、ai，a2,as线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

6、已知0VP(B)<1,且PKA1+A2)IB]=P(AIIB)+P(A2IB),则下列选项

(A)P[(4+4)I万)二"4I5)+P(4l))

(B)P(4,B+42£?)=P(48)

(C)P(4+42)二P(4|8)+P(A/8)

成立的是().(D)P(B)=P(4)P(8|4,)+P(4)P(*4)

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

7、

设随机变址（x,丫）服从二维正态分布.且x与y不相关,人（外，4G）分别表示x,y的

概率密度，则在丫=’的条件下，x的条件概率密度4|丫（“卜）为（）.

(A)A(x)(B)/r(y)(C)A(x)/r(y)

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：暂无解析

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

8、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f'(x)=J(x),戏)=1,则f，〃(2)=

标准答案：已知F(x)在x=2的某邻域内可导，f'(x)=e«),所以f，(x)在x=2的

同一邻域内可导，即在咳邻域内函数f(x)二阶可导，且f〃(x)=[J(x)]'=1(x)ef(x)

=e2f(x).于是f〃(x)也在x=2的同一邻域内可导，即在该邻域内函数f(x)三阶可

导,且f"'(x)=[e2f(x)]x=2fz(X)e2f(x)=2e3f(x),将f(2)=l代入可得f"'⑵=

2e3.

知识点解析：暂无解析

9、设f(x)=xeX,则阿]x)的极小值为.

x(n)x<n+,)xn+2

标准答案：f(x)=xe,fx=(n+x)e,fx=(n+1+x)e,f<)x=(n-|-24-

x)ex,令”+%)=0,解得”)(x)的驻点x=-(n+l),又扪十为[一(n+l)]=[n+2

—(n+l)]e-(n+1)=e-(n+1)>0,故x=—(n+1)为津(x)的极小值点，

+1)]=--77T-

e

知识点解析：暂无解析

10^设二元函数z=xe'+y+y+(x+l)ln(l+y),则dxl(i.o)=.

标准答案：因为dz=eX-ydx+xdex+y+ln(l+y)d(x+l)+(x+l)dln(l+y)

=e*+xe**rd(x-by)+ln(l♦y)dx+(4+l)y^-

:+%/♦，(dx+dy)41n(l+y)dx+^Y-^,

所以dzio0)=edx+e(dx+dy)♦2dv=2edx+(e+2)dy.

知识点解析：暂无解析

11、

设/(4)=卜其导函数在4=0处连续.则人的取值范围是_______

若4=0

0.

标准答案：

由题设，当z/0时，/'(X)=八/'cosLL=八/'cos工+/In'.

xxxxx

A1

Xcos一

当*=0时，/'(0)=lim&)二/⑼=|加X...(10,A>1,

-----------=JimxAcos-=

IX«4x><ox不存在，AWL

Xlimf'(x)=limxA2(Axcos-+sin=J°，'＞2,

…iIxx)l不存在，入W2.

因此，当人＞2时•叫/«)=/(0),即/⑴在％=0连续，所以人的取值范围是人＞2.

知识点解析：暂£解析

t11r

设矩阵4=I;：：,且秩r(A)=3,则人=

IIKI

12、L1I上

标准答案：由题设，r(A)=3,则IAI=0,即

1111111

k110LI00

=(A+3)

1k100A-l0

11k000A-

iiir

从而人=-3或％=1,当4=1时，A=；:；:

.1111.

则，(A)=1,与已知矛盾，所以A=-3.

知识点解析：暂无解析

13、设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系

数为.

标准答案：本题考查相关系数的定义.由题设，D(Z)=D(X),cov(Z,Y)=co、(X

-0.4,Y)=E[(X-0.4)-E(X-0.4)(Y-E(y))]=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=

用Ncov(z,丫)_______cov(x,y).a。

因此PYZ---------,-----------,---------.~--~PXY-U.y.

cov(X,Y),"一低Z/0(x)VD(Y),・

知识点解析：暂无解析

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

14、

设人）具有二阶连续导数，且g（*外=/（十卜力■住卜求嗓7*

标准答案：

由陪陪）团"停用=-"田+广同

务-团7田+（一印H吟陪）

—+力（3+”外

髀’（3田产团团（X

大田+/（孙/（注

^=k（i）-7r（7）Vr（7）+7r（7）

=?r（i）+7r（7）­

故嘿-畤吟一田+土田号陪）-力H）-方信）

=汐（3

知识点解析：暂无解析

计克二重积分0（X+y）ckdy,其中/）=l（x,y）1/W父+y+1!.

15、If

标准答案：

由F+JWx+y+1,得卜一+（'_+）这去.

令#-g=rcoM,y-}=rsinj,则在极坐标系下O8)|0W642ir,OWrw/1^'

于是g(f)&dy=jM/2

(1+rco»S+rsin^)rdr=Jd6/'rdr+『(cos^+sin©)

知识点解析：暂无解析

16、某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为Pl，P2,需求函

数分别为qi=24—0.2pi，q2=10-0.05P2,总成本函数为C=35+40(q]+q2),

问厂家如何确定两个市场的销售价格能使其获得总利润坡大?最大利润为多少？

标准答案：pi=120-5qi，P2=200—20q2,收入函数为R=piqi+p2q2，总利润函

数为

=80-12g,=0

L=/e-C=(120-57,)^+(200-2O92)<72-[35+40(9,-g2)],由

券=160-40先=0

得q1=8,q2=4,从而Pi=80,P2=120,L(8,4)=605,由实际问题的意义知，

当Pi=80,P2=120时,厂家获得的利润最大，最大利润为605.

知识点解析：暂无解析

将函数/(x)二丁一「展开成1-1的骞级数,并指出其收敛区间.

17、4-3—4

标准答案：

/⑴(…工+士一士)

=——1•'1■一一1——1•■■

15.4-110-2-1

l-IF

“七£(三)"J£(t鹿

其中，第一个塞级数的收敛区间为第二个幕级数的收敛区间为|#-1|<2,

故寡级数的收敛区间为即-l<x<3.

知识点解析：暂无解析

18、

设/(x),g(x)在！-%上连续.g(“)为偶函数，且/(“)满足条件/(*)+/(T)=4

储为常数).

(I)证明fy(x)g(z)dz=4(g(x)(k；

(U)利用(I)的结论计算定积分Isinxjarctane'dx.

标准答案：

(I)£/(x)g(x)dx=jf(x)g(x)dx+j/(x)g(x)dx,

/(x)K(x)dxx=-/[/(-t)g(-：)d(-t)=jy(-=j/(-x)g(x)dx,

因此/f(x)g(x)dx=J7(-%)g(x)(k♦jy(x)g(”)<lx

=£[/(_4)+f(4)】g(4)也=4(g(4)&.

(II)取=arctane',g(x)=|sinx।,a=学,则/(”),g(z)在[-学，学]上连续.g(豆)

为偶函数,由(arctane'♦"ctane")'=/匚,e*+-一J；・(-e')=0,

1♦e1+e

ft]arctane*+arctane,为偶数，取x=0得arctane'+arctane'=arctan14-arctan1=—,

所以〃#)+/(-X)=f,

于是由(I)有/；Isinx|arctane*dx=y|^|sinx|dx=ysinxck=-ycosx'=半

知识点解析：暂无解析

19、

xt+23♦3xj=0,

X|+bx2+ex,=0,

已知齐次线性方程组（I）2x1+3与+5%=°,和(II)同解.

2x,i+(c+1况=0

xt+x2+ox)=0

求a,b,c的值.

标准答案：根据题意可知方程组（口）中方程组个数〈未知数个数，从而（□）必有无

穷

123|

多解,所以（I）必有无穷多解.所以（I）的系数行列式必为0,即235=2-a=0

11a

=Q=2.

I23]rl231rl01-

对（I）系数矩阵作初等变换，有235To1I011

.112JLo0oJLo00.

可得方程组（I）的通解为k（-I.-1.l）r,其中A为任意常数.

由于（-1,-1,1）「是方程组（n）的解，故有…解得b=l,c=2.

I-2-6+c+1=0

或b=0,c=1.

当6=0.c=l时，方程组（II）为广+==0;

[2xl=0

其系数矩阵的秩为1,从而（I）与（U）不同解，故6=0,c=l舍去.

当Q=2,6=2,c=2时（1）与（D）同解.

知识点解析：暂无解析

20、

设二次型/（航，町，X,）=XTAX=ax}+2x5+-426x,X,（6>0）,

其中二次矩阵A的特征值之和为】，特征值之积为-12.

（I）求Q,b的值;

（II）利用正交变换将二次型/化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵•

标准答案：

a0b'

(I)由题设，二次型/相应的矩阵为A=020.

b0-2.

设A的3个特征值为储，A,.AJt则由已知条件知A)+42♦丸=】，人入2%="12；

利用“矩阵特征值之和=矩阵主对角线元素之和”及“特征值之积=矩阵行列式”两个关

系，得

a0b

及020=2(-2-y)=-12,可求出6=2,即a=l,6=2.

60-2

1-A02

(口)由|4-八用=0,即02-A0=0,可求出A的特征值为

2,0-2-A

-2'0-

A,=A2=2,A,=-3.不难求得对应于九=&=2的特征向量为&=01

1.-0-

-1-

对应于入3=-3的特征向量为矣=0,对九，A2,入3正交规范化，得

■-2・

了‘1r20o-

则p为正交矩阵，在正交变换*=号下，其中y=r：.PTAP=o2o

.v,.Loo-3-

因此二次型的标准形为2y：+2幺-3/

知识点解析：暂无解析

21、两台同样自动记录，义，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先

开动其中一台，当其发生故障时，停用而另一台自动开动.试求两分记录仪无故障

工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差.

标准答案：由题设，设先开动的一台记录仪的无故障工作时间为Ti，后开动的一

台记

录仪的无故障工作时间为A，则由已知，方的概率密度为"吗，(<