西南交通大学《工程力学》课件-第3章力矩与平面力偶系

§3-1力矩的概念和计算§3-2力偶的概念§3-3平面力偶系的合成与平衡第3章力矩与平面力偶系西南交通大学《工程力学》力对物体作用时可以产生移动和转动两种外效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。主要研究内容：

(1)力矩和力偶的概念；

(2)力偶的性质；

(3)平面力偶系的合成与平衡。§3-1力矩的概念和计算1.力对点之矩(1)用扳手拧螺母；(2)开门，关门。由上图知，力F使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大小有关，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积F·d来度量力的转动效应。

该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示,即O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂直距离d，称为力臂。力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。力矩的单位：N·m，kN·m应注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此可以用代数量表示。力矩的性质：(1)力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；.OFd

(2)力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；(3)互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。Fo..F1F2O2.合力矩定理表达式：证明：由图得而OxydxyFFxFyAaqa-qr则(a)

若作用在A点上的是一个汇交力系（F1、F2、…Fn）,则利用式(a)可将每个力对O点之矩相加，有由式(a)，该汇交力系的合力FR=∑F，它对矩心O的矩为比较(b)、(c)两式有(a)(b)(c)§3-2力偶的概念1.力偶和力偶矩(1)力偶的概念

把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作（F，F′）。可用图(a)表示,例如：双手操纵方向盘,如图(b)。FF′d力偶臂力偶作用面图(a)F1FF′ABF1′CD图(b)(2)力偶的性质(a)力偶在任何坐标轴上的投影等于零；(b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；(c)力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只能改变物体的转动状态。xFF′d力偶臂力偶作用面(3)力偶矩

力偶对刚体的转动效应是用力偶矩度量，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。FFd

Ox例如：(4)力偶的三要素(a)力偶矩的大小；(b)力偶的转向；(c)力偶作用面在空间的方位。2.平面力偶等效定理

定理：在同一平面内（或两平行平面内）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。例如：双手操作方向盘。F1FF′ABF1′CD

设有一力偶

(F,

F′),如图所示。运用加减平衡力系的公理并注意到：证明：两个重要推论：推论1力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对刚体的转动效应。ABMABMC推论2在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。其中

F1d1=F2d2ABd1F1F1ABd2F2F2§3-3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。1.合成(1)两个力偶的情况F1′F1d1d2F2′F2=F11′F22′F22F11ddFR′FR=这样得到新的力偶(FR,FR′),则M=FRd=(F11-F22)d=F11d-F22d=M1+M2

(2)任意个力偶的情况M=M1+M2+…+Mn,或M=∑MiM1M2Mn2.平衡条件

平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即∑M=0利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。M1M2Mn

两力偶作用在板上，尺寸如图。已知F1=F2=1.5kN,F3=F4=1kN,求作用在板上的合力偶矩。解：由式M=M1+M2

则M=-F1·0.18–F3·0.08=-350N·m负号表明转向为顺时针。例题3-1180mmF1F2F3F480mm

长为l=4m的简支梁的两端A、B

处作用有两个力偶，大小各为M1=16N·m，M2=4N·m，转向如图。试求A、B支座的约束力。

解：作AB梁的受力图。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B

处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（FA，FB）才能与之平衡。例题3-260

4mABM1M2M1M2ABdFAFB由平衡方程∑M=0得-M1+

M2+FBlcos60º=0解得故FB=6NFA、FB为正值，说明图中所设FA、FB的指向正确。FA=FB=6N例题3-2M1M2ABdFAFB60

4mABM1M2－16+4+FB4cos60=0

如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，q=30°，不计各杆自重，试求M1和M2之间的关系。BODqM1M2A例题3-3

解：因为杆AB为二力杆，故其约束力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。

分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO和FD只能分别平行于FAB和FBA

，且与其方向相反。例题3-3BODqM1M2ABDM2FDFBAOM1FOFABA因为所以求得分别画出受力图。写出杆OA和DB的平衡方程：

∑M=0BODqM1M2A

一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2，F2′)作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？xyzF2F2′F1F1′O思考题3-1

如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1′)和(F2,F2′)其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？F1F2F1′F2'F1F2F1′F2'思考题3-2图示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M和力F的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F所平衡？为什么？力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？FMO思考题3-3思考题3-4两轮半径同为r，一轮在轮缘上受一大小为F

的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小都是F/2的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相同？(a)思考题3-5rO1FrO1F/2F/2(b)图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力使之平衡？如何加？(a)rO1F思考题3-6rO1F

2F

2(b)1.

约束的概念（1）自由体与非自由体

在空间能向一切方向自由运动的物体，称为自由体。

当物体受到了其他物体的限制，因而不能沿某些方向运动时，这种物体称为非自由体。（2）约束限制非自由体运动的物体是该非自由体的约束。P约束被约束物体轨道是约束（3）约束力约束施加于被约束物体上的力称为约束力，如下图中的力FT。

约束力的方向与约束所能限制被约束物体