考研线性代数知识框架图

考研线性代数知识框架图

人可逆

r（A）=n

/你J列（行）向量线性无关

NXJ特征值全不为0

..Ax=0只有'零解<=>=Av*0

|A|H0='▼笈-4（=/?总有唯一解

A'A是正定矩阵

A^E

A=Pl“2…Ps〃，是初等阵

存在〃阶矩阵&使得/IB=E或88=E

）1：全体〃维实向量构成的集合R'叫做〃维向量空间.

A不可逆

r（A）<n

|川=0。加勺列（行）向量线性相关

0是加内特征值

4x=0有侏零解,其基础解系即为A关于九=0的特征向量

r(aE+bA)<n

注：|aE+M|=0=(af+必)x=0有非零解

dr

向量组等价

矩阵等价（堡）

g•反身性.对称性、传递性

矩阵相似（~）

矩阵合同（■）

7关于q,e2,…,

①称为•"的标准基，J中的自然基，单位坐标向值Pnm”；

②qq,…,e”线性无关：

③|qg,…⑷=1：

④trE=":

⑤任意一个〃维向量都可以用9,02「・，6”线性表示.

«11«12…6”

用列式的定刈。,=?…=’=汇（T）"脑"•'抬出…。矶

JihA

42…GM

V行列式的计算:

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任•行（列）的多元素与其对应侍代数余子式的乘积之和.

推论；行列式其一行（列）的元素与工一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

②假设4与夕福是方阵f不必同阶）,那么

③上三角、下三角、主对角行列式等于•主对角线上元素的乘积.

④美于副对角线:

111

⑤范德蒙德・行列式:FlHr)

/1之j之j之I

«iian

“21

版阵的定义|由mx〃个数排成的m行n列的表A=称为mX”矩阵.记作：A=（%L“或4”

A%…4

A,/•••An

I件网知同人=（々）.&为刈中各个兀系的代数余子式.

A4”…4«?

V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

分块对用阵相乘：A=3,］，8=eJ

\^22)I)IAy2i

分块对角阵的作的矩阵：pJ=仔.

II闻

7矩阵方程的解法(|A|HO)：设法化成(DAX=B或(II)XA=B

(I)的解法：构造(A8)”交找＞(£X)

(II)的解法：将等式两边转置化为川X'=B，

用(D的方法求出X',再转置得X

jAv=O与Rx=O同解(A,8列向及个数相同)，那么：

①它们的极大无关组相对应，从而秩相等；

②它们对应的局部组有一样的线性相关性;

③它们有相同的内在线性关系.

7灯游A,…与凡”的行向崎绢等价O齐次方程组Ar=o与以=0同蚓oE4=A（并乘可逆矩阵P）：pttMl0l

矩阵Au.”与田,"的列向量组等价。PQ=8（右乘可逆矩阵0）•

j判断力,%,…，7是&=0的根底解系的条件：

①小，71线性无关：

②7•小，，，7,都是Av=0的解：

③s=n-r{A）=每个解向量中自由未知量的个数.

7一个齐次线性方程组的根底解系不唯一.

①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

②单个零向量线性相关：单个非零向量线性无关.

③局部相关，整体必相关：整体无关,局部心无关.

④原向量组无关，接长向量组无关；接长向盘组相关，原向量组相关.

⑤两个向量线性相关O对应元去成比例：两两正交的非零向量组线性无关外u“4.

⑥向51组4.a2,….a“中任•向量%都是此向量组的线性组合.

⑦向量组区,%,…,区,线性相关O向量级中至少有一个向量可由其余”-1个向量线性表示.

向量组四。”…，氏线性无关o向量组中每一个向量区都不能由其余〃-1个向量线性表示.

®"i维列向量:组a1，&，4线性相关。r(A)<“：

nt维列向虽组a”%,…,a”线性无关o«A)-

⑨r(A)=O<=>A=O.

®假设a「a”…,a”线性无关，而…线性相关，那么夕可由….a“线性表示，II表示法唯•.

@矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零方的个数.

依阶梯形矩阵|可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的

第一个非零元为I,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为|行最简形以两|

⑫矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向散间的统性关系：

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，M不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A：

对八施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘人.

|矩阵的阴如果矩阵人存在不为零的，•阶子式.且任意r+1阶子式均为零,那么称矩阵A的秩为「•记作r(A)=r

|向城组的短向量组四,4，，？,的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩•记作“见,％,…

I矩阵等价IA经过彳j限次初等变换化为B.记作：A=B

|向点组等仰a“和/®…，瓦可以相互线性表示.记作：…4户(用,四,…，戊)

⑬矩阵A与B等价o/MQ=B,旦。。..逆or(A)=r(B)工作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵A与“件为向量组等价o•••./?„)-«\、气、…a«、队.…、心=>

矩阵人与8等价.

⑭向贵组外62,…，4可由向量组q,a2,…,％线性表示oAX=5有解o"%%「/.)=Ra、,％,…a«，hh…,B)nK限％…,片)&

a”),

⑮向量组自3,…M可由向拉组区,巴,…,a”线性表示，且s>〃,那么川…,pr线性相关.

向量组一,乩，…，0线性无关，且可由%%「.，6线性表示,那么sW〃.

⑯向量组*®…,及可由向量组如%,…,a”线性表示,且r(4外….用)=「(qg,…那么两向量组等价；pKM91M1(1

回任一向量组和它的极大无美组等价.向先组的任意两个极大无关组等价.

⑱向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.

@慑设两个线性无关的向盘组等价，那么它们包含的向晶个数相等.

⑳区设4是〃?x"矩阵，那么r(A)Smin｛阳，，小假设r(A)="i,A的行向量线性无关；

假设r(A)=〃，A的列向量线性无关，即：囚,4,…,a”线性无关.

<短障的秩的性质；

①若AHOor(A)》l0Or(Amtn)Omin(m.n)

②/•(A)=r(A,)=r(A7)

③r(kA)=r(A)若A工0

④r(A±4)Wr(A)+r(4)max{r(A),r(B)}WWr(A)+r(6)

(AO}=(OA\(AC\

⑤loB][B/f)+「⑻(J*A)+6

@r(Alf)Smin{r(A),r(34

⑦若4.纥小且"AB)=0=r(4)+«B)W”

⑧若A可逆nr(/W)=，(△)

若B可逆=X48)=z•(㈤

«Av=0只有零解且A在矩阵乘法中有左消去律lA"=°nB=°

⑨霰设r(A,Q="=>

r(AB)=r(B)[A8=ACn8=C

假设“纥.、)=〃=r(A8i=r(8)且8在矩阵乘法中有右消去律.

7初等矩阵的性质:

同,“=-1同伏）1=4回j(幻]l=i

E(iJ)r=E(i,j)E[/(*)r=w)]E[iJ(k)Y=E[j,i(k)]

E[iJ(k)]l=E[i.j(-k)]

印伏）］・=阻我初£1弘优）］•=£!弘（一幻］

/oAr=p有无穷多解

<〃(。表示法不唯一

\n%%,…此线性相关oAr=0有非零解q^!T[A]=0

伙ij由即里」，a,线性表示0Ax=夕有解or(A)=r(Aft)

/=人=加6,唯一组解

="(<=>表示法唯一

\一区.外,…0n线性无关uAv=0只有零解一^^U|A|wOn克莱姆法则

oriA）#r{A.

力不可由4,%,、a“线性表示oAr=?无解。〃人）<?■（人/?）

or（A）+l=r（A：p）

/人%=/，有无穷多解(：)其导出组有非零解

\人.户有唯一解([)其导出组只有零解

|线性方栈组的矩标Z=f}③药+44+•••+3”=力

X,

（%,4,…名）

矩阵转宜的(Ar)r=A(AB)T=BrAr(M)r=MrKI=H（A士砌7=A，±8，(A-')z=(Ar)-,(ATY=(A')T

性质：

矩阵可逆的(A-ly'=A(ABY'=B'A'(kAy'=k''A~'H1=I4'(A±13y'^A'±B'(A-1)*=(Ak),=At

性质:

伴随矩阵的(A»=(心

(AB)'=BW(kAy=kn-'A,kl=K(A±8)、/V±B'(A"・=(A•)F

性质：

〃若r(A)=〃AA'=A'A=\A]E

5=1若r(A)="-l1如HI网

M=w|A士网小土网

0若r(A)〈〃一1（无条件恒成立）

(I)，71，%是6=0的解，，71+/也是它的解

(2)"是Av=。的解,对任意A,3也是它的解齐、,，广洞，如

(3)力，，7-…，久是4=。的解，对任意4个常数j齐’人力作

4>>■,,>4,4大+)工/工+4^7*■tti.*L£fi'j

线性方程组解的性质:(4)y是Ax=尸的解,〃是其导H；红lAr=。的解,y+"是Ax="的解

(5)%,%是A*'=p^\两个解,小一场是其导出组Ax=。的解

(6)%是Ar=©的解.则/也是它的解o7是其导出组Ax=。的解

(7)7…，Z是4％=?的解,则

4%+%，7?+儿，7«也是Ax=/?的解<=>4+4+4=1

47+%%+4/是Ax=0的解o4+}+4=0

•J设4为/Mx〃矩阵，般设r(A)=〃j,=「(人)=;•(人〃)=/U=/?一定有解，

方程个数未知数的个数

当机<n时,一定不是唯•解=IO<2d,那么该向盘组线性相关.

I可量维数I可量个数

阳是/•(加和r(4乃)的上限.

ggggg〃个〃维线性无关的向量，两两正交,每个向量长度为1.

a与力正交(a,0)=0.

|a是单位而五|||cr||=J(a,a)=1.

，内积0J性垢：①正定性：(a,a)NO,且(a.a)=()oa=。

②对称性:(a,/?)=(A«)

③双线性：(a，4+〃2)=(a，4)+(a,四)

（区+=“）=（«.。）+（%/）

(ca,B)=c(a,0)=(a,c0)

口的特征矩阵IAE-A.

|八的特征々项可\AER-f(A).

J/(引是矩阵A的特征多项式n/(A)=0

IA的特征方程I|/IE-A|=O.AV=2A-->Ax与.'线性相关

J|A|=44…4g；4=trA.IrA称为矩阵A的国

J上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的〃各元素.

-J假设网=0,那么2=0为人的特征值，且&=0的根底解系即为属于2=0的统性无关的特征向量.

/\

«|

a

J"A)=lO人一定可分解为八='(如&,•••,")、*=«他+。2优+…+。也)A,从而A的特征值为：/?,=IrA=afy+ajj2+•­•+anh

4,

&=a=...=儿=0p.e

，假设A的全部特征值4自.…,4,/(A)是多项式,那么:

①/(A)的全部特征位为/(4),/G).J(4)：|/(A)|=/(4)/(4>7U)

②假设A满足/(㈤=o,那么A的任何一个特征值必满足/(4)=0.

J改/(x)=••♦+/x+/，对〃阶矩阵A规定：/(m=//^+。时3“、・一+《人+《>E为A的一个多项式.

kA匕

aA+bEaA,+b

*A

V丸是岫特征值,则:，A-'分别有特征值十.

A"冈二M-

A2万

Am

kAkA

aA+bEaA+b

±

-J提4关于4的特征向量，则X也是、4关于:r.的特征向量.

*A2

A”xw

J42,从"的特征向量不一定是人的特征向量.

，A与A7■有相同的特征值，但特征向量不一定相同.

|A与8相似|13=P'AP（P为可逆矩阵I记为：AB

人与」正交相似|B=P'AP（P为正交矩阵I

|人可以相似对后汨A与对角阵A相似.记为：AA｛称八是A的厢似标准形|）

J4可用似对角化o〃-r（4E-A）=44为4的重数OA恰有〃个线性无关的特征向量.这时.P为A的特征向品拼成的矩阵，「一四。为对角阵，主对角线上

的元素为八的特征位.设a,为对应于4的线性无关的特征向fit.那么有:

A(e.a：,….a”)=(.Aa”….Aa“)=(4区、4%,…，4a”)=(4，&,a“)

注：当4=0为A的特征值时，4可相似对角化04的重数=〃-r(A)=Ar=O根底解系的个数.

J假设A可相似对角化，那么其非毋特征值的个数(重数重复计算)=r(A).

J假设〃阶矩阵A有〃个互异的特征值,那么A可用似对角化.

'例4)、

J假出AA=>/V=PA4P'=.0(A)=/V(A)PT=P双4).P'

<叭6

J相似箔阵的性质：①trA=lr8

②同=|即从而A,A同时可逆或不可逆

③r(A)=r(B)

④〃-E，：A-1-B'(假设AB均可逆)：

⑤大S(为推数)；f(A)f(B),\f(A)\=\f(B)\

⑥…CDn/J(BJ

⑦忆£一A|=|；IE—耳从而A8有相同的特征值，但特征向量不一定相同.

注：x是4关于4的特征向量，p-'x是B关于4的特征向量.

J数货电阵只与自己相似.

J对称矩阵的性质，①特征值全是实数，特征向且是实向量：

②不同特征值对应的特征向量必定正交：

注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

③必可用正交矩阵相似财角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；

④与对角矩阵合同，nii：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形：

⑤一定有〃个线性无关的特征向城，4可能有亚的特征值，该特征值儿的更数-”-"4上一四）.

I正交矩间AAr=E

JA为上交矩阵OA的〃个仃I夕I”向垣闷成「的一组标淮止交基.

■J正交矩阵的性质：①4r=>4'：

②AAr=A1A=E：

③正交阵的行列式等于1或T：

©4是正交阵，那么A，,A'也是正交阵：

⑤两个正交阵之枳仍是正交阵：

⑥人的行（列）向嫉都是单位正交向盘组.

Tr

|二次型|f（xt,X,,—,A；）=XAX=X%=%，即A为对称矩阵，A=（XpX2,--,A；）

hl/-I

A与8合同IB=CTAC.记作：AB（A8为对称阵,。为可逆阵）

怔惯性推数I二次型的标准形中正项项数p:I负惯性指数I二次型的标准形中负项项数一〃:

lp-r.（，为二次型的秩）

J两个矩苒合同的充分必要条件是；它们有相同的正负惯性指数.

J两个矩阵合同的充分条件是：AB

J两个电阵合同的必要条件是：r（A）=r（B）

/正交变换

v/（%.8「・，4）=/氏经过（合同变换x=Q，化为/=七4城强网

、可逆线性变换1

,二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关，但非零系数的个数是由“人）一-确定的.

犷惯憎箱放♦黄惯件指数

，当标准形中的系数4为-1或o或1时，为诞劣.

-J实对称矩阵的正（负）慢性指数等于它的正（负）特征值的个数.

(\]

1

-1

J慢性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵，・合同.

-1

0

、0,

v用正交变换法化二次型为标准形:

①求出人的特征位、特征向址:

②对〃个特征向量正交化、单位化;