考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷4

考研数学一(概率与数理统计)模拟试

卷4

一、选择题(本题共9题，每题分，共9分。)

1、设总体X服从正态分布N(R,』)，xi，X2，…,_Xn(n>l)是取自总体的简单随

机样本，样本均值为由如果PIXrlVaLHI又一“IVH，则比呜•()

A、与。及n都有关

B、与。及n都无关

C、与。无关，与n有关

D、与o有关，与n无关

标准答案：C

,X〜NSH),又〜N(外上诟〜N

知识点解析:由题设，V#,。

a_b厂工,Q_厂a

(0,1),于是『一『E石一所以比值6与。无关，与n

有关.

2、设Xi，X2，…，Xn[n>l)是来自总体N(0,1)的简单随机样本，记

.X=-£=£分

n«-*-1,则()

X〜N(0,D,Q〜/Gi)

A、

口天〜N(0.#,Q〜/(〃一D

C及〜N(0,；),O〜/G1)

D又〜N(0,1bQ2〜X(〃一D

标准答案：C

知识点解析：氏~''(°3),Q2〜y2(n).因此本题选C.

('.简单随机样本，则统计量

Y=2X+Xz+X3—6)

^3(X4+X5—4y+2(X6+X?+X&-6)

服从()

A、四2)

2

B、X(3)

C、t(2)

D、t(3)

标准答案：C

知识点解析：

TX1+Xz+X3-6N(OU),&〜N(O.l),X,+XT+XS-6

存42

〜N(O,D,且它们相互独立，所以

/X,+X5-4\2/%+/+%-6「

XTJ2户(石…⑵,

所以由7与X相互独立得..

2(X[+X?+X3-6)T〜,⑵

J3(XA+X5-4T+2(入+X,+X®-6A

因此本题选(C).

4、设X],X2，…，Xn是来自总体X〜N(0,1)的简单随机样本，则统计量

B、Y〜t(n—1)

C>Y〜F(n,1)

D、Y〜F(l,n—1)

标准答案：B

M〜N(0,l)Sx?WD

知识点解析：由总体X〜N(0,1)知£',且它们相互独

y=】为=Xi

~£(“-1).

立，所以即用…)

因此本题选B.

5、设随机变量X〜F(n,n),记pi=P{XNl),p2=P{X<l},则()

A、P1<P2

B、pi>P2

C、P1=P2

D、pl，p2大小无法比较

标准答案：C

Y=-**wnn)

知识点解析：由X〜F(n,n)知x^'f所以

“P{X》"=P{兴1卜刊"i}=p{X0f因此本题选c.

6、设Xi，X2，…,X8和Yi，Y2，…，Yio分别是来自正态总体N(・l,4)和

N(2,5)的简单随机样本，且相互独立，Si2,S2?分别为这两个样本的方差，则服

从F(7,9)分布的统计量是O

翁

A翳

1

BC.

爵

n

标准答案：D

苧〜*7),誓~父⑼知瑞

知识点解析:因此本题选D.

7、设总体X~N(a,/)，丫〜N(b,M)相互独立.分别从X和Y中各抽取容量为9

和10的简单随机样本，记它们的方差为SY?和SY?，并记

品+⑸+第和%Y码+】网)则这四个统计量Sx2,SY'SPSX?

中，方差最小者是()

A、Sx2

B、SY2

c、S122

D、SXY2

标准答案：D

由簪〜/⑻•孥〜/(9)知D<SJ)=磬=%,D(^)=等，

知识点解析：D&T("+“上各'，D⑸)=於％+於前=解，所

以，方差最小者为SXY?因此本题选D.

8、设XI，X2，…，Xn是来自总体X〜N3,凸仙院都未知)的简单随机样本的观

察值，则。2的最大似然估计值为()

7七("一"

A、

B、〃1-1

出萨一“

C、

占毕一》

D、

标准答案：B

242(工_)

知识点解析：在N未知时，。2的最大似然估计值为,因此本题选B.

9、设总体X〜P(入)(入为天知参数)，X|,X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样

本，其均值与方差分别为又与S2,则为使+是入的无偏估计量，常

数a应为()

A、-1

B、0

1

C、，2

D、1

标准答案：C

知识点解析：要使工是力的无偏估计量，应有

Ed)=a，即4(X)+(2-3a)E(S)=儿①，

由于E(X)=EX=A,E(Sf)=DX=九将它们代人①得以+(2-3a"=人即a=}因此本题

选C.

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

卷（工+小04工42,0.42,

8

10、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为10,其他.则

随机变量U=X+2Y,V=一X的协方差Cov([U,V)为

±

标准答案：彳

知识点解析：

Cov<U,V)=Cbv(X+2Y,-X)=-D¥-2Cbv(X.Y)

=-D¥-2ECXY)4-2EXEY.①

其中E(XY)=0xy•-1(x4-y)cb=-j-Jdr|(.j^y+xy2)dy=yj(2^4--1-x)dr=y>

领°°

关于X的边缘概率密度为

「.《工+，)”,0。42,住(*+1).0<工<2,

/*Gr)—,Jo8—<4

0,其他0,其他，

所以EX="=[±•±-(N+D&r=1■・②

Jo4b

E(xn=。-l(x-M)dz=1,DX=E(")一(EX)2=祭③

将②③代人①得Cov(U.V)=-4-2XU+2X4X《=-J・

Sboo4

|3JC.0VzV1,0VyVi,

/(x.y)=(-a

11、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为卜，其他，则随机

变量Z=X—Y的方差DZ为.

19

标准答案:320

DZ=DX-I-DY2Cov(X,Y)

=DX+DY-2E(XY)+2EXEY,(D

E(XY…g-3储=J同附加=fgdz=小②

知识点解析：其中{Cr，WI0V*V1,OVyV/}如图3-4阴影部分所示.

关于X的边缘概率密度为

f3zd“0V1V1,13/,0V工VI，

fxG)=1J。=仃M

lo,其他其他'

EY=。・3J^dr=1,E(T)=J？・3^dr=1,DX=E(T)-(EX)1=点

关于Y的边缘概率密度为

f3xdz*0<y<1♦-yd-y)»O<y<l>

fy(.y)=y=<4

e,其他lo,其他.

EY=[y—y)d>=•屈Y2)=fy2•-1-(1——)dy=春，

JoLoJoGd

DY=E(r)-(Ey)2=盖.④

将②③④代人①得D⑵=表+芸-2、4+2乂»5=摄

12、设随机变量X的数学期望.EX=75,方差DX=5,由切比雪夫不等式估II得

P{IX-75I>k}<0.05,则k=

标准答案：10

PIIX-75\^k}=P{\X-EX丛《缪=/，于是由题设得亮=0.05即

知识点解析:

K=10.

13、设X],X2,…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为大的泊

2瓦一球

・

limP',1

松分布，贝/飞

标准答案：(p(x)

知识点解析：由列维―林德伯格中心极限定理即得.

14、设总(X〜P(Q,而》尸2，…，Xn是来自X的简单随机样本，它的均值和方

差分别为和S2,则和E(S2)分别为.

标准答案：〃

知识点解析•E/)=政)+[E(X)]2=lD(x)+(EX)2=54-r,E($)=DY=A.

15、设总体X和y相互独立，且分别服从正态分布N(0,4)和N(0,7),Xi，

X2，…，X8和Y”Y2，…，Y14分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量

的数学期望和方差分别为.

标准答案：

由X〜N(0,0.5),y〜N(0,0,5)知Z=X—y〜N(0•1).于是

E(lX-y|)=E(|Z|)=j^|r|

D(IX-W)=D(|Z)=ES-曲,次=1-3

知识点解析:

三、解答题(本题共76题，每题1.0分，共76分。)

16、设X,Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n,p的二项分布，证

明：Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.

P{Z=Q-P(X+Y=A)=£p{X=i}P(Y=&-i}

A

=XGP'(1一户尸・(1-

•-0

A

=“(】一》)i2aa，=以"(i-"i/=o，i，・・・，2〃.

标准答案：・。

知识点解析：暂无解析

17、设。n是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知自的分布律为

P<£=i}=

3i=L2,3,又设X=max&rj},Y=min优,“},试写出二维随机变

量(X,Y)的分布律及边缘分布律，并求P{9四}.

标准答案：X的可能值为1,2,3,Y的可能值为1,2,

3P[X=EY=1}=P{max(&"==1)=P(E=l,q=1)=y,以此类推可

求出(X,Y)的分布律及边缘分布列如卜.:

*123A-

11

1§007

2_23

20

99

2215.

3

9999

JL

21

Mi9V§

P{£=力=y.

知识点解析：暂无解析‘

18、设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0,1).求Z=|X—Y|的概

率密度及

标准答案：U=X—Y的密度为

fv(.u)=J/\("+丁)/丫6)3=j

当u4-1M>1时,fu(“)=0；

当一】Vu40时.九(“)=j/x(u+y)dy=jldy=】+“；

当0VuV1时，丘/(“)=(/*(“+»)打=Idy=1-u.

即

[1+”.-1V”40,

/(；(u)=<1—0<Cu<1•

【0,其他

所以,Z=l的密度为

(2(1—z)।OVzVl,

/z(«>=/i/(z)4-/<-«)=,甘碣

u10,其他，

从而

知识点解析：暂无解析

e5L，y20,

19、设(X,Y)的概率密度为0，其他，问X,Y是否独立。

标准答案：边缘密度为

L,[0,x<0*io,Nvo.

0,><0,

6。)=

门~20.

因为/(工，丁)=九⑺・介6)，所以X,Y独立.

知识点解析：暂无解析

“日一，八4,/(N，y)=，—8Vz,yV+8,

20、设随机变量(X,Y)的概率密度为2w求

Z=X?+Y2的概率密度fz(z).

标准答案：设Z的分布函数为Fz(z),则

Fz(^)~P(Z^z}=PiX2-^-y2<z)--l|/(x»>)drdy

=f表©一守也dy=J：J：表bSrdr/

=J：%-3Uh-。.句:=1——*.

0»z&O.

故*—,z>0.

知识点解析：暂无解析

21、设随机变量X],X2,...,Xn相互独立，且Xi服从参数为入i的指数分布，其

fA,e-^,x>0,

/,(x)=<i=l,2,,・・,m

密度为10，zWO，求P{X1=min{X],X2,Xn)}.

标准答案：

P{Xi=min{X1,Xn-,X.}}=P{X14min{X»,X.…,X.}},记Y=

miMXz，%,…,XJ,则有

,,、jQz+芯+…+A)eff»,>>0,

A(^)=L)八

Io,yaO，

(X】,Y)的概率密度为/(ay)=/>(x)A<y).

P(X|Wmin{Xz.M，…，X.}}=J/(z.y)drdy

=jJ%e-3dzJ：Q2+AS+・・・+Ajeffi">d>

=dr=、、勺

J•21+…+九

知识点解析：暂无解析

^-,0<x<v

fxiy(NI»)=49

29“、’一，"*-------军密府头0，其他，而Y的概率密度

…『翼”】小＞外

为求

标准答案：(X,Y)的概率密度为

、f(\Xf(\J153y，0V“VyVI,

ff(kx.y)=/xy(xIy)•f{y)=(廿心

Y【0，其他.

如图3-12所示，则

P{X>?■JJ：IW加dr=J；157・三业=g.

知识点解析：暂无解析

23、设(X,Y)服从G=Rx,y)Ix2+y2g)上的均匀分布，试求给定Y=y的条件下X

的条件概率密度函数fxiY(xIy).

标准答案：因为(X,Y)服从G={(x,y)Ix2+y2q)上的均匀分。，所以

j(x.y)=1“

to,其他.

故My')=J二/Cr,y)dz=j/-vG=7-g&i邛八一寸,

其他

Io,其他.

所以，当一1V)V1时，有

1

AIY(JIy>=|/TV+

o,­其他

to,其他.

知识点解析：暂无解析

12

24、设试验成功的概率为丁，失败的概率为彳，独立重复试验直到成功两次为止,

试求试验次数的数学期望.

标准答案：设X表示所需试验次数，则X的可能取值为2,3,于是

W，

P{X—%(1)x(T)xf-O-l(1)xG)I，"2.3,-

人而以X%停了0I=(T)却一D(»

=(打(")L「(打-LT・

知识点解析：暂无解析

25、市场上有两种股票，股票A的价格为60元/股，每股年收益为Ri元，其均

值为7,方差为50.股票B的价格为40元/股，每股年收益为R2元，其均值为

3.2,方差为25,设Ri和R2互相独立.某投资者有10000元，拟购买si股股票

A,S2股股票B,剩下的S3元存银行，设银行1年期定期存款利率为5%,投资者

希望该投资策略的年平均收益不少于800元，并使投资收益

>

s-2侃

标准答案：设投资策略为(S],S2,S3),则该投资策略的收益为i.平均收益

22

及方差为：ES=SIX7+S2X3.2+(10000—60sI—40s2)x5%,DS=50s1+25s2,问题为

求DS=50sJ+25s22的最小值.约束条件为：ES=SIX7+S2X3.2+(10000—60sI—

40s2)x5%N800,用拉格朗日乘数法求解该问题，令L=50si+25s2+3(800—S]X7—

S2X3.2—(10000—60s]一40s2)x5%),其中5是待定系数，最优解应满足的一阶

共=100.一(7—3»=0,

«~=50s2-(3.2—2)6—0t

2=800—7sl-3.2”-(10000-60sl-40”)X5%=0.

条件为：站解此方程组得：

si=63.56元，S2=38.14元，S3=4660.8元.该投资策略的方差和标准差分别

为：DS=50x63.562+25x38.14^238360,°=依=488.22.

知识点解析：暂无解析

26、设随机变量服从几何分布,其分布律为P{X=k)=(l—p尸，0<p<l,k=l,

2,求EX与DX.

标准答案：

EX=£"1一。尸/>==户(玄/)1"

Jr；*->§

其中g=i-»・

由于=口•故友=p(±_】)1r=pn^L.=5

又/==9(£<)]二=="

所以DX=EX1-(EX)2=彳=三上

知识点解析：暂无解析

ar*0<x<2,

y（x）=«ar+6,24n&4,

27、设随机变量X的概率密度为0,其他，已知

Q

EX=2,P（1<X<3}=-7出小.

4,求⑴a,b,c的值；（2）随机变量丫=炉的数学期望和

方差.

/(r)dr=Jardr+jjer+6)dx

标准答案：<1）1=L

2a+26+6c,

2=E>(x)dLr=Jar2dr+J(ar+6)1rdr

=%+苧c+66.

V=j：arrddrr++f|(.ex4-d)dr=-1-a-f--|-c+b.

-244

解方程组

a+6+3c=方，

w

8a4-186+56c=6,

3a+26+5c=^

得

1,,1

a——=l.c=

44,

e*/(jr)dr=-1-xcr^r

⑵"=E（y）=「j：(一：z+*dr=

E(r)=ED=j："/(z)dr=£%/业+](一%+1产dr

=2(e，—IT,

10

DY-E(D-(FT/=《/(/一])z.

知识点解析：暂无解析

4初e产+，），z>0,y>0.

/（z,y）

28、设（X,Y